高中數(shù)學(xué)中化歸思想的教學(xué)思考

蔣曉勇

[摘 要] 本文從化歸思想的概念以及形式研究出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對其教學(xué)策略進(jìn)行了深入的探討.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；化歸思想；教學(xué)思考

化歸思想是高中數(shù)學(xué)中最重要的思維方法之一，怎樣在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的相關(guān)思想？下面是筆者的一些思考.

[?] 化歸思想的內(nèi)涵及其基本形式

1. 化歸思想的概念

什么是“化歸”？化歸事實(shí)上是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)兩個(gè)動(dòng)作的簡稱，是數(shù)學(xué)問題研究者運(yùn)用聯(lián)系和動(dòng)態(tài)的視角，將繁難而陌生的問題A，通過某種數(shù)學(xué)過程轉(zhuǎn)化為簡單而熟悉的問題B，從而使得原問題得到更加快捷而正確處理的手段和方法. 其具體實(shí)施流程如圖1所示.

化歸思想實(shí)際上是人類探索自然、解決問題的一般化認(rèn)知規(guī)律和思維方法的體現(xiàn)，它涵蓋著一個(gè)由未知到已知、由陌生到熟悉、由抽象到具體的過程，即讓人們以自己更加熟悉、更加直接的方式來處理繁難、陌生的問題. 因此我們不能將其單獨(dú)地視作一種解題方法，而應(yīng)該將其作為一種重要的思維方法. 在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程和問題處理過程中，化歸思想的使用是非常頻繁的.

2. 化歸思想的基本形式

正如前面所述，化歸思想廣泛地運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之中，總結(jié)起來，大致可以分成以下幾類情形.

（1）數(shù)與數(shù)之間的化歸

所謂“數(shù)與數(shù)之間的化歸”，就是通過某種規(guī)律，將未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知數(shù). 當(dāng)然，這其中還包括對復(fù)雜的解析式進(jìn)行化簡，以及通過變形對方程求解；對不等式進(jìn)行變形求出相應(yīng)的解集，以及函數(shù)式、方程式、不等式相互之間的轉(zhuǎn)化，等等.

（2）形與形之間的化歸

所謂“形與形之間的化歸”，就是通過對未知陌生的圖形進(jìn)行分割、折疊等處理，將其轉(zhuǎn)化為已知的熟悉圖形，以及將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，以方便采用平面幾何的方法來處理空間幾何的問題.

（3）數(shù)與形之間的化歸

所謂“數(shù)與形之間的化歸”，就是數(shù)學(xué)中常說的“數(shù)形結(jié)合”，它往往體現(xiàn)為將圖形轉(zhuǎn)化為函數(shù)，采用函數(shù)的方法來處理幾何問題；或是畫出函數(shù)的幾何圖像，結(jié)合圖像上的特點(diǎn)來認(rèn)知函數(shù)規(guī)律，分析函數(shù)問題. 此外復(fù)數(shù)以及相關(guān)運(yùn)算的幾何意義，解析幾何中的處理方法等都是化歸思想的集中體現(xiàn).

[?] 化歸思想教學(xué)的基本策略

化歸思想是數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn)，有著無窮的內(nèi)在魅力. 那么我們?nèi)绾卧诟咧袛?shù)學(xué)課堂為學(xué)生揭開它神秘的面紗呢？下面，筆者聯(lián)系高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约簩Υ说膸c(diǎn)體會.

1. 展現(xiàn)知識形成過程中的化歸思想

新課程體系下數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，從而增強(qiáng)學(xué)生對過程的體驗(yàn)，并由此領(lǐng)會其中的科學(xué)思想和方法. 因?yàn)橹R的形成過程本身就對應(yīng)著新舊知識之間的關(guān)聯(lián)性，學(xué)生經(jīng)歷該過程，不僅有助于他們獲取相關(guān)知識，更將體驗(yàn)知識結(jié)果的形成過程，比如概念的總結(jié)過程、問題的提出過程、規(guī)律的探索過程、結(jié)論的推理過程、方法的尋找過程等.

事實(shí)上，在這一系列過程中，一些深層次的數(shù)學(xué)思想就起著舉足輕重的作用. 教師在教學(xué)實(shí)踐中，能夠立足于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，積極發(fā)掘數(shù)學(xué)知識背后的方法論價(jià)值和思想價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生在掌握知識的同時(shí)，也能積極掌握相關(guān)現(xiàn)象，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知和思想的螺旋上升，這對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的“返璞歸真”有著重要意義. 例如，在引導(dǎo)學(xué)生對兩角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，教師就要讓學(xué)生聯(lián)系已經(jīng)熟知的兩角和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，并由此展開聯(lián)想和轉(zhuǎn)化：將β以-β的形式代入兩角和的余弦公式，則可以直接得出兩角差的余弦公式. 通過上述操作，學(xué)生就能從數(shù)學(xué)思想的層面來領(lǐng)會知識的來龍去脈，這樣的操作不僅有助于學(xué)生掌握知識本身，更重要的是他們在化歸思想的認(rèn)識上能更進(jìn)一步.

2. 在知識運(yùn)用階段體會化歸思想

在學(xué)習(xí)新知識的過程中，作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和組織者，教師的教學(xué)不能止步于數(shù)學(xué)知識的傳授，而應(yīng)該在教學(xué)過程中積極而充分地尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，主動(dòng)而自覺地運(yùn)用化歸思想來理解知識、分析問題，巧妙地將知識的學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)過程. 在上述過程中，教師積極分析教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)知識中隱性的方法元素和思想因素提煉出來，再輔以恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法讓學(xué)生得到熏陶和感染，由此他們的能力將得到提升，對化歸思想的認(rèn)識也將進(jìn)一步深化. 當(dāng)然，教師更要精心地設(shè)計(jì)教學(xué)過程，抓住能力的生長點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識和方法上的遷移.

