培養(yǎng)拓展性思維的教學(xué)探索

鐘源+任曉崧

摘要：土木工程屬于相對比較傳統(tǒng)的專業(yè)，主干課程以數(shù)學(xué)、力學(xué)和結(jié)構(gòu)類課程為主，在課程教學(xué)中開展培養(yǎng)拓展性思維的教學(xué)探索，強(qiáng)調(diào)所學(xué)知識的綜合應(yīng)用。文章以工程結(jié)構(gòu)中常見的單自由度體系動力響應(yīng)為例進(jìn)行探討，該內(nèi)容是結(jié)構(gòu)動力學(xué)、建筑結(jié)構(gòu)抗震等課程的基礎(chǔ)內(nèi)容。單自由度體系動力方程可簡化為二階微分方程，常見情況下阻尼比小于0.2，增大阻尼可以減小結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，課程教學(xué)中針對這個一般意義上的普通命題開展拓展性思維訓(xùn)練，由助教牽頭學(xué)生提出問題、查閱資料并解決問題，討論了一般小阻尼情況下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)變化情況，分析了臨界阻尼和過阻尼情況下阻尼與結(jié)構(gòu)響應(yīng)的關(guān)系，從而幫助學(xué)生正確認(rèn)識阻尼在結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析中的影響。

關(guān)鍵詞：拓展性思維；教學(xué)探索；單自由度體系；阻尼比；動力響應(yīng)

中圖分類號：G6420 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：10052909（2017）02009305

土木工程專業(yè)類課程一般涉及力學(xué)類課程、結(jié)構(gòu)類課程等內(nèi)容，還和現(xiàn)行的各種結(jié)構(gòu)規(guī)范、規(guī)程密切相關(guān)，學(xué)習(xí)內(nèi)容多，難度大[1]。傳統(tǒng)的課堂教學(xué)多以書本為主，在學(xué)生課外拓展性內(nèi)容方面關(guān)注不足。實(shí)踐表明，在課程中適當(dāng)補(bǔ)充延伸性內(nèi)容，提出問題，并鼓勵學(xué)生查閱相關(guān)資料，結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)工具和已有知識基礎(chǔ)進(jìn)行課外拓展性思維訓(xùn)練，有助于學(xué)生全面理解和把握課程內(nèi)容，提高學(xué)習(xí)效果。

單自由度體系動力響應(yīng)分析是建筑結(jié)構(gòu)抗震和結(jié)構(gòu)動力學(xué)等課程的重要內(nèi)容，在實(shí)際教學(xué)中主要討論小阻尼情況。文章以不同阻尼情況下的單自由度體系動力響應(yīng)分析為例，

開展拓展性思維教學(xué)探索，由課程助教牽頭協(xié)助學(xué)生查閱匯總相關(guān)資料，以高等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行對比分析，討論阻尼比對體系動力響應(yīng)的影響。

一、單自由度體系動力響應(yīng)教學(xué)的主要內(nèi)容

以自振周期為0.5 s、阻尼比為0.05的單自由度體系在簡諧激勵和地震激勵作用下的響應(yīng)對比為例。學(xué)生利用MATLAB軟件所作的體系在周期為0.45 s簡諧激勵作用下的加速度、位移響應(yīng)如圖2所示，同時對于上述單自由度，指導(dǎo)學(xué)生利用MATLAB軟件中的卷積函數(shù)進(jìn)行求解，其在El Centro地震記錄（其峰值由原始記錄的調(diào)整為）作用下的加速度、位移響應(yīng)如圖3示意，比較這兩張圖，可見其結(jié)構(gòu)響應(yīng)要小于周期為0.45 s的簡諧激勵所引發(fā)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，這是因?yàn)楹喼C激勵的頻率為0.45 s，非?？拷Y(jié)構(gòu)自振頻率，更易激發(fā)結(jié)構(gòu)的共振效應(yīng)[4]。

一般情況下建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比為0.02～0.05，在抗震規(guī)范[5]中，結(jié)構(gòu)阻尼比最大取0.2，課程教學(xué)內(nèi)容一般認(rèn)為增大阻尼可以減小結(jié)構(gòu)加速度及位移響應(yīng)。課程教學(xué)中針對這個普通命題開展拓展性思維訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：

（1）一般建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比為0.02～0.05，通?？刹豢紤]阻尼對結(jié)構(gòu)自振頻率和結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，但是當(dāng)阻尼比超過0.2但不大于1時，是否需要考慮這種影響？

（2）回顧前面的方程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)初始條件會對單自由度體系自由振動響應(yīng)產(chǎn)生一定的影響，那么是否意味著結(jié)構(gòu)在臨界阻尼情況下的自由振動響應(yīng)一定比過阻尼情況小呢？

