2015恩施州中考數(shù)學(xué)23題解題淺談

陳德超

摘 要 研究歷年中考數(shù)學(xué)題是中考數(shù)學(xué)備考的一個方面，通過探討歷年的中考數(shù)學(xué)題可以幫助學(xué)生夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使學(xué)生全面掌握所學(xué)知識的重點和難點，通過分析 解題方法讓學(xué)生把所學(xué)知識能做到融會貫通，舉一反三，達(dá)到把數(shù)學(xué)知識能綜合運用的目的。

關(guān)鍵詞 中考數(shù)學(xué) 解題

原題再現(xiàn)23：（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，過點O作OH⊥AB交圓于點H，點C是弧AH上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分別為D、E，過點C的直線交OA的延長線于點G，且∠GCD=∠CED。

（1）求證：GC是⊙O的切線；

（2）求DE的長；

（3）過點C作CF⊥DE于點F，若∠CED=30 的長。

1 背景出處

此題是2015年恩施州數(shù)學(xué)中考試題的23題，題目條件清楚，設(shè)問由淺入深，本題涉及的知識點有切線的判定、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、含30€敖塹鬧苯僑切蔚男災(zāi)實瘸踔惺У謀匭氤盼盞鬧？

設(shè)問漸進(jìn)，似一把梯子，層層遞進(jìn).

2 題目立意

2.1 已知條件

（1）AB是直徑，AB=6；（2）OH⊥AB；（3）C是弧AH上異于AB的動點；（4）CD⊥OA，CE⊥OH（5）O、A、G共線，且∠GCD=∠CED。

結(jié)論：（1）GC是切線；（2）求DE的長；（3）過點C作CF⊥DE，若∠CED=30€埃驝F的長。

2.2 難點的位置

學(xué)生在處理這道題時不知如何做輔助線，圖形太復(fù)雜，不易利用矩形的判定和性質(zhì)，在直角三角形中有30€暗娜窠牽枰≡袷實鋇娜嗆酆閑鄖浚乇鶚牽？）中，需要證明四邊形是矩形，運用角的關(guān)系才能得出結(jié)論.

2.3 隱含條件

矩形的對角線相等且互相平分。

2.4 能力立意

從能力立意上看，通過學(xué)生觀察、聯(lián)想、計算、驗證、推理等數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生經(jīng)歷了問題的初步理解、深入探究，逐步發(fā)展了學(xué)生的動手操作、探究問題、合情推理和初步演繹推理的能力。

3 解題策略

引導(dǎo)學(xué)生回顧切線的兩種證明方法 （已知點在圓上，連接半徑證明垂直；不知點在圓上，已知垂直證明半徑）；在讀題過程中，對條件加以延伸，得到需要的隱含條件.

（1）先證明四邊形ODCE是矩形，得出∠DCE=90€埃珼E=OC，得出∠CED+∠EDC=90€埃螮DC=∠OCD，證出∠GCD+∠OCD=90€埃純傻貿(mào)黿崧郟？

（2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出結(jié)果；

（3）運用三角函數(shù)求出CE，再由含30€敖塹鬧苯僑切蔚男災(zāi)始純傻貿(mào)黿峁？

解答：（1）證明：連接OC，交DE于M，

（2）解：由（1）得：DE=OC=AB=3；

（3）解：∵

4思想方法

數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)建模思想、聯(lián)想，結(jié)合圖形，將證明轉(zhuǎn)化為求角的和，在直角三角形中，利用勾股定理，轉(zhuǎn)化為代數(shù)的計算。

5 變式拓展

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，過點O作OH⊥AB交圓于點H，點C是弧AH上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分別為D、E，過點C的直線交OA的延長線于點G，且∠GCD+∠CDE=90€??？

（1）求證：GC是⊙O的切線；

（2）求DE的長；