顧及不確定性影響的變形概率預(yù)報(bào)法

魏冠軍，黨亞民，章傳銀，楊維芳

1. 蘭州交通大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，甘肅 蘭州 730070； 2. 中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京 100830

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顧及不確定性影響的變形概率預(yù)報(bào)法

魏冠軍1，黨亞民2，章傳銀2，楊維芳1

1. 蘭州交通大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，甘肅 蘭州 730070； 2. 中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京 100830

針對(duì)變形預(yù)報(bào)的不確定性，以MCMC算法和貝葉斯預(yù)測(cè)理論為基礎(chǔ)，提出了變形概率預(yù)報(bào)方法，該方法以概率分布的形式描述變形預(yù)報(bào)的不確定性, 通過(guò)概率規(guī)則實(shí)現(xiàn)預(yù)報(bào)的遞推過(guò)程。利用寧杭高速路基沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，定量分析了預(yù)報(bào)值及其可靠性區(qū)間等信息，并與最小二乘估計(jì)、免疫算法的預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明了該方法的有效性和可行性。

預(yù)報(bào)不確定性；測(cè)量誤差；參數(shù)不確定性；Gibbs抽樣；概率預(yù)報(bào)

建立有效的變形預(yù)報(bào)模型是分析變形監(jiān)測(cè)資料、理解變形機(jī)理和檢驗(yàn)工程設(shè)計(jì)理論的重要手段[1]，同時(shí)，變形預(yù)報(bào)成果為災(zāi)害預(yù)警和工程安全性評(píng)估提供了重要的決策依據(jù)。20世紀(jì)70年代初，國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼提出了變形預(yù)報(bào)的統(tǒng)計(jì)模型、確定性模型和混合模型[2]。為考慮變形體在不同觀測(cè)時(shí)刻的空間狀態(tài)，并建立各個(gè)狀態(tài)之間的聯(lián)系，一些學(xué)者提出了變形的時(shí)間序列分析模型[3]、卡爾曼濾波模型[4]、貝葉斯動(dòng)態(tài)模型[5]等預(yù)報(bào)理論與方法。將變形體作為一個(gè)整體，綜合考慮變形體多個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的空間相關(guān)性，提出了多點(diǎn)變形預(yù)測(cè)模型[6-7]。此外，由于變形過(guò)程受一些非線(xiàn)性、不確定性因素的影響，變形預(yù)報(bào)的灰色系統(tǒng)理論、突變理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析等方法[8]也得到廣泛的應(yīng)用。

變形預(yù)報(bào)結(jié)果存在一定程度的不確定性。這種不確定性的產(chǎn)生，一方面是由于自然環(huán)境因素、地質(zhì)條件及各種荷載(力)等綜合影響并且在動(dòng)態(tài)變化之中，從而導(dǎo)致變形過(guò)程的不確定性；另一方面，由于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)存在誤差，巖土體本構(gòu)關(guān)系復(fù)雜，難以建立精確的數(shù)學(xué)模型。用不精確的模型來(lái)描述、模擬復(fù)雜的動(dòng)態(tài)變形過(guò)程，這種不確定性也是顯而易見(jiàn)的[9-11]。然而，已有的變形預(yù)報(bào)方法只給出一個(gè)確定的預(yù)報(bào)值，并不能較完整地定量化表征變形預(yù)報(bào)的不確定性；同時(shí)，單值的變形預(yù)報(bào)結(jié)果在一定程度上制約著災(zāi)害預(yù)警和工程安全性評(píng)估的可靠性。因此，變形預(yù)報(bào)的不確定性研究是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

