幾何直觀，讓抽象的數(shù)“看得見(jiàn)”

【摘要】幾何直觀是重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。運(yùn)用幾何直觀，可以幫助學(xué)生建構(gòu)小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間的關(guān)聯(lián)，直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，讓抽象的數(shù)“看得見(jiàn)”。教學(xué)中，要關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，給學(xué)生搭建認(rèn)知的腳手架，引導(dǎo)學(xué)生在操作、觀察、比較和歸納等豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，理解數(shù)的含義，發(fā)展數(shù)學(xué)思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀；抽象；小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）25-0051-04

【作者簡(jiǎn)介】張齊華，南京市北京東路小學(xué)（南京，210008）副校長(zhǎng)，高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師。

新課標(biāo)明確指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！笨梢?jiàn)幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象，它在本質(zhì)上是一種通過(guò)圖形來(lái)展開(kāi)的想象能力。

對(duì)于小學(xué)生而言，數(shù)無(wú)疑是抽象的。如何借助直觀來(lái)把握抽象，已是多數(shù)教師的共識(shí)。比如，認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)，我們常借助實(shí)物、小棒、點(diǎn)子圖、計(jì)數(shù)器等，理解整數(shù)的意義；認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，我們常借助具體的物體、圖形或計(jì)量單位，引導(dǎo)學(xué)生在折一折、分一分、涂一涂等具體活動(dòng)中，感受分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。相對(duì)而言，小數(shù)的意義則更抽象，而在日常教學(xué)中，我們能夠給學(xué)生提供的具體、直觀的支撐也相對(duì)貧乏。如何借助具體、直觀的圖形幫助學(xué)生在分一分、畫(huà)一畫(huà)、說(shuō)一說(shuō)等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，建立小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，自主建構(gòu)小數(shù)的含義，筆者進(jìn)行了如下嘗試。

一、分享小數(shù)，喚醒已有經(jīng)驗(yàn)

師：生活中，你在哪兒見(jiàn)過(guò)小數(shù)？

生1：我在超市里見(jiàn)過(guò)小數(shù)。

生2：我在菜場(chǎng)上見(jiàn)過(guò)小數(shù)。

生3：數(shù)學(xué)書(shū)的背面也有小數(shù)。

師：既然見(jiàn)過(guò)這么多小數(shù)，小數(shù)會(huì)寫(xiě)嗎？自己試著寫(xiě)幾個(gè)小數(shù)，并試著讀一讀。

學(xué)生寫(xiě)小數(shù)、讀數(shù)，并全班匯報(bào)。

生1：我寫(xiě)的是0.8、1.2、4.5，這些都是小數(shù)。

生2：我寫(xiě)的是0.3、0.03、0.003，這些也是小數(shù)。

生3：我寫(xiě)的是99.9、3.1415926，這些也是小數(shù)。

師：看來(lái)，同學(xué)們不僅會(huì)寫(xiě)小數(shù)，而且還會(huì)讀。仔細(xì)觀察，這些小數(shù)有什么共同特點(diǎn)？

生1：小數(shù)都有小數(shù)點(diǎn)。

生2：小數(shù)都被小數(shù)點(diǎn)分成兩部分。

師：小數(shù)點(diǎn)左邊的是整數(shù)部分，右邊的是小數(shù)部分。

生：我發(fā)現(xiàn)，小數(shù)的整數(shù)部分可以是0，也可以是其他整數(shù)；數(shù)的小數(shù)部分，可以只有一個(gè)數(shù)字，也可以是兩個(gè)數(shù)字、三個(gè)數(shù)字甚至好多數(shù)字。