數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用主要是學(xué)生結(jié)合對概念、定理、公式和方法的理解，在具體問題處理過程中，合理地采用相關(guān)知識和方法，由此實(shí)現(xiàn)問題的解決. 教師在這一過程中積極發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用和啟發(fā)作用，為學(xué)生呈現(xiàn)更加生動(dòng)而真實(shí)的情境，并引導(dǎo)學(xué)生積極地對其進(jìn)行探索和思考，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合化歸思想，將某些陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，最終實(shí)現(xiàn)問題的有效解決. 在學(xué)生對化歸思想進(jìn)行應(yīng)用時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生敢于實(shí)踐自己的設(shè)想，同時(shí)也要促進(jìn)學(xué)生在合作與交流中，分享自己的認(rèn)識，通過相互啟發(fā)、相互糾正來實(shí)現(xiàn)相關(guān)操作的完善，強(qiáng)化他們對化歸思想的認(rèn)識. 當(dāng)然，相應(yīng)的過程也將幫助學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識和方法的內(nèi)涵. 在實(shí)際教學(xué)中，有關(guān)于化歸思想在應(yīng)用中的滲透還有一些具體的做法，比較典型的做法就是在變式訓(xùn)練中滲透，但是在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上要留有彈性空間，要關(guān)注不同學(xué)生在學(xué)習(xí)需求上的差異.

（1）在知識體系的構(gòu)建上滲透化歸思想

高中數(shù)學(xué)知識有著一個(gè)較為龐大的體系，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要善于歸納和整理，唯有如此才能形成數(shù)學(xué)知識體系化的建構(gòu). 在這一過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極對相關(guān)知識進(jìn)行比較，尋找知識間的關(guān)聯(lián)性和相似性，以化歸的思想來尋找知識之間的轉(zhuǎn)化契合度，這一方面有助于學(xué)生領(lǐng)會知識之間的關(guān)聯(lián)，另一方面也有助于學(xué)生對相關(guān)知識靈活的運(yùn)用. 例如，在引導(dǎo)學(xué)生對圓錐曲線和方程進(jìn)行梳理時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合橢圓知識的已有基礎(chǔ)，將雙曲線和拋物線的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化到橢圓的研究方法上. 當(dāng)然在上述過程中，教師的點(diǎn)撥要能適可而止，要敢于放手讓學(xué)生自主整理和歸納，這樣才可以強(qiáng)化他們對化歸思想的認(rèn)識.

（2）在變式訓(xùn)練中滲透化歸思想

數(shù)學(xué)教學(xué)中變式訓(xùn)練能幫助學(xué)生發(fā)展舉一反三的能力，同時(shí)也能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)那些似是而非的問題之間的區(qū)別而關(guān)聯(lián)，從而有利于學(xué)生化歸思想的運(yùn)用.

原題：已知某函數(shù)y=f（x）是在區(qū)間[-1，1]的減函數(shù)，且為奇函數(shù). 若f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，請確定a的取值范圍.

解析：由f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，可得f（a2-a-1）>-f（4a-5）=f（5-4a）. 由于y=f（x）在區(qū)間[-1，1]為減函數(shù)，因此可得a2-a-1<5-4a，所以a2+3a-6<0.

綜合三個(gè)不等式：-1≤a2-a-1≤1，-1≤4a-5≤1，a2+3a-6<0，可得結(jié)論：1≤a<.

變式題：已知有函數(shù)f（x）=，x∈[-1，1]，若f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，請確定a的取值范圍.

解析：本題如果采用代入法來處理，則是一個(gè)非常復(fù)雜的過程. 如果對比一下原題的解析過程，我們可以預(yù)先判斷一下函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，由此尋找它與原題之間的關(guān)聯(lián)，這樣即可快捷地運(yùn)用化歸思想來對變式題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

3. 在鞏固知識的過程中挖掘化歸思想

新知識的學(xué)習(xí)離不開有效的鞏固，在知識的形成過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對其中的化歸思想進(jìn)行了認(rèn)識，但是這種認(rèn)識是不夠全面、不夠完善的，因此在鞏固階段需要有意識地強(qiáng)化和體驗(yàn)，讓學(xué)生將化歸思想內(nèi)化為自發(fā)自覺的意識和習(xí)慣.

知識的鞏固過程離不開恰當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)設(shè)計(jì)，教師在進(jìn)行作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)要注意對學(xué)生思維的激發(fā)，要關(guān)注學(xué)生思路的激活，要能有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行智力活動(dòng)，從而在不同角度探求問題的解決方法. 其中，有關(guān)化歸思想的運(yùn)用就是比較重要的方面，教師在相關(guān)問題的設(shè)計(jì)中要注意在情境設(shè)計(jì)和字句斟酌中隱晦地對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)，暗示學(xué)生對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由此促成學(xué)生對化歸思想的運(yùn)用.

教學(xué)實(shí)踐告訴我們，任何一種方法的教學(xué)、任何一種思想的培養(yǎng)都有一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，而這些都需要教師循循善誘地引導(dǎo). 當(dāng)然，我們也有理由相信，只要教師精心設(shè)計(jì)、有效滲透，學(xué)生的化歸思想一定會有明顯進(jìn)步.