（3）如果不失一般性地將強(qiáng)迫振動納入考慮范圍內(nèi)，那么單自由度體系的阻尼比對外激勵作用引起的加速度和位移響應(yīng)又會有何影響？

對于這三個問題，通過教與學(xué)互動的方式引導(dǎo)學(xué)生回顧以往所學(xué)高等數(shù)學(xué)微分方程知識，并查閱課外文獻(xiàn)資料，指導(dǎo)學(xué)生編寫相關(guān)的MATLAB程序進(jìn)行對比分析，進(jìn)行課外拓展性思維訓(xùn)練。

二、相關(guān)高等數(shù)學(xué)知識回顧

三、阻尼比對單自由度體系動力響應(yīng)影響分析

科技文獻(xiàn)的查閱和寫作能力是作為卓越土木工程人才的一項(xiàng)基本素質(zhì)，應(yīng)在大學(xué)階段的專業(yè)課學(xué)習(xí)中得到重視和培養(yǎng)[7]，為日后工作打好基礎(chǔ)。針對前述的3個問題，在課程中通過引導(dǎo)學(xué)生查閱相關(guān)資料，組織學(xué)生利用課外時間系統(tǒng)學(xué)習(xí)和應(yīng)用MATLAB軟件相關(guān)知識[8]，并利用該軟件編制對應(yīng)程序進(jìn)行數(shù)值模擬試驗(yàn)，最后指導(dǎo)學(xué)生對模擬結(jié)果進(jìn)行對比分析得到結(jié)論，以期幫助學(xué)生更好拓展理解課程內(nèi)容。

1.阻尼比對結(jié)構(gòu)自振圓頻率的影響

在小阻尼情況下的較大阻尼比（0.2～1）對結(jié)構(gòu)自振圓頻率的影響探究過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)理論上阻尼比可取大于0.2甚至超過1的值。隨著近年來各類阻尼器在建筑結(jié)構(gòu)中越來越廣泛的應(yīng)用，研究結(jié)構(gòu)在較大阻尼下的情況更加重要，因此建議學(xué)生在阻尼比為0.05～0.9時對結(jié)構(gòu)自振圓頻率的影響進(jìn)行探索，為方便起見，將結(jié)構(gòu)自振周期取為1 s，結(jié)果如表1所示。

從表1中可以看到，隨著阻尼比變大，結(jié)構(gòu)自振周期也在變大，當(dāng)阻尼比超過0.5時，結(jié)構(gòu)自振周期將會增大15%以上。一般課程中關(guān)注的是反應(yīng)譜教學(xué)，即關(guān)注結(jié)構(gòu)自振周期與最大響應(yīng)之間的關(guān)系。學(xué)生結(jié)合反應(yīng)譜理論發(fā)現(xiàn)，在阻尼比小于0.2情況下，由于阻尼比對結(jié)構(gòu)自振周期影響不大，反應(yīng)譜理論下的結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)差別也不大。但當(dāng)阻尼比的增大引起較大周期變化時，應(yīng)用反應(yīng)譜理論會對結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)進(jìn)行調(diào)整，所得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與實(shí)際響應(yīng)可能相差較大。這部分應(yīng)作為課程教學(xué)中的拓展性內(nèi)容，幫助學(xué)生更全面地理解反應(yīng)譜理論。

2.阻尼比對單自由度系統(tǒng)在不同初始條件下的自由振動響應(yīng)影響

對于過阻尼和臨界阻尼情況下的自由振動響應(yīng)分析，原所佳[9]、周蓉娟[10]、王明勇[11]及王培霞[12]等對不同初始條件下的響應(yīng)做了分析，但尚有其他情況需要考慮。

學(xué)生在實(shí)際編程繪圖中發(fā)現(xiàn)，在一般情況下（如只有初速度或初位移），隨阻尼的增加結(jié)構(gòu)位移的確會減小，且臨界阻尼情況下振幅衰減速度最快（圖5）。在振動曲線繪制過程中，引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)調(diào)整結(jié)構(gòu)初速度v0和初位移x0，學(xué)生發(fā)現(xiàn)過阻尼曲線較快回到平衡位置，且不出現(xiàn)反向位移，而臨界阻尼曲線則穿過平衡位置并出現(xiàn)反向位移（圖6）。

學(xué)生進(jìn)一步結(jié)合數(shù)學(xué)公式和程序?qū)嵗治霭l(fā)現(xiàn)：當(dāng)v0處于-（ξ+ξ2-1）ωnx0附近時，過阻尼曲線會出現(xiàn)較快回到平衡位置的特殊情況，且無反向位移，而臨界阻尼曲線則越過平衡位置并有反向位移，同時雖然過阻尼情況下的阻尼比大于臨界阻尼，但結(jié)構(gòu)衰減后期的響應(yīng)反而會出現(xiàn)比臨界阻尼大的現(xiàn)象。結(jié)合數(shù)學(xué)與編程知識進(jìn)行拓展性思維，學(xué)生能夠更深刻地理解阻尼比對單自由度系統(tǒng)在不同初始條件下自由振動響應(yīng)的影響。