目前，變形預(yù)報(bào)的不確定性研究相當(dāng)有限[12-15]。概率作為表征水文預(yù)報(bào)、氣象預(yù)報(bào)不確定性的一種方式已得到廣泛的應(yīng)用[16-18]。因此，本文針對(duì)變形預(yù)報(bào)的不確定性，擬采用MCMC(Markov Chain Monte Carlo，MCMC)算法[19]和貝葉斯預(yù)測(cè)理論[20]，綜合考慮監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)誤差和反演模型參數(shù)不確定性的影響，提出了變形概率預(yù)報(bào)方法。該方法以概率分布的形式描述變形預(yù)報(bào)的不確定性，通過(guò)概率規(guī)則來(lái)實(shí)現(xiàn)預(yù)報(bào)的學(xué)習(xí)和推理過(guò)程，最大限度地利用了預(yù)報(bào)當(dāng)前時(shí)刻的所有信息。對(duì)概率預(yù)測(cè)分布的Gibbs抽樣計(jì)算，可求得預(yù)報(bào)量的均值、方差及置信區(qū)間等信息，定量地分析了變形預(yù)報(bào)的不確定性，同時(shí)，該方法提供了預(yù)報(bào)值的可靠性區(qū)間，對(duì)災(zāi)害預(yù)警和工程安全性評(píng)估具有重要的參考價(jià)值。

1 變形概率預(yù)報(bào)方法

1.1 不確定性反演分析

不確定性反演分析是指運(yùn)用隨機(jī)過(guò)程、模糊數(shù)學(xué)、分形幾何等不確定性數(shù)學(xué)工具來(lái)分析量測(cè)信息的不確定性及反演模型的非確定性。在工程領(lǐng)域，不確定性反演分析主要有極大似然估計(jì)、貝葉斯方法、卡爾曼濾波法等[21],貝葉斯反演分析是在貝葉斯理論的基礎(chǔ)上，將參數(shù)的先驗(yàn)信息、量測(cè)信息的不確定性，按貝葉斯法則考慮在目標(biāo)函數(shù)中，由似然函數(shù)遞推待求參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)[22]。

對(duì)變形監(jiān)測(cè)分析而言，若Y=(y1,y2,…,yn)為n期變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，φ(θ)是以θ=(θ1,θ2,…,θk)為參數(shù)的變形分析模型，則變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)Y與變形分析模型φ(θ)之間的關(guān)系為[23-24]

Y=φ(θ)+ε

(1)

式中，ε為隨機(jī)變量，且ε～N(0,τ-1)；τ為未知的待定參數(shù)，表示監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)誤差和模型結(jié)構(gòu)的不確定性。

若監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)Y=(y1,y2,…,yn)服從正態(tài)分布

p(yi|θ)～N(φ(θ),τ-1)i=1,2,…,n

(2)

則變形觀測(cè)值的似然函數(shù)為

(3)

根據(jù)貝葉斯理論，并顧及參數(shù)的先驗(yàn)分布π(θ)，變形模型參數(shù)的后驗(yàn)概率分布為

π(θ|y1,y2,…,yn)∝π(θ)p(y1,y2,…,yn|θ)

(4)

從式(4)可以看出，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)誤差和模型結(jié)構(gòu)的不確定性通過(guò)貝葉斯反演分析傳遞到參數(shù)的后驗(yàn)概率分布中來(lái), 參數(shù)的后驗(yàn)概率分布π(θ|y1,y2,…,yn)描述了參數(shù)的不確定性。

1.2 概率預(yù)報(bào)遞推算法

根據(jù)文獻(xiàn)[25]的研究，利用貝葉斯預(yù)測(cè)理論來(lái)推斷未來(lái)時(shí)刻的觀測(cè)值必須依靠預(yù)測(cè)分布。若將預(yù)測(cè)值(ypre)作為一個(gè)附加的未知參數(shù)，并與模型參數(shù)(θ)一起進(jìn)行估計(jì)，利用聯(lián)合后驗(yàn)概率分布p(ypre,θ|yobs)來(lái)推斷未來(lái)觀測(cè)值的邊緣后驗(yàn)分布p(ypre|yobs)

p(ypre|yobs)=∫p(ypre,θ|yobs)dθ= ∫p(ypre|θ,yobs)·π(θ|yobs)dθ= ∫p(ypre|θ)·π(θ|yobs)dθ

(5)式(5)的概率預(yù)測(cè)分布p(ypre|yobs)涵蓋了參數(shù)后驗(yàn)分布π(θ|yobs)和預(yù)測(cè)值的函數(shù)分布p(ypre|θ)，以概率分布的形式描述了變形預(yù)報(bào)的不確定性。

