城市路燈排布的數(shù)學(xué)建模及優(yōu)化分析

李雨珊

摘 要：隨著我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，國(guó)內(nèi)各地城市化進(jìn)程的不斷推進(jìn)，城市照明問(wèn)題得到了廣泛的關(guān)注。本文通過(guò)對(duì)城市路燈排布進(jìn)行系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模，將道路兩旁的路燈簡(jiǎn)化為空間直角坐標(biāo)系的基本光源，通過(guò)光照強(qiáng)度空間分布規(guī)律的研究，定量地確定了路面上每一點(diǎn)的光照強(qiáng)度，得到光強(qiáng)隨不同位置分布的規(guī)律，由此進(jìn)行科學(xué)與合理的路燈排布設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：路燈排布；光照強(qiáng)度分布；數(shù)學(xué)建模；照明優(yōu)化分析

中圖分類(lèi)號(hào)：TM923.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2017）04-0228-02

1 引言

隨著我國(guó)城市化進(jìn)程的加劇，城市道路照明需求迅猛增加。作為城市規(guī)劃的重要環(huán)節(jié)，我國(guó)路燈建設(shè)缺乏統(tǒng)一的規(guī)劃。在道路照明規(guī)劃中，既要考慮路燈排布的美觀性，又要考慮光照的合理性。一方面，不能使路面照度過(guò)高造成光污染以及不必要的能源浪費(fèi)，另一方面也不能因?yàn)檎彰髁炼冗^(guò)低而影響民眾的出行安全。本文主要探討傳統(tǒng)兩側(cè)對(duì)稱(chēng)排布的路燈建模優(yōu)化問(wèn)題。根據(jù)點(diǎn)光源空間照度的分布規(guī)律，建立了路面亮度的數(shù)學(xué)模型，并基于數(shù)值模型進(jìn)行了數(shù)值求解，得到了在該模型下路面照度的分布規(guī)律。在這種數(shù)理建模過(guò)程中，我們可以進(jìn)一步地通過(guò)優(yōu)化其分布，得到最為合理的路燈排布方式，在滿(mǎn)足人們正常工作和生活的需要下，達(dá)到節(jié)省電流資源的目的[1]。

2 城市路燈排布的數(shù)學(xué)建模

本小節(jié)主要建立合理的數(shù)學(xué)模型用以描述路燈照明分布情況。如圖1（a）所示，對(duì)于A點(diǎn)處的點(diǎn)光源，它發(fā)出的光均勻地以該光源為中心向外發(fā)散，光照強(qiáng)度在離中心同樣距離的位置處均勻分布，照度方向沿徑向分布，可見(jiàn)在徑向方向上，某點(diǎn)的光照強(qiáng)度與該點(diǎn)到中心光源距離的平方成反比，又考慮到存在偏角的情形，可得光源A其在B點(diǎn)處的照明亮度表達(dá)式有：

式（1）中k為量綱單位決定的比例系數(shù)，P為點(diǎn)光源的功率，d為點(diǎn)光源到待測(cè)點(diǎn)B的直線(xiàn)距離，為光源到點(diǎn)B的光線(xiàn)與水平面的夾角。

基于單光源的照明亮度分布情況，我們能建立如圖1（b）所示的模型。前文中已經(jīng)指出，本小節(jié)主要探討道路兩旁路燈對(duì)稱(chēng)排布的光照分布情況。事實(shí)上，基于類(lèi)似的數(shù)學(xué)建模方法，同樣可以推廣到其他任意形式的路燈排布情形。在圖1（b）中，取其中一處光源O1為原點(diǎn)，建立如圖1（b）所示三維空間直角坐標(biāo)系，圖1（b）中O1O3為道路的寬度，O1O2為道路同側(cè)相鄰兩盞燈之間的距離。各光源的坐標(biāo)如圖1（b）所示，每盞路燈的高度均為h，功率為P。由于照明亮度與照明距離的平方成反比，本模型中不考慮更遠(yuǎn)處的路燈光源在此區(qū)間內(nèi)的照明，由此可得對(duì)于圖1（b）中O1O2O4O3區(qū)域的某一點(diǎn)（x，y，z），同時(shí)考慮到此處z=0，可得四個(gè)光源在此處引起的照明強(qiáng)度為：