師：小數(shù)部分只有一個(gè)數(shù)字的，我們稱它為一位小數(shù)；猜猜看，如果有兩個(gè)數(shù)字，是什么小數(shù)？

生1：如果有兩個(gè)數(shù)字，就是兩位小數(shù)；如果有三位數(shù)字，就是三位小數(shù)。

生2：小數(shù)部分有幾個(gè)數(shù)字，就是幾位小數(shù)。

學(xué)生對(duì)于小數(shù)并不陌生，生活中，他們有很多機(jī)會(huì)接觸到小數(shù)。教學(xué)中，教師沒(méi)有忽視學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，而是通過(guò)分享生活中的小數(shù)，喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生自己嘗試著寫(xiě)一寫(xiě)、讀一讀小數(shù)。通過(guò)這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)，了解學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)究竟處怎樣的水平，為教師后續(xù)實(shí)施更精準(zhǔn)的教奠定科學(xué)的基礎(chǔ)。教學(xué)過(guò)程中，我們也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)已遠(yuǎn)超教材設(shè)定的水平，也超出了教師的心理預(yù)期——他們不僅能準(zhǔn)確地讀寫(xiě)小數(shù)，有些學(xué)生甚至能夠?qū)懗鰞晌恍?shù)、多位小數(shù)，還有學(xué)生甚至對(duì)圓周率這樣的特殊小數(shù)也有所涉獵。難以想象，如果我們的教學(xué)不給學(xué)生預(yù)留足夠的時(shí)間和空間，僅僅基于數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯順序，零起點(diǎn)展開(kāi)教學(xué)，這樣的課堂將屏蔽掉學(xué)生很多寶貴的經(jīng)驗(yàn)，原本豐富多彩、充滿活力的學(xué)習(xí)活動(dòng)將被簡(jiǎn)化為非常無(wú)趣、呆板的師生問(wèn)答。這樣的課堂，是我們難以接受的，也是我們需要著力重建的。

二、表征小數(shù)，建構(gòu)數(shù)學(xué)意義

師：認(rèn)識(shí)小數(shù)，我們不能只停留在會(huì)寫(xiě)、會(huì)讀小數(shù)，還得弄清每個(gè)小數(shù)具體表示什么含義。老師手中的這把尺子，它的價(jià)格是0.3元。你能試著畫(huà)一幅圖表示1元，然后在圖中表示出0.3元嗎？

學(xué)生獨(dú)立嘗試，組內(nèi)分享后，全班進(jìn)行匯報(bào)。

生1：我畫(huà)了一個(gè)長(zhǎng)方形，用它表示1元，我覺(jué)得0.3元就是其中的一小部分。（在長(zhǎng)方形中直接分出一小部分，涂色表示0.3元）

生2：我覺(jué)得就這樣畫(huà)一條線不準(zhǔn)確，也許這是0.2元，也許這是0.4元。我覺(jué)得應(yīng)該把這個(gè)長(zhǎng)方形平均分成10份，然后給其中的3份涂上顏色，這里就是0.3元。

生3：我也覺(jué)得應(yīng)該先把長(zhǎng)方形平均分成10份。不過(guò)，我畫(huà)的是圓，我把圓平均分成10份，然后涂了其中的3份，這就是0.3元。