3.阻尼比對單自由度體系在外激勵作用下引起的加速度和位移響應(yīng)影響

一般情況下，增加結(jié)構(gòu)阻尼比有利于減小結(jié)構(gòu)在地震響應(yīng)下的位移和加速度響應(yīng)。然而在結(jié)構(gòu)自振周期較大的情況下，增大阻尼比是否依然對減小外激勵作用引起的加速度和位移響應(yīng)有積極作用呢？

在以上問題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生查閱相關(guān)論文后發(fā)現(xiàn)，在地震作用下，對于剛性結(jié)構(gòu)（自振周期小于1.5 s），其位移和加速度響應(yīng)均隨結(jié)構(gòu)阻尼比增大而減小，而對于柔性結(jié)構(gòu)（自振周期大于1.5 s），其位移響應(yīng)依然隨著結(jié)構(gòu)阻尼比的增大而減小，而加速度響應(yīng)卻出現(xiàn)不同于一般情況的放大現(xiàn)象[13]。為此學(xué)生利用MATLAB軟件編制Duhamel積分程序，以簡諧激勵作用下單自由度體系的加速度、位移響應(yīng)為例進(jìn)行探索。實(shí)際編程過程中建議學(xué)生取簡諧激勵為正弦激勵，其頻率為2 Hz，持續(xù)時間為0～19 s。單自由度體系自振周期取2.5 s，研究阻尼比分別取0.05和0.4時簡諧激勵對結(jié)構(gòu)加速度和位移響應(yīng)的影響。最終學(xué)生做出了阻尼比為0.05和0.4的單自由度體系響應(yīng)結(jié)果，分別如圖7和8所示，其中圖8a為加速度響應(yīng)，圖8b為位移響應(yīng)。從圖7和8位移響應(yīng)部分發(fā)現(xiàn)，在簡諧荷載作用下，單自由度體系的位移響應(yīng)隨阻尼比的增大而減小，這符合一般意義下對于“增大阻尼比有利于減小結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)”的認(rèn)知，但從圖7中可以看到，加速度響應(yīng)出現(xiàn)異?，F(xiàn)象，即阻尼比在取較大值時，結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)反倒比小阻尼情況下更大，這意味著結(jié)構(gòu)內(nèi)力放大，將對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不利影響。由圖7可知，從開始振動到穩(wěn)態(tài)振動，結(jié)構(gòu)振幅和周期均出現(xiàn)較大幅度的變化，屬于過渡態(tài)振動，隨著外激勵停止，結(jié)構(gòu)響應(yīng)為自由振動，逐漸衰減到原始位置，此時自由振動段的最大響應(yīng)出現(xiàn)超過強(qiáng)迫振動段的情況，這也說明“自由振動部分衰減很快其意義不大”的說法不夠準(zhǔn)確。為此進(jìn)行拓展性思維訓(xùn)練，學(xué)生能更全面地把握阻尼比對單自由度體系在外激勵作用下引起的加速度和位移響應(yīng)的影響。

四、結(jié)語

筆者為在校研究生，在之前本科生的課程學(xué)習(xí)中已修讀過建筑結(jié)構(gòu)抗震及結(jié)構(gòu)動力學(xué)等土木工程類課程。如今借著擔(dān)任建筑結(jié)構(gòu)抗震課程助教的機(jī)會，協(xié)助教師牽頭引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行拓展性思維訓(xùn)練的教學(xué)互動探索。文章以阻尼比對單自由度體系動力響應(yīng)的影響分析為例，探索了在課程之中提出問題，在課程之外引導(dǎo)學(xué)生查閱相關(guān)科技文獻(xiàn)并利用MATLAB編程軟件解決問題的拓展性思維訓(xùn)練教學(xué)方法。實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果良好，既能熟練使用MATLAB軟件，又鍛煉了查閱文獻(xiàn)的能力，并最終對課程知識有了更全面的把握。

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Abstract：Civil engineering is a relatively traditional discipline which mainly contains mathematical， mechanical and structural courses. Teaching practice for extended thoughts training was carried out during courses to achieve comprehensive application of learned knowledge. The paper takes dynamic response of single degree of freedom （SDOF） system， which is common in structures， as an example. This section is the basic content in structural dynamics and seismic design courses. Dynamic equation of SDOF system can be simplified into a second order differential equation. In general case the damping ratio is less than 0.2 and dynamic response of structures can be usually decreased by increasing damping ratio. Extended thoughts training was carried out during teaching process based on this general assumption. During courses， teaching assistant guided students to raise questions， refer to literature and solve problems. The paper discusses the change of structural responses in small damping ratio cases and analyses the relationship between damping ratios and structural responses in critical damping and over damping cases to assist students establish correct understandings of the influence of damping in the dynamic responses of structures.

Keywords： extended thoughts； teaching practice； single degree of freedom system； damping ratio；dynamic response

（編輯 周 沫）