高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思維視角

周芳芳

[摘 要] 從思維視角下研究高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，可以把握概念教學(xué)的本質(zhì). 因?yàn)閿?shù)學(xué)概念本身就是抽象的結(jié)果，是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物. 從思維視角下關(guān)注概念教學(xué)，應(yīng)當(dāng)從概念引入、概念構(gòu)建、概念比較與概念應(yīng)用四個(gè)環(huán)節(jié)來進(jìn)行. 教師首先要建立思維研究的視角，然后在必要的情形下對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo). 強(qiáng)調(diào)思維視角并不忽視學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，有效的思維往往是建立在有效的體驗(yàn)基礎(chǔ)之上的.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；思維

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念是以文字的形式出現(xiàn)在學(xué)生的面前的，而學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的加工卻是基于思維的. 因此，數(shù)學(xué)概念實(shí)際上是思維的產(chǎn)物，而在思維加工的過程中，其加工對象直接影響著概念的得出過程. 從這個(gè)角度講，讓學(xué)生加工什么樣的對象，又決定了數(shù)學(xué)概念的形成過程具有什么樣的意義. 通常情況下，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)屬于基礎(chǔ)的層面，而并不屬于直接面向數(shù)學(xué)評價(jià)尤其是數(shù)學(xué)考試的層面的內(nèi)容，因此對于數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建的設(shè)計(jì)，往往都是基于教材而進(jìn)行的. 這樣的好處是學(xué)生的思維加工往往比較簡單，數(shù)學(xué)概念就更加容易形成. 其不足就在于往往不能拓展數(shù)學(xué)概論的內(nèi)涵，從而不能讓數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)成為學(xué)生思維拓展與訓(xùn)練的更好場所. 因此，將概論教學(xué)納入思維的視角之下，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維更好地形成. 本文試對思維視角下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)作一深入探討，以求一些共鳴.

概念引入，有效打開學(xué)生的思維空間

概念引入的環(huán)節(jié)往往容易為教師所忽視，因?yàn)榛ㄙM(fèi)過多的時(shí)間并不會(huì)讓學(xué)生更快地獲得一個(gè)數(shù)學(xué)概念，這從傳統(tǒng)的課堂容量與教學(xué)效率的角度來看，是不劃算的. 但實(shí)際上，概念引入的過程如同老百姓種田時(shí)整理田地的過程，其雖然不直接促進(jìn)種子的發(fā)芽，卻為種子的發(fā)芽奠定了很好的基礎(chǔ). 同樣的道理，概念的引入過程，就是這樣的一個(gè)為概念構(gòu)建提供基礎(chǔ)，為學(xué)生的思維打開空間的過程.

在“橢圓”概念的教學(xué)中，學(xué)生的思維一般會(huì)經(jīng)歷這樣的兩個(gè)過程：一是學(xué)生根據(jù)生活的經(jīng)驗(yàn)知道橢圓的基本形狀，因此在描述橢圓的時(shí)候，往往是從“非圓”的角度進(jìn)行的，但學(xué)生知道圓可以從“到定點(diǎn)的距離等于定值”的角度來描述，卻不知道橢圓該如何描述；二是學(xué)生有可能會(huì)根據(jù)圓的定義去描述橢圓，但卻無法具體、準(zhǔn)確地確定橢圓的定義，因此需要教師提供新的素材，以讓學(xué)生的思維去加工. 通常情況下，教師提供的素材，就是讓學(xué)生直接或間接地去體驗(yàn)橢圓的形成過程，如讓學(xué)生在兩根固定的釘子上系上一根較長的繩子，然后用筆拉直這根繩子，以得到一個(gè)橢圓的圖形. 有了這樣的體驗(yàn)過程，學(xué)生對橢圓的描述往往就可以趨向準(zhǔn)確定義.

