奇思妙解通題關(guān)

胡曉月

【摘 要】圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點之一，也是近幾年高考數(shù)學(xué)試題命題的 熱點和重點；它往往是綜合題，在高考試卷中常處于壓軸題的位置，題型變化靈活，能考查學(xué)生多方面運用能力，是出活題，考能力的典范；學(xué)生在面對一些圓錐曲線的綜合題時往往思維不暢，甚至出現(xiàn)“會兒不對，對而不全”等現(xiàn)象

【關(guān)鍵詞】直線參數(shù)方程中的幾何意義；參數(shù)法；圓錐曲線弦長公式；根與系數(shù)的關(guān)系

高中數(shù)學(xué)難，圓錐曲線又是難中之難，這已經(jīng)成為幾乎所有高三學(xué)生的心頭痛.特別是直線與圓錐曲線問題，以其獨有的特點——用代數(shù)方法解決幾何問題，以其重要的思想——數(shù)形結(jié)合的思想將幾何問題化為代數(shù)問題，被視為高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，它與代數(shù)、向量、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識的交匯問題，體現(xiàn)了知識面廣、綜合性強、命題新穎等特點，一直是高考的重點、熱點.也是學(xué)生們失分點.其實，解析幾何題目自有路徑可循，方法可依。只要經(jīng)過認(rèn)真的分析和正確的推理，再結(jié)合知識體系的構(gòu)建完全可以讓高考數(shù)學(xué)的圓錐曲線難題變成讓我們都很有信心的、得分的中等題目.下面就以2016年課標(biāo)Ⅰ卷解析幾何題為例談?wù)勎医忸}的感悟。

一、應(yīng)用傳統(tǒng)解析幾何答題模板解決圓錐曲線弦長問題

設(shè)直線l與圓錐曲線C：f（x，y）=0交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點.弦長|AB|公式的計算方法如下：

1.求交點坐標(biāo)法：

將直線與曲線的方程聯(lián)立，求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)|AB|= 求弦長.

2.根與系數(shù)關(guān)系法：

若直線l的方程為y=kx+m，將其代入f（x，y）=0中得？琢x2+bx+c=0，得x1+x2，x1x2，|AB|= = .若直線l的方程為x=n，代入f（x，y）=0，得？琢x2+by+c=0，得y1+y2，y1y2，|AB|=|y1-y2|.

【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（II）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

試題分析：根據(jù)|EA|+|EB|可知軌跡為橢圓，利用橢圓定義求方程；（II）分斜率是否存在設(shè)出直線方程，當(dāng)直線斜率存在時設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠0），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式把面積表示為x斜率k的函數(shù)，再求最值.

解：（Ⅰ）因為|AD|=|AC|，EB//AC，所以∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，又因為圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2=16，所以|AD|=4，由題設(shè)得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，由橢圓的定義可得點E的軌跡方程為： + =1（y≠0）.

（Ⅱ）當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

由y=k（x-1） + =1得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0.則x1+x2= ，x1x2= .

所以|MN|= |x1-x2|= .

過點B（1，0）且與l垂直的直線m：y=- （x-1），A到m的距離為 ，

所以|PQ|=2 =4 .

故四邊形MPNQ的面積S= |MN||PQ|=12 .

可得當(dāng)l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12，8 ）.

當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四邊形MPNQ的面積為12.

綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12，8 ）.

由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當(dāng)中，難點在于引出參，活點在應(yīng)用參、重點在消去參.而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合題求解的一條有效通道.

二、巧設(shè)參數(shù)簡化解題步驟

對于過一點P（x0，y0）設(shè)直線方程時，為了避免向上面解題中對直線的斜率存在與否進行分類討論，我們可以把直線方程設(shè)為x-x0=m（y-y0），達到簡化解題過程的目的.以上例的第二問為例解法如下：

數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心，以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程.在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等）做到思維縝密.推理嚴(yán)密.通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力.

三、利用直線的參數(shù)方程解決弦長問題能獲得意想不到的效果

直線與圓錐曲線的綜合問題是我們高考的重點問題，也是我們考試的難點問題，這類問題綜合性強，難度大，重點考查運算求解能力，推理論證能力和探索問題能力，一般來說解題入口寬，但進入容易深入難，運算量大，費時耗力，若方法不當(dāng)，則常常無功而返.但是對于直線與圓錐曲線的有關(guān)問題，我們?nèi)暨\用直線的參數(shù)方程中t的幾何意義來處理，則可簡化運算，提高解題效率.

經(jīng)過點P0（x0，y0），傾斜角為？琢的直線的參數(shù)方程為x=x0+tcos？琢y=y0+tsin？琢（t為參數(shù)）

設(shè)P是直線上任一點，則t表示有向線段P0 的數(shù)量，利用t的幾何意義計算弦長，有時比較方便.具體方法是：

把l：x=x0+tcos？琢y=y0+tsin？琢代入圓錐曲線C：F（x，y）=0，即可消去x，y；從而得到關(guān)于t的一元二次方程：？琢x2+bx+c=0（？琢≠0）.當(dāng)△>0時，l與C有兩個公共點；此時方程？琢x2+bx+c=0（？琢≠0）有兩個不同的實根t1、t2，把參數(shù)t1、t2代入l的參數(shù)方程，即可求得l與C的兩個交點M1、M2的坐標(biāo)；另外，由參數(shù)t的幾何意義可知弦長|M1M2|=|t1-t2|= .

下面給出例題第二問的第三種解法.

解（Ⅱ）：由題意可設(shè)直線l的參數(shù)方程為l：x=1+tcos？琢y=tsin？琢（t為參數(shù)，0<？琢<？仔），將l的方程代入曲線C1：： + =1中得，3（1+tcos？琢）2+4（tsin？琢）2=12，化簡得（sin2？琢+3）

總之，在解題過程中，我們應(yīng)該學(xué)會從觀察、思考、聯(lián)想、變換思考角度方面去分析問題，進而確定解題的思路和方法.我們也應(yīng)該養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，勇敢地面對遇到的任何困難，樹立戰(zhàn)勝困難的信心和決心.在我們的思維處于困難的時候，從條件的持定含義分析和解決問題，是解決數(shù)學(xué)難題的一種有效途徑。