生4：我畫(huà)了一個(gè)平行四邊形，也平均分成10份，這3份就是0.3元。

生5：我畫(huà)的是一條線段，我把它平均分成10段，這3段就是0.3元。

師：觀察后面幾位同學(xué)的作品，選擇的圖形不同，分的方法也不一樣，但在表示0.3元時(shí)，有沒(méi)有相同的地方？

生5：他們都把一個(gè)圖形平均分成10份，表示了其中的3份。

師：為什么要平均分成10份？

生1：因?yàn)?元等于10角。

生2：因?yàn)?元等于10角，平均分成10份后，每一份是1角，也就是0.1元，3份是3角，也就是0.3元。

生3：因?yàn)?.3元就是3角，把1元平均分成10份，其中的3份就是3角，也就是0.3元。

結(jié)合學(xué)生的交流，教師引導(dǎo)得出：0.3元=3角=元。

在數(shù)學(xué)中，為了能讓小數(shù)系統(tǒng)和整數(shù)系統(tǒng)統(tǒng)一起來(lái)，教師更多選擇以告知的方式，幫助學(xué)生在十進(jìn)分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間建立聯(lián)系，進(jìn)而借助十進(jìn)分?jǐn)?shù)理解小數(shù)的含義。在筆者看來(lái)，這樣的教學(xué)符合數(shù)學(xué)發(fā)展的基本規(guī)律，但卻忽視了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)。事實(shí)上，學(xué)生不僅在生活中經(jīng)常見(jiàn)到小數(shù)，而且他們對(duì)于0.3元就表示3角、6.25元就表示6元2角5分，以及1.3米就表示1米3分米等，都已經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)。這些經(jīng)驗(yàn)的存在，對(duì)于學(xué)生如何在小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間建立聯(lián)系，具有舉足輕重的作用。實(shí)踐證明，這樣的聯(lián)系，學(xué)生是完全可以憑借經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，自主建構(gòu)起來(lái)的。因而，上述教學(xué)，教師選擇以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式，引導(dǎo)學(xué)生用圖形表示1元，進(jìn)而在圖形中表征0.3元。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)和任務(wù)設(shè)計(jì)，雖然不是每個(gè)學(xué)生都能夠準(zhǔn)確完成的，但是，不同學(xué)生所呈現(xiàn)出的不同表征水平、不同理解，恰恰為后續(xù)的生生對(duì)話提供了豐富的教學(xué)資源和契機(jī)。0.3元的含義就是在這樣自主建構(gòu)、生生互動(dòng)、相互碰撞、歸納概括的基礎(chǔ)上得以自我實(shí)現(xiàn)的。在筆者看來(lái)，這就是有意義的學(xué)習(xí)，也是充滿創(chuàng)造力的學(xué)習(xí)。

三、比較概括，抽象數(shù)學(xué)理解

師：如果我們把這個(gè)長(zhǎng)方形看作1米，涂色的這3份又表示多少？為什么？

生：我覺(jué)得可以表示0.3米，因?yàn)榘?米平均分成10份，每份是3分米，也就是0.3米。

師：除了把長(zhǎng)方形看作1米，我們還可以把長(zhǎng)方形看作什么？相應(yīng)的，涂色部分又可以表示多少？

生1：我們還可以把長(zhǎng)方形看作1分米，那么涂色部分就可以表示0.3分米。

生2：我們還可以把長(zhǎng)方形看作1角，那么涂色部分就可以表示0.3角。

生3：我們還可以把長(zhǎng)方形看作1天，那么涂色部分就可以表示0.3天。

生4：我反對(duì)，我覺(jué)得不能把長(zhǎng)方形看作1天，因?yàn)?天不能平均分成10份。

生5：我覺(jué)得1天能平均分成10份，但平均分成10份后，每一份不知道是多少，所以，我也覺(jué)得不能把長(zhǎng)方形看作1天。

師：看來(lái)，重要的不是平均分成10份后，每一份是多少，而是這樣的1份或幾份，我們可以用十分之一或十分之幾來(lái)表示，而十分之幾就可以表示為零點(diǎn)幾。