盡管這樣的教學(xué)過程比較常見，但卻不意味著其中的價(jià)值已經(jīng)被完全發(fā)現(xiàn)了，因?yàn)楣P者注意到很少有對這樣的教學(xué)過程進(jìn)行思維角度分析的情況. 事實(shí)上，學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)過程中，思維過程是值得研究的. 具體分析就可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在此過程中經(jīng)歷的是體驗(yàn)之后形成概念的過程，這個(gè)過程相對于一般的教學(xué)過程而言，其有學(xué)生自己的體驗(yàn)，而這樣的體驗(yàn)實(shí)際上也是思維的結(jié)果. 因?yàn)樵隗w驗(yàn)兩根固定的釘子拉直一根線的過程中，固定的釘子就可以迅速地抽象成“定點(diǎn)”，而拉直的線就可以抽象成“固定的距離”，這樣的抽象過程，正是數(shù)學(xué)概念形成的重要途徑. 試想一下，如果沒有這樣的過程，那學(xué)生的思維只可能是在教師的牽引之下，進(jìn)行純粹的、抽象的思維加工的過程，這對于從面的角度提高橢圓概念教學(xué)的有效性而言，是沒有益處的.

因此，概念的形成過程要高度重視，這種重視不僅僅是教學(xué)素材上的重視，也應(yīng)當(dāng)是學(xué)生思維視角下的研究性的重視.

概念構(gòu)建，關(guān)鍵在于把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

事實(shí)上，在概念形成的過程中，也是有值得研究的地方的. 就拿橢圓概念的構(gòu)建過程來說，學(xué)生是不是意識(shí)到這種構(gòu)建方式的數(shù)學(xué)意義，是一個(gè)重要的視角，因?yàn)檫@也關(guān)系到學(xué)生的思維. 準(zhǔn)確地說，就是關(guān)系到學(xué)生能否將生活過程轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)過程，是否能夠用數(shù)學(xué)語言來有效地描述數(shù)學(xué)體驗(yàn)甚至是生活體驗(yàn).

每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是用數(shù)學(xué)語言來描述的，而每一個(gè)數(shù)學(xué)語言形成的過程，就是一個(gè)從形象到抽象的過程. 這種過程對于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維來說是至關(guān)重要的，而在像橢圓這樣的概念教學(xué)中，是可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一層含義的. 橢圓的定義中有集合的思想，這是橢圓概念構(gòu)建的前概念；也有數(shù)學(xué)抽象的思想，這也是橢圓概念構(gòu)建的前概念. 在從前概念向現(xiàn)概念的轉(zhuǎn)換過程中，學(xué)生的思維應(yīng)當(dāng)是從具象走向抽象的過程，如對學(xué)生自己的體驗(yàn)的抽象，就是將具體的操作過程演變?yōu)楸硐蟮倪^程. 可以肯定地說，當(dāng)學(xué)生后來再看到橢圓的定義的時(shí)候，大腦里想的肯定不是那個(gè)曾經(jīng)的體驗(yàn)過程，而是構(gòu)建出來的極為抽象的到兩個(gè)定點(diǎn)等于定值的點(diǎn)、線表象.

需要強(qiáng)調(diào)的是，在這個(gè)教學(xué)過程中，教師有必要跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語言描述下的數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)含義. 也就是說，要讓學(xué)生明確地認(rèn)識(shí)到，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中必須經(jīng)歷一個(gè)從生活體驗(yàn)向數(shù)學(xué)體驗(yàn)進(jìn)而向數(shù)學(xué)表達(dá)轉(zhuǎn)換的過程，只有經(jīng)歷了這樣的過程，才可以獲得真正的對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解，也才可能構(gòu)建出能夠讓自己真正理解的數(shù)學(xué)概念與規(guī)律. 應(yīng)當(dāng)說高中學(xué)生是具有這樣的思維基礎(chǔ)的，也是能夠認(rèn)識(shí)到這種學(xué)習(xí)過程的重要性的. 事實(shí)證明，只要學(xué)生形成了這樣的認(rèn)識(shí)，其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果就不會(huì)差. 反之，如果一直在生活與數(shù)學(xué)之間無法厘清，那其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定會(huì)比較迷茫，自然也就不會(huì)有什么很好的效果. 說白了，這就是對數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)是否到位的問題，自然也就是一個(gè)思維問題.

