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    X2+1和梅森素?cái)?shù)

    2017-05-15 16:51:30段貴軍
    都市家教·上半月 2017年4期

    段貴軍

    一、X2+1素?cái)?shù)

    1.X2+1素?cái)?shù)概念

    在X2+1數(shù)中,當(dāng)X為偶數(shù)(1是唯一特例)時(shí),例如:12+1=2; 22+1=5; 42+1=17;……中的2、5、17、……皆為素?cái)?shù),這種素?cái)?shù)是否有無(wú)窮個(gè)?此為X2+1素?cái)?shù)猜想。

    2是偶數(shù)中唯一素?cái)?shù),故本文只討論求解X為偶數(shù)時(shí)的X2+1素?cái)?shù)個(gè)數(shù)問(wèn)題。

    X÷2為X2+1奇數(shù)個(gè)數(shù),也是項(xiàng)數(shù),用N表示。

    2.X2+1奇數(shù)因子

    因所有奇數(shù)除以4均余1和3,故奇數(shù)可表示為y=4a+1和y=4a+3兩種形式(a為0、1、2……整數(shù)),并各占奇數(shù)集合總量的1/2。據(jù)題意,可做如下假設(shè)。

    假設(shè)①:X2+1=4a+1(4a+1為奇質(zhì)數(shù))。X2=4a+1-1=4a,得出a= X2÷4,當(dāng)X為偶數(shù)時(shí),設(shè)X=2k,a=(2k) 2÷4= k2,本式成立。

    假設(shè)②:X2+1為合數(shù),則X2+1=(4b+1)(4c+1)=16bc+4b+4c+1=4(4bc+b+c)+1(其中4b+1和4c+1均為奇質(zhì)數(shù))。設(shè)4bc+b+c=k,則原式等于4k+1,此與4a+1是同一種數(shù),同理可證,X2+1=(4b+1)(4c+1)……(4n+1)。

    假設(shè)③:X2+1=4a+3(4a+3是奇質(zhì)數(shù))。則a=(X2-2)÷4= X2÷4-2÷4。設(shè)X=2k,則原式等于4k2÷4-2÷4= k2-1÷2。因k2是整數(shù),則a無(wú)整數(shù)解。故本式不成立。

    綜上,X2+1奇數(shù)要么為4a+1類(lèi)型奇質(zhì)數(shù);否則為由1至n個(gè)4a+1式奇質(zhì)數(shù)相乘積的合數(shù),是4a+1奇數(shù)集合的一部分。

    3.X2+1奇數(shù)因子的分離排除周期規(guī)律計(jì)算

    X2+1奇數(shù)數(shù)列符合自然數(shù)素?cái)?shù)分布與個(gè)數(shù)計(jì)算公式原理。

    X2+1值差:指X12+1 到X22+1之間的變化差值,設(shè)X2= X1+c(c為偶數(shù)),即(X22+1)-(X12+1)= X22 -X12 = c(2 X1+c)。

    分離排除周期計(jì)算:設(shè)奇質(zhì)數(shù)因子4a+1=m,因(X22+1)-(X12+1)= c(2 X1+c),根據(jù)自然數(shù)素?cái)?shù)分布規(guī)律和個(gè)數(shù)計(jì)算公式,當(dāng)c÷m=g和(2 X1+c)÷m=f(g和f均是整除最小整數(shù))時(shí)就可以求出奇質(zhì)數(shù)因子分離排除周期。

    ①完整分離排除周期(c÷m=g整除):因c為偶數(shù),m為奇質(zhì)數(shù),所以,g必為偶數(shù),則g的最小值是g=c÷m=2時(shí)為一個(gè)奇質(zhì)數(shù)m的一個(gè)完整分離排除周期,2m為從X1 到X2的值差。例如X1 =8,m=5時(shí), X1 到X2 之間的差為c=2m=2×5=10,即X2 -X1=18-8=10,則奇質(zhì)數(shù)m=5的分離排除周期內(nèi)的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)為5個(gè),意為每五項(xiàng)有一項(xiàng)被分離排除掉。即X1 =8,此后是10、12、14、16,此為一個(gè)完整分離排除周期,自18開(kāi)始則進(jìn)入下一個(gè)分離排除周期。

