基于公共權(quán)重的魯棒DEA模型研究

張冉++冉倫++李金林++褚宏睿??

摘要：傳統(tǒng)DEA模型允許決策單元自由選取對(duì)其最為有利的投入產(chǎn)出權(quán)重，以獲得最大的效率。相比之下，公共權(quán)重DEA模型采用統(tǒng)一的權(quán)重，更加適合統(tǒng)一管理的組織對(duì)各部門進(jìn)行效率評(píng)價(jià)。此外，由于DEA方法是一種基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的方法，而現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)往往是不精確的，因此，在建模的過程中考慮數(shù)據(jù)的不確定性十分重要。本文對(duì)Chen等提出的多目標(biāo)公共權(quán)重DEA 模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化。在此基礎(chǔ)上，利用魯棒優(yōu)化方法，建立了基于公共權(quán)重的魯棒DEA模型，并與Omrani提出的模型進(jìn)行了對(duì)比。數(shù)值算例表明本文提出的方法有效，求解計(jì)算量更少，得到的公共權(quán)重更加合理。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析；公共權(quán)重；魯棒優(yōu)化；效率評(píng)價(jià)

中圖分類號(hào)：C934文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：10035192（2017）02006906

doi：10.11847/fj.36.2.69

Robust Data Envelopment Analysis Based on Common Weights

ZHANG Ran， RAN Lun， LI Jinlin， CHU Hongrui

（School of Management and Economics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China）

Abstract：In traditional DEA models， different decision making units （DMUs） are free to choose weights that are beneficial for themselves to obtain a high efficiency. While the common weights DEA models use common weights to assess different DMUs， which seems more suitable for the centralized organizations. Besides， DEA is a dataoriented method. However， the inputs and outputs data in reallife problems are often imprecise. Thus we should take the data uncertainty into consideration. In this paper， we simplify a multiobjective common weights DEA model proposed by Chen et al. Under the consideration of data uncertainty， we establish a robust multiobjective DEA model and make a comparison between our model and Omranis. The results of numerical example show that our approach is reasonable and acceptable， our computation amount is less and the common weights derived from our model are more reasonable.

Key words：data envelopment analysis； common weights； robust optimization； efficiency evaluating

1引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法（data envelopment analysis， DEA）經(jīng)常被用來評(píng)價(jià)具有相似的多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出的決策單元（decision making units， DMU）的相對(duì)效率。傳統(tǒng)的DEA模型（如Charnes等[1]提出的CCR模型和Banker等[2]提出的BCC模型）允許決策單元自由選取投入和產(chǎn)出權(quán)重以達(dá)到其最大的效率值。因此，不同決策單元投入產(chǎn)出的權(quán)重也不相同。這些權(quán)重不能直接用來比較所有決策單元的效率[3]。為了尋求能夠被大多數(shù)決策單元廣泛接受的統(tǒng)一的權(quán)重，一些學(xué)者提出了公共權(quán)重DEA模型[4]。

在對(duì)公共權(quán)重DEA模型的研究中，由于多目標(biāo)線性規(guī)劃和DEA方法都是尋求帕累托有效的非劣解，因此，很多學(xué)者自然地將多目標(biāo)線性規(guī)劃和DEA方法相結(jié)合，并取得了一些成果。Golany[5]最早將交互式多目標(biāo)線性規(guī)劃和DEA方法相結(jié)合，在給定投入水平和偏好信息的情況下，提出了一種尋求有效產(chǎn)出水平的方法。Li和Reeves[6]提出了一個(gè)包含三個(gè)目標(biāo)函數(shù)的DEA模型，分別為最大化經(jīng)典DEA模型中的效率得分，最小化最大的效率偏差（無效DMU與生產(chǎn)前沿的距離），最小化效率偏差的總和。通過求解該多目標(biāo)模型，可以獲得一組公共權(quán)重。此后，Kao和Hung[7]基于實(shí)際效率得分與理想效率得分的差距建立了一個(gè)公共權(quán)重DEA模型。在此基礎(chǔ)上，Zohrehbandian等[8]進(jìn)行了拓展，將Kao和Hung建立的非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題。然而，大多數(shù)多目標(biāo)公共權(quán)重DEA模型在求解時(shí)都需要事先選定一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒖键c(diǎn)，通過最小化與理想?yún)⒖键c(diǎn)的距離來獲得公共權(quán)重，進(jìn)而進(jìn)行效率排序。與此不同，Chen等[9]以同時(shí)最小化所有決策單元投入和產(chǎn)出的加權(quán)差為目標(biāo)函數(shù)，提出了一個(gè)新的多目標(biāo)DEA模型。由于目標(biāo)函數(shù)是投入產(chǎn)出差而非投入產(chǎn)出比，因此其理想?yún)⒖键c(diǎn)為n維零向量（0，0，…，0），其中n為決策單元的數(shù)量。這種方法不再以傳統(tǒng)DEA模型計(jì)算的效率為參考點(diǎn)，減少了計(jì)算量，當(dāng)決策單元的數(shù)量較大時(shí)該優(yōu)勢(shì)會(huì)更加明顯。因此， 本文對(duì)Chen等提出的多目標(biāo)公共權(quán)重DEA模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮數(shù)據(jù)不確定性展開研究。

