《函數(shù)的基本性質(zhì)》教材分析

謝云玖

【摘 要】函數(shù)是中學(xué)教學(xué)中最重要的基本概念之一，本節(jié)是學(xué)習(xí)了函數(shù)概念之后將要學(xué)習(xí)函數(shù)的基本性質(zhì)為函數(shù)學(xué)習(xí)的第一階段，基本初等函數(shù)Ⅰ和基本初等函數(shù)Ⅱ是學(xué)習(xí)函數(shù)的第二階段，第三階段是選修系列的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)，這三個(gè)階段函數(shù)知識(shí)層層遞進(jìn)，由淺入深。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；基本性質(zhì)；教材分析

函數(shù)從初中到高中都是十分重要的內(nèi)容，在高中階段中很多內(nèi)容中均有體現(xiàn)，必修一中的指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)。必修四中的三角函數(shù)，必修五中的數(shù)列，選修中的導(dǎo)數(shù)均有函數(shù)的影子，可見(jiàn)函數(shù)這部分內(nèi)容十分重要。

一、教材編排方式分析

1.引入

以三幅函數(shù)圖像引入，教材第27頁(yè)是函數(shù)基本性質(zhì)總引入，函數(shù)的基本性質(zhì)有3方面的內(nèi)容：?jiǎn)握{(diào)性、最值、奇偶性，編者的意圖是使用數(shù)形結(jié)合的方法，從觀察具體函數(shù)圖像特征入手而且一圖三用。第一個(gè)圖是R上的增函數(shù)，無(wú)最值，并且是奇函數(shù)。第二個(gè)圖像有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，有最大值，無(wú)最小值，是非奇非偶函數(shù)。第三個(gè)圖像，有最小值無(wú)最大值，有多個(gè)單調(diào)區(qū)間且圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，是偶函數(shù)，這幾幅圖編者的意圖很明顯把函數(shù)的基本性質(zhì)都放在其中，講函數(shù)單調(diào)性最大最小值及后面函數(shù)的奇偶性均可用這幾個(gè)函數(shù)圖像進(jìn)行觀察，從直觀上感受函數(shù)的基本性質(zhì)。

本節(jié)課的引入用學(xué)生在初中已學(xué)過(guò)的一次函數(shù)二次函數(shù)來(lái)感受上升和下降，一次函數(shù)較簡(jiǎn)單，編者一筆帶過(guò)，在二次函數(shù)上仔細(xì)分析了，編者使用二次函數(shù)的意圖是：二次函數(shù)是初中已經(jīng)接觸的函數(shù)，它比指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)要簡(jiǎn)單，而且是中學(xué)階段最重要的函數(shù)，在函數(shù)的概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，以它為主要模型貫穿始終，不僅使學(xué)生建立起完善的二次函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且也使抽象的函數(shù)概念學(xué)習(xí)有了一個(gè)適當(dāng)?shù)木唧w函數(shù)作支撐。從而有效的降低函數(shù)學(xué)習(xí)的困難，提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量。

2.單調(diào)性的定義

函數(shù)單調(diào)性編者分三步走：第一步由f（x）=x和f（x）=x2的圖像整體認(rèn)識(shí)“上升”“下降”；第二步利用表格用自然語(yǔ)言描述圖像“上升”“下降”；第三步：運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言將自然語(yǔ)言的描述提升到形式化的定義教材逐步推進(jìn)，把學(xué)生的思維引到怎樣表述任意性，這也是本節(jié)課的難點(diǎn)地方。

3.例題

四個(gè)例題有著各自不同的目的和任務(wù)，我們這節(jié)課只講前兩個(gè)例題：

例1：讓學(xué)生掌握單調(diào)區(qū)間和單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性怎么表示，單調(diào)函數(shù)與單調(diào)區(qū)間怎么規(guī)范的敘述，這道例題還是讓學(xué)生掌握從圖形觀察它的性質(zhì)。