    ②周期內(nèi)分離排除 (2 X1 +c)÷m=f(f為最小整數(shù)):因2 X1 和c都為偶數(shù),m為奇質(zhì)數(shù),故f也必是偶數(shù)。因X1 和m皆已知,因此決定能否整除的因素是c值變化,如當(dāng)X1 =8,m=5時(shí),只要c=4時(shí),f=4是整除最小整數(shù)。即c+ X1=4+8=12,即在上面8、10、12、14、16中的12處也可以分離排除,因8<12<16,所以,也可稱(chēng)作是周期內(nèi)排除。

    據(jù)以上計(jì)算可知,在同一周期(五項(xiàng))內(nèi)分離排除兩次。

    設(shè)X2+1奇數(shù)為N個(gè),則經(jīng)過(guò)奇質(zhì)數(shù)因子m=5分離排除掉N×(2÷5)個(gè),剩余N×(5-2)÷5=N×3÷5個(gè);其它奇質(zhì)數(shù)因子也同理計(jì)算。

    4.X2+1 素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式

    把4a+1奇質(zhì)數(shù)分離排除因子從小到大依序進(jìn)行分離排除,稱(chēng)為優(yōu)先分離排除法,如5、13、17、……

    設(shè)M和N為X2+1 奇質(zhì)數(shù)總個(gè)數(shù)和奇數(shù)總個(gè)數(shù),據(jù)自然數(shù)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式原理得:M=N×3/5×15/17×……1155/1157……×(k-2)÷k+t(k為X2+1奇質(zhì)數(shù),也包括非X2+1形式的4a+1奇質(zhì)數(shù)形成的合數(shù),如1157=13×89,k≤X2+1;t為因分離排除而減少的X2+1奇質(zhì)數(shù),N=X÷2)。

    當(dāng)N和k→∞時(shí), M=N×3/5×7/9×11/13×……×[(k-2)÷k](k≤X2+1),M極緩慢遞增,在相同區(qū)間范圍內(nèi),N×3/5×15/17×……1155/1157……×(k-2)÷k(k≤X2+1)>N×3/5×7/9×……×(k-2)÷k(k≤X2+1),雖然分離排除因子越來(lái)越多,使X2+1 奇質(zhì)數(shù)會(huì)變得越來(lái)越稀,分布密度卻趨向于恒定變化,但會(huì)永遠(yuǎn)不斷出現(xiàn),所以,X2+1 奇質(zhì)數(shù)總個(gè)數(shù)必緩慢遞增→∞個(gè)。

    二、梅森素?cái)?shù)

    1.梅森素?cái)?shù)概念

    梅森數(shù)指2n-1(n≥2)形式的數(shù),其中的素?cái)?shù)稱(chēng)為梅森素?cái)?shù)。

    2.2n-1奇數(shù)因子計(jì)算

    由(2n-1)÷4=(2n-4+4-1)÷4=(2n-4)÷4+3÷4看出,(2n-1)÷4均余3,即2n-1奇數(shù)集合是y=4a+3奇數(shù)集合的重要組成部分。

    據(jù)自然數(shù)素?cái)?shù)分布規(guī)律及以上X2+1素?cái)?shù)計(jì)算過(guò)程,易得以下結(jié)論。

    2n-1奇數(shù)(梅森數(shù))要么是y=4a+3式奇質(zhì)數(shù);其余為y=4a+3式合數(shù)。其合數(shù)分為兩種:一種是由奇數(shù)個(gè)y=4a+3奇質(zhì)數(shù)相乘積形式的合數(shù)(因?yàn)榕紨?shù)個(gè)y=4a+3式奇質(zhì)數(shù)相乘積仍是y=4a+1式奇數(shù)形式);另一種是由y=4a+3與y=4a+1兩種形式的奇質(zhì)數(shù)相乘積的形式(因?yàn)檫@兩種形式的奇質(zhì)數(shù)相乘積仍是y=4a+3式奇數(shù),但y=4a+3奇質(zhì)數(shù)為奇數(shù)個(gè))。雖然其中含有m個(gè)y=4a+1奇質(zhì)數(shù),但這種數(shù)不參加分離排除,只起輔助作用,此由y=4a+3奇質(zhì)數(shù)的性質(zhì)所決定。