生1：如果這樣的話，我們還可以把長(zhǎng)方形看作1千克，那么涂色部分就可以表示0.3千克。

生2：我們還可以把長(zhǎng)方形看作1塊黑板，那么涂色部分就可以表示0.3塊黑板。

生3：我們還可以把長(zhǎng)方形看作1支鉛筆，那么涂色部分就可以表示0.3支鉛筆。

師：現(xiàn)在，如果我們把所有單位都去掉，就把這個(gè)長(zhǎng)方形看作1，那么，涂色部分又表示多少？為什么？

師：想一想，在這幅作品中，除了0.3這個(gè)小數(shù)外，你還可以表示出哪一個(gè)小數(shù)？怎么表示？

生1：我覺(jué)得還可以表示0.5，只要再涂上2份。

生2：我覺(jué)得還可以表示1.0，只要再涂上7份。

生3：我覺(jué)得1.0其實(shí)就是1，因?yàn)槿客繚M后，就是1個(gè)完整的長(zhǎng)方形。

生4：我覺(jué)得如果再在長(zhǎng)方形后面添上這樣1小份，就可以表示1.1了。

師：你覺(jué)得，第一個(gè)長(zhǎng)方形還需要平均分成10份嗎？

生1：我覺(jué)得不需要，只要是一個(gè)完整的長(zhǎng)方形就可以了。

生2：我覺(jué)得，如果平均分成10份也沒(méi)有關(guān)系，而且，這樣我們還能夠發(fā)現(xiàn)，1.1里面其實(shí)就有11個(gè)0.1。

生3：我還發(fā)現(xiàn)，1.1里面的兩個(gè)1表示的意思是不一樣的，前面這個(gè)1表示1個(gè)一，后面這個(gè)1表示1個(gè)0.1。

生4：我覺(jué)得，前面這個(gè)1是后面這個(gè)1的10倍。

師：現(xiàn)在，如果我們把這個(gè)數(shù)增加到111.1，你又覺(jué)得這四個(gè)1之間有怎樣的關(guān)系？

生：我發(fā)現(xiàn)，前面的1總是后面的1的10倍，后面的1滿了10個(gè)就變成了前面的1。

師：能具體說(shuō)明一下嗎？

生1：比如，第一個(gè)1表示1個(gè)百，第二個(gè)1表示1個(gè)十，1個(gè)百是1個(gè)十的10倍。后面也是一樣的。

生2：我發(fā)現(xiàn)，整數(shù)里的滿十進(jìn)一的規(guī)則，在小數(shù)里也是同樣適用的。

師：你的發(fā)現(xiàn)非常了不起！有了滿十進(jìn)一的統(tǒng)一規(guī)則，小數(shù)就和整數(shù)建立起統(tǒng)一的關(guān)系。除了1.1，你還能表示別的小數(shù)嗎？

生1：我覺(jué)得還可以表示2.3，只要拿2個(gè)這樣的長(zhǎng)方形，然后再加上3小份。當(dāng)然，這2個(gè)長(zhǎng)方形不用平均分成10份，它就表示2。

生2：我覺(jué)得還可以表示9.9，只要用9個(gè)完整的長(zhǎng)方形，加上1個(gè)長(zhǎng)方形的。

認(rèn)識(shí)小數(shù)，從帶單位的具體數(shù)量入手，最后還要回歸到抽象的數(shù)。這樣，才算是完成了對(duì)小數(shù)含義的基本把握。然而，這一過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是相當(dāng)困難的，教師需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)、組織學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生在大量感性活動(dòng)、直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、比較、歸納、概括，最終建構(gòu)起對(duì)小數(shù)含義的數(shù)學(xué)理解。上述教學(xué)中，教師通過(guò)不斷地假設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生變換對(duì)“單位1”的理解，在不斷變換的過(guò)程中感受到，選擇什么單位名稱并不重要，只要把一個(gè)對(duì)象平均分成10份，其中的3份就可以表示為0.3。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，既遵循了學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本規(guī)律，同時(shí)也觀照了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中抽象能力的培養(yǎng)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

四、拓展延伸，嘗試建立模型

師：今天我們研究的小數(shù)，有什么共同特點(diǎn)？

生1：我們研究的都是一位小數(shù)。

生2：我們研究的小數(shù)都可以表示成十分之幾，或十分之幾和一個(gè)整數(shù)的和。

師：生活中，還有很多不是一位小數(shù)的小數(shù)，就以張老師的身高為例，1.72米，如果還是用長(zhǎng)方形表示1米，那么，1.72米又該如何表示呢？