在完全沒(méi)有獲得變形觀測(cè)數(shù)據(jù)的情況下，利用參數(shù)的先驗(yàn)分布π(θ)可求得未知且可觀測(cè)的數(shù)據(jù)分布為

p(y)=∫Θp(y|θ)·π(θ)dθ

(6)

在實(shí)際變形分析中，預(yù)測(cè)通常是在獲得一定的觀測(cè)數(shù)據(jù)之后進(jìn)行。在不同的時(shí)間間隔獲取的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，利用貝葉斯遞推算法推斷出某一時(shí)刻變形的一步概率預(yù)測(cè)分布(圖1)，過(guò)程如下：

(1) 當(dāng)t1時(shí)刻變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)y1獲取以后，根據(jù)式(4)可推斷出t1時(shí)刻參數(shù)的后驗(yàn)分布為

π(θ1|y1)∝p(y1|θ)π(θ)

(7)

根據(jù)式(5)，t1時(shí)刻的一步預(yù)測(cè)分布為

p(y2|y1)=∫p(y2|θ1)π(θ1|y1)dθ

(8)

(2) 隨著t2時(shí)刻監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)y2獲取，將t1時(shí)刻參數(shù)的后驗(yàn)分布(π(θ1|y1)作為t2時(shí)刻參數(shù)的先驗(yàn)分布，結(jié)合新的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)y2來(lái)推斷t2時(shí)刻參數(shù)的后驗(yàn)分布

π(θ2|y(1,2))∝p(y2|θ1)π(θ1|y1)

(9)

同理，t2時(shí)刻的一步預(yù)測(cè)分布為

p(y3|y(1,2))=∫p(y3|θ2)π(θ2|y(1,2))dθ

(10)

(3) 依次遞推，當(dāng)tn時(shí)刻監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)y1、y2、…、yn獲取后，逐次遞推的模型參數(shù)后驗(yàn)分布為

(11)

同理，tn時(shí)刻的一步預(yù)測(cè)分布為

p(yn+1|y(1:n))=∫p(yn+1,θn|y(1:n))dθ=

∫p(yn+1|θn,y1:n)π(θn|y(1:n))dθ=

∫p(yn+1|θn)π(θn|y(1:n))dθ

(12)

隨著觀測(cè)數(shù)據(jù)的不斷更新，并不斷地對(duì)參數(shù)的先驗(yàn)信息進(jìn)行更新與修正，使得參數(shù)的估計(jì)越來(lái)越準(zhǔn)確，相應(yīng)的預(yù)測(cè)分布也隨之更新與修正, 實(shí)現(xiàn)了利用概率規(guī)則的學(xué)習(xí)和推理過(guò)程。

圖1 變形概率預(yù)報(bào)的貝葉斯遞推算法Fig.1 Deformation probability forecasting of Bayesian recursive algorithm

1.3 概率預(yù)測(cè)分布的數(shù)值計(jì)算

Gibbs抽樣算法是應(yīng)用最為廣泛的MCMC算法之一[26]。文獻(xiàn)[27]將Gibbs抽樣應(yīng)用到復(fù)雜、高維的后驗(yàn)概率分布計(jì)算，不僅求得未知參數(shù)的估計(jì)值，還獲得參數(shù)的方差、置信區(qū)間及MC誤差等信息。由于變形模型的參數(shù)后驗(yàn)概率分布(式(4))和變形的概率預(yù)測(cè)分布(式(5))的計(jì)算都涉及高維、非標(biāo)準(zhǔn)的分布，很難用傳統(tǒng)的數(shù)值方法來(lái)計(jì)算。因此，本文采用Gibbs抽樣算法進(jìn)行概率分布的數(shù)值計(jì)算，具體的過(guò)程如下：

2 工程實(shí)例分析

為了驗(yàn)證本文提出的變形概率預(yù)報(bào)方法的可行性及其精度，利用寧杭高速公路k95+520段地基沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)[28]進(jìn)行地基沉降泊松曲線(xiàn)模型擬合與預(yù)測(cè)，利用WinBUGS軟件編程來(lái)實(shí)現(xiàn)本文的方法。

