幾何圖形在求解概率論試題中的巧妙作用

張鳳云

[摘 要] 對于一個具體的概率試題能否正確快速解出其概率， 關(guān)鍵是能否將試題中的問題幾何化，描繪出幾何圖形. 由于幾何圖形比較直觀，利用數(shù)形結(jié)合思想，借助幾何圖形可以快速解決概率問題.本文列舉幾例談巧妙運用幾何圖形解決概率問題的典型方法.

[關(guān)鍵詞] 幾何圖形；概率；數(shù)形結(jié)合

概率是新課程標標準下數(shù)學教材中的一個重要知識點，它密切聯(lián)系生活與現(xiàn)實世界，使數(shù)學情景新穎別致豐富多彩.在求解概率問題時，常常與幾何圖形相伴，運用幾何圖形的直觀性，利用數(shù)形結(jié)合思想，可以巧妙快速地解決概率問題. 下面分幾方面談談巧妙運用幾何圖形解決概率問題的典型方法.

[?] 幾何圖形在計算隨機事件概率中的巧妙運用

例1：設事件A，B的概率分別為與，求在（1）A與B互斥，（2）A?B，（3）P（AB）=三種情況下的P（BA）.

分析：應根據(jù)所給條件先畫出此題的圖形，運用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合隨機事件概率知識進行解決.

解：（1）由于A與B互斥，所以 B?A，

所以BA=B，即得P（BA）=P（B）=.

題（1）通過看圖1很快就會明白事件A與事件B的互斥關(guān)系以及事件B與事件A包含的關(guān)系，對于解題有很大的幫助.

（2）當A?B時，如圖2，BA是圖中陰影部分且陰影部分等于B-A即BA=B-A，所以P（BA）=P（B-A）=P（B）-P（A）=-=.

題（2）通過看圖2很快就會理解事件A與事件B的包含關(guān)系以及事件B與事件A的相交關(guān)系，對于解題有很大的幫助.

（3）已知P（AB）=. 如圖3，由BA=B-AB和AB?B得P（BA）=P（B-AB）=P（B）-P（AB）=-=.

題（3）通過看圖3很快就會理解事件AB與事件B的包含關(guān)系，以及事件B與事件A的相交關(guān)系即BA=B-AB，對于解題有很大的幫助.

[?] 幾何圖形在計算幾何概型概率中的巧妙運用

當事件A可以用長度、面積或體積來衡量時， 我們可以利用與整體事件所對應的長度、面積或體積的比值來計算事件A發(fā)生的概率， 也就是用“長度比”、“面積比”或“體積比”來計算概率.

例2：甲、乙兩人相約于下午1：00～2：00之間到某車站乘公共汽車外出，他們到達車站的時間是隨機的，設在1：00～2：00之間有四班客車開出，開車的時間分別是1：15，1：30，1：45，2：00，求他們在下述情況下同坐一班車的概率.

（1）約定見車就乘；

（2）約定最多等一班.

分析：本題應與約會問題區(qū)別開，是約會問題的一種變形.此題要分別作出事件的所在區(qū)域. 應根據(jù)所給條件先畫出此題的圖形，運用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合幾何概型知識進行解決.

解：設甲、乙到站的時間分別是x，y，則1≤x≤2，1≤y≤2，試驗區(qū)域M為點（x，y）所形成的正方形區(qū)域，以16個小方格表示，如圖4所示.

從以上兩例可以看出，運用圖形簡單明了，輕松解決概率問題，可見運用幾何圖形是一種巧妙解決問題的優(yōu)美方法.