概念比較，貴在運(yùn)用求同求異的思維

在上面第一點(diǎn)的闡述中還有一個(gè)問題值得研究，那就是學(xué)生所經(jīng)歷的構(gòu)建橢圓概念的兩個(gè)過程，實(shí)際上也就是通常橢圓概念的形成過程. 從知識(shí)構(gòu)建的角度來看，這已經(jīng)完成了教學(xué)任務(wù)，但從學(xué)生的思維角度來看，實(shí)際上還給人一種意猶未盡的感覺. 因?yàn)楸容^圓與橢圓的定義，實(shí)際上可以發(fā)現(xiàn)兩者的定義方式是一樣的，只不過圓是相對于一個(gè)定點(diǎn)而言，而橢圓是相對于兩個(gè)定點(diǎn)而言的. 這樣的過程中既有相同的地方，也有不同的地方.

相同的地方是圓與橢圓定義方式的相似性，不同的地方是構(gòu)建出來的圖形的形狀是不同的. 這種同中有異、異中有同的情形，實(shí)際上是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常好的一種情形，可以培養(yǎng)學(xué)生的比較思維.

筆者在教學(xué)中嘗試引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，而學(xué)生也總能相對順利地發(fā)現(xiàn)圓與橢圓概念及其定義的異同. 這種比較有什么結(jié)果呢？筆者最大的認(rèn)識(shí)就是發(fā)現(xiàn)其可以拓展學(xué)生的思維. 因?yàn)橛幸淮卧诒容^的過程中收獲了一個(gè)極好的“意外”，這個(gè)意外就是學(xué)生在比較圓與橢圓的過程中提出了一個(gè)問題：在生活中看到的雞蛋是不是也有一個(gè)定義？是不是也可以用橢圓的定義的方式給出一個(gè)定義？

這個(gè)問題在常規(guī)的思維之下可能只會(huì)在課堂上一笑了之，可是這一次在學(xué)生提出這個(gè)問題之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：你覺得雞蛋的外形與橢圓有什么不同？學(xué)生自然也就很迅速地提出：橢圓是對稱的，兩端大小是相同的，而雞蛋則是一頭大一頭小. 于是筆者緊緊抓住學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生通過這一特征去猜想雞蛋外形所可能具有的定義方式，當(dāng)然也跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)可以從曲線方程的角度去猜想雞蛋的方程.

這絕對是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生思維的過程，因?yàn)樵诒容^的過程中，學(xué)生以能夠緊緊扣著自己構(gòu)建出來的雞蛋平面圖的表象，從非對稱的角度去思考其可能的定義或方程. 而當(dāng)學(xué)生根據(jù)橢圓方程去猜想雞蛋的方程是不是可以在l1+l2=C的系數(shù)上作一些改動(dòng)時(shí)，這已經(jīng)是一種非常了不起的思維了，因?yàn)殡u蛋的方程確實(shí)也就是如此的. 反思這樣的思考過程，可以發(fā)現(xiàn)其就是比較思維的求同求異的結(jié)果.

概念運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)情境有效刺激

概念的運(yùn)用也是概念教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，通常情況下概念的運(yùn)用也只是一些簡單的概念辨析或者是直接運(yùn)用，其對思維的作用是有限的. 如果能夠在一種情境的創(chuàng)設(shè)之下去促進(jìn)學(xué)生的概念運(yùn)用，那效果往往會(huì)好很多. 這一點(diǎn)其實(shí)同行并不是很陌生，筆者只想強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)就是：情境對概念的作用，應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在學(xué)生的遷移能力上. 即給出學(xué)生一種相對陌生的情境，讓學(xué)生去嘗試概念的運(yùn)用，這往往能夠培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，也是考查學(xué)生對概念是否真正理解的最好方法.

在這個(gè)過程中，有效的情境往往體現(xiàn)在其對學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)的刺激上，即好的情境是可以刺激出學(xué)生的已有概念認(rèn)知的. 如筆者在橢圓教學(xué)中給出al1+bl2=C（a不等于b且不為0）的方程并要求學(xué)生去猜想其形狀時(shí)，學(xué)生的思維就能夠被有效激活，但又尋找不到這樣的原型，因此只能根據(jù)已有的知識(shí)去猜想、去推理，這實(shí)際上就很好地培養(yǎng)了學(xué)生的思維遷移能力.