張冉，等：基于公共權(quán)重的魯棒DEA模型研究

Vol.36， No.2預(yù)測(cè)2017年第2期

以上研究都是在假設(shè)投入和產(chǎn)出數(shù)據(jù)是精確的前提下進(jìn)行的。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多投入產(chǎn)出的數(shù)據(jù)都存在著一定的擾動(dòng)，稱為不確定性。魯棒優(yōu)化在解決不確定問題建模中有較好的表現(xiàn)，因此得到了廣泛的研究和應(yīng)用。其目的是求得這樣一個(gè)解，對(duì)于可能出現(xiàn)的所有情況，約束條件均滿足，并且使得最壞情況下的目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)。Soyster[10]，BenTal和Nemirovski[11～13]以及Bertsimas和Sim[14～16]等在該領(lǐng)域進(jìn)行了一系列的研究。其中Bertsimas和Sim[14～16]針對(duì)不確定集合為多面體的情況提出的方法，得到的魯棒等價(jià)問題是一個(gè)線性問題，并且可以通過調(diào)整參數(shù)取值來權(quán)衡解的保守性和最優(yōu)性。這種方法不僅保留了Soyster提出的魯棒優(yōu)化方法的線性優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也能以較高的概率保證解的魯棒性不遜于BenTal和Nemirovski的方法。因此，很多學(xué)者將Bertsimas和Sim提出的魯棒優(yōu)化方法應(yīng)用到不同的研究領(lǐng)域中。

在DEA方法中，各投入產(chǎn)出權(quán)重也是通過求解一個(gè)個(gè)優(yōu)化問題來獲得，因此有學(xué)者將魯棒優(yōu)化思想應(yīng)用到DEA模型中。其目的是尋求一組最為穩(wěn)健的排序，該結(jié)果對(duì)投入和產(chǎn)出數(shù)據(jù)在一定范圍內(nèi)的不確定性有較好的免疫。Sadjadi和Omrani[17]對(duì)傳統(tǒng)的BCC模型，分別建立了基于BenTal和Nemirovski，Bertsimas和Sim的魯棒優(yōu)化方法的魯棒DEA模型，并指出基于Bertsimas和Sim的魯棒DEA模型更加容易求解。隨后，他們又將Bertsimas和Sim的魯棒優(yōu)化方法應(yīng)用到不同的DEA模型中[18，19]。Omrani[20]基于Kao和Hung提出的公共權(quán)重DEA模型建立了一個(gè)魯棒公共權(quán)重DEA模型，并利用該模型對(duì)伊朗汽油公司的效率進(jìn)行了評(píng)價(jià)。Lu[21]也分別基于BenTal和Nemirovski，Bertsimas和Sim的魯棒優(yōu)化方法建立了魯棒DEA模型。文獻(xiàn)[17～21]都是將魯棒優(yōu)化和DEA相結(jié)合進(jìn)行的嘗試，對(duì)本文有很大的啟示。

現(xiàn)實(shí)生活中，很多統(tǒng)一管理的組織在對(duì)各部門進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，往往會(huì)尋求一種較為公平的公共權(quán)重。由于選取的某些數(shù)據(jù)存在著一定的不精確性，因此考慮數(shù)據(jù)的不確定性進(jìn)行DEA建模也十分必要。本文針對(duì)這種情況，首先對(duì)Chen等提出的多目標(biāo)公共權(quán)重DEA模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化。隨后引入Bertsimas和Sim提出的魯棒優(yōu)化方法，在投入和產(chǎn)出數(shù)據(jù)中加入了擾動(dòng)項(xiàng)，建立了基于公共權(quán)重的魯棒DEA模型。并將其與Omrani提出的公共權(quán)重魯棒DEA模型進(jìn)行了對(duì)比，詳細(xì)說明和討論了兩種方法的區(qū)別。最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證了本文提出的方法有效，結(jié)果顯示，相比Omrani提出的公共權(quán)重魯棒DEA模型，本文的方法對(duì)參考點(diǎn)的選擇更加巧妙， 模型求解計(jì)算量更少，得到的公共權(quán)重更加合理。