    三、2n-1(梅森數(shù))奇數(shù)的奇質(zhì)數(shù)分離排除周期規(guī)律

    2n-1奇數(shù)由A1到A2的差值,設(shè)A1=2n-1,A2=2m-1,其中m=n+c,則差值ΔA=A2-A1=(2m-1)-(2n-1)=2n(2c-1)。

    設(shè)y為某4a+3奇數(shù),則ΔA÷y=2n(2c-1)÷y,以此計(jì)算式可求得奇質(zhì)數(shù)的分離排除周期。式中2n是1至n個(gè)2相乘積的偶數(shù)不可能整除任意奇數(shù)。若能整除只能是(2c-1)÷y=g可進(jìn)行整除,g為奇數(shù),且g為最小整數(shù)時(shí)是奇質(zhì)數(shù)的分離排除基本周期。而最小g值是(2c-1)÷y=g=1,即2c-1=y,所以,其中的c代表該y值的分離排除周期數(shù),而y= 4a+3是奇質(zhì)數(shù)或奇數(shù)合數(shù)。故而,梅森素?cái)?shù)的分離排除過(guò)程是在項(xiàng)數(shù)(冪序列)上進(jìn)行的,和自然數(shù)素?cái)?shù)分布規(guī)律及計(jì)算方式相同,而不用在2c-1奇數(shù)數(shù)列中進(jìn)行。

    根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知:當(dāng)n=1時(shí),21-1=1不計(jì);當(dāng)n=2時(shí),22-1=3,即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)的唯一素?cái)?shù),此后的2j(j為≥2的整數(shù))項(xiàng)數(shù)如第4、6、8……項(xiàng)皆為合數(shù),因子中必含有3這個(gè)因子;當(dāng)n=3時(shí),23-1=7,即當(dāng)n為3j(j為≥2的整數(shù))項(xiàng)數(shù)如第6、9、12……項(xiàng)皆為合數(shù),因子中必含有7這個(gè)因子……如此可知當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí)才可能是梅森素?cái)?shù),n為合數(shù)或偶數(shù)時(shí)不可能為梅森素?cái)?shù)。

    四、2n-1素?cái)?shù)(梅森數(shù))計(jì)算公式

    設(shè)M和n為2n-1的奇質(zhì)數(shù)總個(gè)數(shù)和奇數(shù)總個(gè)數(shù),k為1到n范圍內(nèi)最大奇質(zhì)數(shù)因子。據(jù)自然數(shù)合數(shù)因子分布規(guī)律原理和自然數(shù)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式原理,可得如下梅森素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式:M=n×(1÷2)×(2÷3)×……×[(k-1)/ k]+w個(gè),其中k≤n,w為因奇質(zhì)數(shù)在分離排除過(guò)程中減少的梅森素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。又因?yàn)閚×(1÷2)×(2÷3)×(3÷4)×……×(k-1)/ k=n×1/ k=1,當(dāng)n→∞時(shí),而M=n×(1÷2)×(2÷3)×(4÷5)×(6÷7)×(10÷11)……×(k-1)/ k+w越來(lái)越大于n×1/ k,故,梅森素?cái)?shù)有無(wú)窮個(gè)。

    2n-1數(shù)是kn-1數(shù)中特例,2n-1(n為奇數(shù))數(shù)中含有眾多素?cái)?shù),其它kn-1數(shù)(k≥3)時(shí)只能有1個(gè)或沒(méi)有素?cái)?shù)。

    以上兩個(gè)問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果不可避免會(huì)出現(xiàn)誤差,但其原理沒(méi)有問(wèn)題,所計(jì)算代表的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)變化趨勢(shì)是正確的,就足矣。

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