2.1MCMC計(jì)算收斂性判斷

采用MCMC方法構(gòu)造的Markov鏈，再經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的預(yù)熱過(guò)程后達(dá)到穩(wěn)定，即滿(mǎn)足遍歷性、歸一性和平穩(wěn)性條件的Markov過(guò)程，之后的各個(gè)狀態(tài)采樣值可視為來(lái)自目標(biāo)分布。利用Gelman收斂準(zhǔn)則可直觀、準(zhǔn)確地判斷Markov鏈的收斂性，即后驗(yàn)分布的Gibbs采樣軌跡圖趨于一條直線(xiàn)，說(shuō)明迭代采樣過(guò)程是收斂的[29]。通過(guò)對(duì)20期的一步預(yù)測(cè)分布的Gibbs采樣軌跡圖判斷(圖1)，Markov鏈在大約經(jīng)過(guò)500次采樣預(yù)熱之后，采樣軌跡圖趨于一條直線(xiàn)，說(shuō)明沉降變形預(yù)測(cè)分布的采樣值收斂較快，且本次Gibbs抽樣迭代計(jì)算是收斂的。

注：橫坐標(biāo)表示采樣迭代次數(shù)；縱坐標(biāo)表示預(yù)測(cè)分布的采樣值，單位為cm。圖2 變形預(yù)測(cè)分布的采樣軌跡Fig. 2 The sampling trajectory of deformation prediction distribution

2.2 概率分布曲線(xiàn)及不確定性分析

考慮到監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)誤差及模型參數(shù)反演等不確定性因素影響，以變形概率預(yù)測(cè)分布來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的變形預(yù)報(bào)值(一個(gè)常數(shù))。Markov鏈?zhǔn)諗恳院蟮牟蓸又悼梢暈閬?lái)自變形概率預(yù)測(cè)分布的獨(dú)立樣本，利用采樣值繪制變形的概率預(yù)報(bào)分布曲線(xiàn)(圖3)。當(dāng)預(yù)測(cè)量概率分布曲線(xiàn)比較陡且拖尾較小時(shí)，相應(yīng)的置信區(qū)間寬度變小，即預(yù)報(bào)的不確性?。划?dāng)預(yù)測(cè)的概率分布曲線(xiàn)比較緩且拖尾較大時(shí)，相應(yīng)的置信區(qū)間寬度變大，即預(yù)報(bào)的不確定性較大。

2.3 預(yù)報(bào)值及可靠性區(qū)間計(jì)算

Markov鏈?zhǔn)諗恳院蟮牟蓸又悼梢暈閬?lái)自變形概率預(yù)測(cè)分布的獨(dú)立樣本，用于預(yù)測(cè)量的統(tǒng)計(jì)計(jì)算及可靠性分析。表1列出了20期地基沉降一步概率預(yù)測(cè)分布采樣值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，預(yù)報(bào)量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、95%置信區(qū)間及MC誤差等信息，較好地表征了變形預(yù)報(bào)的不確定性。

注：橫坐標(biāo)表示變形預(yù)測(cè)采樣值，單位為cm；縱坐標(biāo)表示概率密度。圖3 沉降量的概率預(yù)測(cè)分布曲線(xiàn)Fig.3 The probability prediction distribution curve of settlement

時(shí)間/d沉降觀測(cè)值/cmBayes概率方法均值/cm標(biāo)準(zhǔn)差/cm95%置信區(qū)間/cmMC誤差免疫算法/cm最小二乘擬合方法/cm50.510.9610.3648[0.248,1.665]0.01131.060.94101.441.4450.3848[0.673,2.206]0.01351.541.41202.712.9310.3743[2.210,3.690]0.01093.012.90213.213.1040.3847[2.318,3.846]0.01163.203.09253.573.9240.3836[3.159,4.690]0.00753.993.91305.355.0270.3609[4.302,5.722]0.00545.065.01345.885.9090.3672[5.171,6.658]0.00895.925.90356.566.1100.3743[5.391,6.869]0.00796.136.12407.487.0990.3742[6.355,7.844]0.01027.107.10457.827.8970.3642[7.135,8.632]0.00997.927.91488.058.2840.3649[7.565,9.002]0.00948.328.30508.388.5010.3691[7.755,9.226]0.00848.568.52558.598.9610.3681[8.224,9.708]0.00719.038.96608.849.2520.3638[8.514,9.965]0.00609.379.27629.019.3390.3611[8.617,10.07]0.00689.489.36659.189.4640.3613[8.744,10.17]0.00719.619.47709.819.5900.3670[8.888,10.33]0.00769.769.607510.049.6830.3705[8.927,10.40]0.00969.879.697610.069.7020.3793[8.953,10.44]0.00899.899.718010.119.7600.3781[9.016,10.52]0.00869.949.74RMS擬合殘差 1.8398 2.0788 1.8505