學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組熱烈討論，全班匯報(bào)。

生1：我覺(jué)得一位小數(shù)表示十分之幾，我猜兩位小數(shù)就應(yīng)該表示百分之幾，所以，我們只要用1個(gè)完整的長(zhǎng)方形表示1米，然后再拿出1個(gè)完整的長(zhǎng)方形，把它平均分成100份，取其中的72份，就是米，也就是0.72米。合起來(lái)就是1.72米。

生2：我覺(jué)得不用這么麻煩，剛才我們已經(jīng)知道1.7米該怎么表示了。現(xiàn)以，它的后面又多了一個(gè)2，我們知道，這個(gè)2表示的是2厘米，所以，我們只要把1.7米后面的這個(gè)0.1再平均分成10份，取其中的2份，這樣就是1.72米了。

生3：我覺(jué)得1.72米表示1米7分米2厘米。1米就是1個(gè)完整的長(zhǎng)方形，7分米就是把1個(gè)長(zhǎng)方形平均分成10份，取其中的7份；2厘米就是把剛才的1小份，也就是1分米再平均分成10份，取其中的2小份。合起來(lái)，就是1.72米了。（邊描述，并在長(zhǎng)方形中表示了出來(lái)）

生4：我懂了，如果是1.725米，我們就只要把1.72米后面最小的1份再平均分成10份，然后取其中的5份。（邊描述，邊在長(zhǎng)方形中表示了出來(lái)，但已經(jīng)看不太清楚了）

生5：我發(fā)現(xiàn)了，小數(shù)就是這樣不斷地往下分出來(lái)的。

生6：我補(bǔ)充，小數(shù)在分的過(guò)程中，每次都要平均分成10份。比如，一位小數(shù)就是平均分成10份；兩位小數(shù)，就是把前面分好的1小份再平均分成10份；三位小數(shù)，就是把前面分好的1小份再平均分成10份。這樣10份、10份地不斷分下去，我們就可以得到三位小數(shù)、四位小數(shù)和更多位的小數(shù)。

生7：我聽(tīng)說(shuō)過(guò)圓周率，它是一個(gè)無(wú)限小數(shù)，3.1415926……我現(xiàn)在知道該怎么表示它了，只要10份、10份地不斷分下去，就能得到這個(gè)小數(shù)。

師：通過(guò)剛才的分享，大家都認(rèn)識(shí)到，原來(lái)小數(shù)本質(zhì)上就是把1這個(gè)數(shù)10份、10份地不斷分出來(lái)的。再回頭看看整數(shù)，整數(shù)又是把1怎樣得出來(lái)的？

生：我知道了，其實(shí)整數(shù)和小數(shù)是一樣的！只要我們把它們連在一起，從前往后看，都是化一當(dāng)十；從后往前看，其實(shí)都是滿十進(jìn)一。

從一位小數(shù)拓展為兩位小數(shù)，我們欣喜地發(fā)現(xiàn)了學(xué)生思維所呈現(xiàn)出的可貴的遷移能力與創(chuàng)造性。更重要的是，通過(guò)這樣的拓展與延伸，學(xué)生有機(jī)會(huì)從結(jié)構(gòu)的角度思考小數(shù)的意義，把握小數(shù)不斷十等分的特點(diǎn)，并與整數(shù)之間建立起實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián)。此時(shí)，學(xué)生頭腦中的小數(shù)不再是一種孤立的數(shù)，它與整數(shù)有著本質(zhì)上的一致性，它已經(jīng)融入了學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到了有效的拓展和升華。

綜觀整個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師把握學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，遵循學(xué)生認(rèn)數(shù)的基本規(guī)律，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖，個(gè)性化地表征小數(shù)的含義，并在交流、對(duì)話、溝通的過(guò)程中不斷求同存異，抽象概括，最終建構(gòu)起對(duì)小數(shù)含義的理解。在這一過(guò)程中，幾何直觀發(fā)揮了重要的作用，而抽象、推理、模型等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也得到了有效的關(guān)注與滲透。