有總結(jié)才會(huì)有提高

牛孝武

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，面對(duì)琳瑯滿目的復(fù)習(xí)資料，若不對(duì)資料中的知識(shí)方法加以總結(jié)，學(xué)生常會(huì)感到手足無(wú)措，勢(shì)必會(huì)陷入資料的漩渦，進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)，不僅復(fù)習(xí)效率低下，而且會(huì)浪費(fèi)寶貴的時(shí)間。所以如何盡可能地提高復(fù)習(xí)效率的責(zé)任就落在了科任老師的肩上。

一、把握數(shù)學(xué)思想，提高復(fù)習(xí)效率

例如，在復(fù)習(xí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)這部分時(shí)，單調(diào)性討論是一種常見(jiàn)的題型，它不僅考查了分類討論思想，還考查了綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。對(duì)學(xué)生的要求較高，經(jīng)驗(yàn)表明，很多學(xué)生討論得不夠全面，很難拿到滿分。本人在教學(xué)中總結(jié)了一下，大致有三類討論問(wèn)題：

第一類是討論根的個(gè)數(shù)。

問(wèn)題1：（安徽省高考題）已知函數(shù)f（x）=x-■+a（2-lnx），a>0。討論f（x）的單調(diào)性。略解：求導(dǎo)之后分子是關(guān)于x的二次函數(shù)，二次函數(shù)根的個(gè)數(shù)依賴于參數(shù)a。

第二類是討論根的大小。

問(wèn)題2：（遼寧省高考題）已知函數(shù)f（x）=■x2-ax+（a-1）lnx，a>1。略解：令f'（x）=0得x1=1，x2=a-1，此時(shí)需要討論1和a-1的大小。

第三類是討論根是否在定義域內(nèi)。

問(wèn)題3：（山東省高考題）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+■-1，a∈R，當(dāng)a≤■時(shí)討論f（x）的單調(diào)性。略解：當(dāng)a≠0時(shí)，令f'（x）=0得x1=1，x2=■-1。若0

掌握了這三類問(wèn)題后，如碰到討論函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的話，必能用其中的一種或幾種加以解決。如2010年北京市高考題：已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x+■x2（k≥0），討論f（x）的單調(diào)區(qū)間。這一題如果不加限制條件k≥0的話，則包含了上面的所有三種討論。

二、揭示本質(zhì)規(guī)律，提高復(fù)習(xí)效率

在復(fù)習(xí)高考題時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)許多題目反映的結(jié)論相似，如老師能加以總結(jié)，學(xué)生花時(shí)間去研究，既節(jié)省了大量時(shí)間，又培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考進(jìn)行研究的能力，真正做到事半功倍。

例如，在解決圓錐曲線與直線相交問(wèn)題時(shí)，某一題可能就是一個(gè)結(jié)論。

問(wèn)題1：（山東省高考題）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交與A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

問(wèn)題2：（山東省高考題）設(shè)橢圓E：■+■=1（a，b>0）過(guò)M（2，■），N■，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且■⊥■？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求AB的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由。

經(jīng)研究得到：

結(jié)論1：過(guò)橢圓■+■=1（a>b>0）的右頂點(diǎn)M做兩條相互垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（■，0）。

結(jié)論2：過(guò)橢圓■+■=1（a>b>0）的中心O做兩條相互垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則直線AB與圓x2+y2=■相切。

三、注重一題多解，提高復(fù)習(xí)效率

在復(fù)習(xí)中注意一題多解，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去審視問(wèn)題，使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，更好地掌握技能和技巧，對(duì)完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)也起到了促進(jìn)作用。若能夠把一道題的幾種方法運(yùn)用到一類題目上，那么一題多解的目標(biāo)也就達(dá)到了。

例：（重慶市高考題）已知函數(shù)y=■+■的最大值為M，最小值為m，則■的比值是多少？

略解：這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是函數(shù)的值域，可以有如下的解法：（1）平方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題；（2）三角代換，令x=4sin2θ-3（θ∈[0，■]）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題；（3）令u=■，v=■問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在約束條件u2+v2=4（u≥0，v≥0）的條件下求u+v的最小值和最大值問(wèn)題。用上面的方法可以解決問(wèn)題：函數(shù)f（x）=■+■的值域是什么？

四、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維，提高復(fù)習(xí)效率

這一類問(wèn)題的特點(diǎn)是所用的知識(shí)并不是很深?yuàn)W，但的的確確需要認(rèn)真去想，而且有時(shí)僅僅從正面思考是不夠的。如，上面講的2009年山東省高考題用數(shù)學(xué)歸納法解決的時(shí)候，若從正面思考的話，是想不出放縮■=■>■=■的。所以分析法這一利器就可以閃亮登場(chǎng)，再如：

例：（福建省高考題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：■-■<■+■+…+■<■（n∈N*）.略解：容易求出an=2n-1（n∈N*），第二問(wèn)令bn=■，先證明右邊的不等式bn<■，則b1+b2+…+bn<■，這比較容易想到，再證明左邊的不等式，如果仿照右邊的不等式證明bn>■-■，發(fā)現(xiàn)不行，所以證明bn>■-■·■，這個(gè)不等式分析法和綜合法都能夠證明。下面這個(gè)題目也是通過(guò)分析法找到解題的思路：

（江西省高考題）已知數(shù)列{an}滿足：a1=■，且an.=■（n≥2，n∈N*）。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，不等式a1·a2·…·an<2·n！恒成立.

以上本人從四個(gè)方面說(shuō)明了提高復(fù)習(xí)效率的一點(diǎn)做法。作為教師，一定要盡可能地將問(wèn)題分門(mén)別類，有的放矢地進(jìn)行有效講解，讓學(xué)生真正從題海中跳出來(lái)，切實(shí)做到真正解放自己，也解放學(xué)生。