5結(jié)論與啟示

現(xiàn)實(shí)生活中，管理者獲取的數(shù)據(jù)很難保證精確性，在這種情況下利用數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)就必須考慮到數(shù)據(jù)的不確定性。本文正是考慮在數(shù)據(jù)不精確的前提下，統(tǒng)一管理的組織對(duì)各部門進(jìn)行效率評(píng)價(jià)的情況。首先簡(jiǎn)化了Chen等提出的多目標(biāo)公共權(quán)重DEA模型，然后考慮數(shù)據(jù)的不確定性，應(yīng)用Bertsimas和Sim的魯棒優(yōu)化方法，引入魯棒代價(jià)參數(shù)，建立了基于公共權(quán)重的魯棒DEA模型。本文建立的魯棒DEA模型允許投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)在名義值附近的一個(gè)小的范圍內(nèi)波動(dòng)，而且得到的結(jié)果可以以一定的概率保證解的有效性。因此，由該方法得到的排序結(jié)果是穩(wěn)健和可靠的。通過數(shù)值算例，對(duì)比了本文提出的基于公共權(quán)重的魯棒DEA模型和Omrani提出的公共權(quán)重魯棒DEA模型。結(jié)果顯示，本文提出的模型有效，求解過程計(jì)算量小，得到的公共權(quán)重更加合理。利用本文的方法對(duì)決策單元進(jìn)行效率評(píng)價(jià)，可以得到穩(wěn)健可靠的排序結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1]Charnes A， Cooper W W， Rhodes E. Measuring the efficiency of decision making units[J]. European Journal of Operational Research， 1978， 2（6）： 429444.

[2]Banker R D， Charnes A， Cooper W W. Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis[J]. Management Science， 1984， 30（9）： 10781092.

[3]熊文濤，馮育強(qiáng)，雍龍泉.基于公共權(quán)重和理想決策單元的DEA排序方法[J].系統(tǒng)工程，2016，34（3）：124128.

[4]楊鋒，楊琛琛，梁樑，等.基于公共權(quán)重DEA模型的決策單元排序研究[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2011，26（4）：551557.

[5]Golany B. An interactive MOLP procedure for the extension of DEA to effectiveness analysis[J]. Journal of the Operational Research Society， 1988， 39（8）： 725734.

[6]Li X B， Reeves G R. A multiple criteria approach to data envelopment analysis[J]. European Journal of Operational Research， 1999， 115（3）： 507517.

[7]Kao C， Hung C T. Data envelopment analysis with common weights： the compromise solution approach[J]. Journal of the Operational Research Society， 2005， 56（10）： 11961203.

[8]Zohrehbandian M， Makui A， Alinezhad A. A compromise solution approach for finding common weights in DEA： an improvement to Kao and Hungs approach[J]. Journal of the Operational Research Society， 2010， 61（4）： 604610.

[9]Chen Y W， Larbani M， Chang Y P. Multiobjective data envelopment analysis[J]. Journal of the Operational Research Society， 2009， 60（11）： 15561566.

[10]Soyster A L. Technical note—convex programming with setinclusive constraints and applications to inexact linear programming[J]. Operations Research， 1973， 21（5）： 11541157.

[11]BenTal A， Nemirovski A. Robust convex optimization[J]. Mathematics of Operations Research， 1998， 23（4）： 769805.

[12]BenTal A， Nemirovski A. Robust solutions of uncertain linear programs[J]. Operations Research Letters， 1999， 25（1）： 113.

[13]BenTal A， Nemirovski A. Robust solutions of linear programming problems contaminated with uncertain data[J]. Mathematical Programming， 2000， 88（3）： 411421.

[14]Bertsimas D， Sim M. Robust discrete optimization and network flows[J]. Mathematical Programming， 2003， 98（1）： 4971.

[15]Bertsimas D， Sim M. The price of robustness[J]. Operations Research， 2004， 52（1）： 3553.

[16]Bertsimas D， Sim M. Tractable approximations to robust conic optimization problems[J]. Mathematical Programming， 2006， 107（12）： 536.

[17]Sadjadi S J， Omrani H. Data envelopment analysis with uncertain data： an application for Iranian electricity distribution

companies[J]. Energy Policy， 2008， 36（11）： 42474254.

[18]Sadjadi S J， Omrani H. A bootstrapped robust data envelopment analysis model for efficiency estimating of telecommunication companies in Iran[J]. Telecommunications Policy， 2010， 34（4）： 221232.

[19]Sadjadi S J， Omrani H， Makui A， et al.. An interactive robust data envelopment analysis model for determining alternative targets in Iranian electricity distribution companies[J]. Expert Systems with Applications， 2011， 38（8）： 98309839.

[20]Omrani H. Common weights data envelopment analysis with uncertain data： a robust optimization approach[J]. Computers & Industrial Engineering， 2013， 66（4）： 11631170.

[21]Lu C C. Robust data envelopment analysis approaches for evaluating algorithmic performance[J]. Computers & Industrial Engineering， 2015， 81： 7889.

[22]Steuer R E， Choo E U. An interactive weighted tchebycheff procedure for multiple objective programming[J].

Mathematical Programming， 1983， 26（3）： 326344.