由此可以建立兩側(cè)路燈對(duì)稱(chēng)分布情形下的路面照明強(qiáng)度分布規(guī)律，如下式：

接下來(lái)，我們將基于本小節(jié)建立的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)值求解過(guò)程來(lái)分析其在路面上的照明強(qiáng)度分布情況。

3 優(yōu)化結(jié)果與分析

由式（3）所示，如果直接進(jìn)行數(shù)學(xué)求解分析路面照度最值將是一個(gè)非常復(fù)雜的問(wèn)題。本小節(jié)主要提出采用數(shù)值求解的方式來(lái)探討路面照明強(qiáng)度分布情況，其基本思想如圖2所示，將待研究的區(qū)域在O1O2方向上（道路同側(cè)兩路燈之間的距離）分為N1份，在O4O3（道路寬度）分為N2份，這樣就在待研究的區(qū)域上得到了個(gè)離散的點(diǎn)，通過(guò)獲取這些點(diǎn)的坐標(biāo)代入式（3）中就能得到每一點(diǎn)的光照情況[2]。接下來(lái)，本小節(jié)將采用計(jì)算機(jī)程序求解的方式得到O1O2O4O3區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)的照明強(qiáng)度分布圖。

在接下來(lái)的分析探究中，取路燈功率為2000W，系數(shù)k為1，路燈高為5m，道路的寬度為20m，道路同側(cè)兩路燈之間的距離為10m，兩個(gè)方向分別劃分100份。由此得到的亮度隨空間位置的分布如圖3所示，通過(guò)描繪每一點(diǎn)處的路燈照度分布情況，可以清晰的建立整個(gè)路面照明強(qiáng)度的分布情況。從圖3（a）中可見(jiàn)，由于在模型取得的道路寬度是大于路燈間距的，因此從圖3（b）中可見(jiàn)，整個(gè)路面上照明度最弱的地方分布在路面中央?yún)^(qū)域。

進(jìn)一步地，我們提取了道路中軸線(xiàn)（x=10處）的照明強(qiáng)度隨著位置y變化的分布情況以及垂直于中軸線(xiàn)（y=5處）沿x方向的分布情況，即圖3b中虛線(xiàn)上的照明強(qiáng)度分布情況。所得到的結(jié)果分別下圖4所示，亮度在兩個(gè)方向上都是對(duì)稱(chēng)分布的，在x方向，亮度最低的點(diǎn)在中間，而在y方向上，亮度最低的點(diǎn)在兩側(cè)。由此可得到整個(gè)路面在兩個(gè)方向上照明強(qiáng)度的分布情況。

在實(shí)際道路系統(tǒng)中，經(jīng)過(guò)本文的數(shù)學(xué)建模，再結(jié)合確保安全的情況下道路照明最低要求，就能實(shí)現(xiàn)對(duì)道路兩側(cè)路燈排布狀況的優(yōu)化[3]。

4 結(jié)語(yǔ)

本文從點(diǎn)光源光強(qiáng)是分布規(guī)律出發(fā)，對(duì)城市道路兩側(cè)路燈照明系統(tǒng)進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)建模，并進(jìn)一步地通過(guò)對(duì)路面區(qū)域的離散化來(lái)進(jìn)行計(jì)算機(jī)數(shù)值求解與分析，得到了整個(gè)路面區(qū)域上照明強(qiáng)度的分布情況。這種對(duì)路燈系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模及分析可以推廣到各種路燈設(shè)計(jì)優(yōu)化中，對(duì)道路系統(tǒng)的能源結(jié)構(gòu)優(yōu)化具有重要的意義，可以在滿(mǎn)足人們交通安全和正常工作生活的條件下，達(dá)到節(jié)省電力能源的效果。

參考文獻(xiàn)

[1]高尚.路燈安置優(yōu)化問(wèn)題研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2004（34）：1-6.

[2]韓蘊(yùn)，等.一種城市路燈合理排布的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[J].物理學(xué)與社會(huì)，2007（36）：330-333.

[3]湘照協(xié).我國(guó)城市路燈照明節(jié)點(diǎn)現(xiàn)狀[J].電與社會(huì)，2002（11）：6-7.