例2：有兩個(gè)目的第一個(gè)目的讓學(xué)生感受到函數(shù)單調(diào)性基本應(yīng)用。第二個(gè)目的把函數(shù)單調(diào)性的證明的基本步驟在這個(gè)例題中歸納出來(lái)，函數(shù)單調(diào)性的證明步驟可歸納為五步：設(shè)元——作差——變形——判斷——定論。

二、教材為什么要這樣編寫(xiě)

（1）強(qiáng)調(diào)背景和應(yīng)用。展現(xiàn)過(guò)程和聯(lián)系。函數(shù)的本身就是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的模型，它擁有豐富的現(xiàn)實(shí)背景。例2，例3都是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)。

（2）滲透了數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)注數(shù)學(xué)文化。專(zhuān)家說(shuō)：“加強(qiáng)思想性上本書(shū)追求的目標(biāo)之一”，本節(jié)主要蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合，用函數(shù)觀點(diǎn)研究問(wèn)題，也有數(shù)學(xué)建模的思想方法，數(shù)形結(jié)合也貫穿了必修1的始末。

（3）提供了自主空間，促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于對(duì)概念，結(jié)論和技能的記憶模仿和接受，獨(dú)立思考，自主探索，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流，閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。

三、教學(xué)中的幾點(diǎn)把握

（1）關(guān)于單調(diào)區(qū)間是開(kāi)區(qū)間還是閉區(qū)間問(wèn)題。函數(shù)單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。對(duì)于單獨(dú)的一個(gè)點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒(méi)有增減變化，所以不存在單調(diào)性的問(wèn)題，對(duì)于閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，只要在開(kāi)區(qū)間上單調(diào)它在閉區(qū)間上也單調(diào)因此在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)包括不包括端點(diǎn)都可以。

（2）關(guān)于用定義證明單調(diào)性問(wèn)題。本書(shū)僅在例2中涉及到，原教材用了例2、例3來(lái)詳細(xì)介紹，用定義證明單調(diào)性，練習(xí)和習(xí)題中也有涉及到單調(diào)性的證明，在本書(shū)中單調(diào)性的證明顯然弱化了，第32頁(yè)的練習(xí)有四道是從圖形中得到結(jié)論，只有第四小題是證明單調(diào)性而且是一次函數(shù)，習(xí)題1.3中第2題、第3題是證明單調(diào)性但只是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，所以教學(xué)中不要有太復(fù)雜的函數(shù)證明單調(diào)性，復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性以后用導(dǎo)數(shù)會(huì)解決的。

（3）從結(jié)構(gòu)體系上，要把握螺旋上升，本節(jié)為什么要采用螺旋式安排教學(xué)內(nèi)容及其學(xué)習(xí)過(guò)程呢？主要是考慮與學(xué)生的心理發(fā)展水平相適應(yīng)的問(wèn)題。專(zhuān)家說(shuō)：“學(xué)習(xí)從屬于發(fā)展”，同時(shí)數(shù)學(xué)概念在不同層次上能夠得到表征，也為螺旋上升地安排學(xué)習(xí)內(nèi)容提供了可能。

四、教學(xué)建議

第一步，觀察引入圖像了解上升，下降的直觀感受，得到增函數(shù)減函數(shù)。

第二步，從幾個(gè)實(shí)例的共同特征到一般性質(zhì)的概括，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，形成數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)探究能力，教學(xué)中先在f（x）=x2單調(diào)增區(qū)間部分注意多舉例子x1=1，x2=2比較f（1），f（2）的大小，多次重復(fù)引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出所以數(shù)字在我們不能一一列舉的情況下我們?cè)撛趺崔k？可不可以把單位長(zhǎng)度抹掉，抹掉之后怎么表示，任意指一個(gè)位置讓學(xué)生說(shuō)用x1表示，然后指另一個(gè)位置讓學(xué)生說(shuō)用x2表示。然后引出書(shū)上那個(gè)沒(méi)有單位長(zhǎng)度的那個(gè)圖。

第三步，例1熟悉單調(diào)區(qū)間及單調(diào)函數(shù)的表示。

第四步，對(duì)單調(diào)性證明步驟的歸納。