2.4 不同方法預(yù)報(bào)結(jié)果比較

為了驗(yàn)證本文的變形概率預(yù)測(cè)分布方法的有效性，與相同數(shù)據(jù)、同一模型的免疫算法、最小二乘算法的擬合預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較(表1)，通過(guò)擬合殘差對(duì)比，變形的概率預(yù)報(bào)方法不僅預(yù)測(cè)精度優(yōu)于免疫算法和最小二乘方法，而且給了預(yù)測(cè)值的可靠性區(qū)間，從而突出了該方法的有效性及優(yōu)勢(shì)。

此外，從3種方法的預(yù)測(cè)誤差序列圖來(lái)看，預(yù)測(cè)誤差的正負(fù)性均呈現(xiàn)出明顯的一致，但概率預(yù)報(bào)方法的預(yù)測(cè)誤差略小于其他兩種方法(圖4)。在20期預(yù)測(cè)中，有12期免疫算法預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)誤差大于其他兩種方法，而最小二乘的預(yù)測(cè)誤差雖與概率預(yù)報(bào)方法相當(dāng)，但殘差略大(表1)。

圖4 3種方法的預(yù)測(cè)誤差序列圖Fig.4 Three methods of prediction error sequence diagram

3 結(jié) 論

針對(duì)變形過(guò)程的不確定性，本文提出了變形概率預(yù)報(bào)方法，通過(guò)概率規(guī)則實(shí)現(xiàn)預(yù)報(bào)的遞推過(guò)程。主要結(jié)論如下：① 將參數(shù)的先驗(yàn)信息、監(jiān)測(cè)信息的不確定性，按貝葉斯法則考慮在目標(biāo)函數(shù)中，并利用其預(yù)測(cè)理論推斷出下一時(shí)刻變形的一步概率預(yù)測(cè)分布；②通過(guò)對(duì)一步概率預(yù)測(cè)分布的抽樣計(jì)算，得出了預(yù)報(bào)量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、95%置信區(qū)間等信息，較好地表征了變形預(yù)報(bào)的不確定性；③結(jié)合工程實(shí)例，通過(guò)對(duì)比不同預(yù)測(cè)方法的結(jié)果表明，變形概率預(yù)報(bào)方法預(yù)測(cè)精度較高，表明了該方法的有效性，同時(shí)，本文方法給出了預(yù)測(cè)值的可靠性區(qū)間，對(duì)于工程災(zāi)害預(yù)警及安全性評(píng)估具有一定的實(shí)用性。

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(責(zé)任編輯：宋啟凡)

Method of Deformation Probability Prediction Considering the Influence of Uncertainty Factors

WEI Guanjun1，DANG Yamin2，ZHANG Chuanyin2，YANG Weifang1

1. Faculty of Geomatics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China; 2. Chinese Academy of Surveying and Mapping, Beijing 100830, China

A probabilistic prediction method of deformation is proposed based on the MCMC algorithm and the Bayesian Prediction Theory.This method describes the uncertainty of deformation prediction using probability distributions and implement the recursive process of prediction by probability rules. The settlement data from the Nanjing-Hangzhou high-speed roadbed is used to quantitatively analyze the forecast values, reliability intervals and so on, and then the results are compared with those obtained by the least squares estimation and the immune algorithm, and it has shown that the proposed method is effective and feasible.

prediction uncertainty; measurement error; parameter uncertainty;Gibbs sampling; probability predication

The National Natural Science Foundation of China (No. 41364001); The Natural Science Foundation of Gansu Province (No.1508RJEA065); Science and Technology Support Program of Lanzhou Jiaotong University(No.ZC2014002)

WEI Guanjun(1976—)，male,PhD, associate professor, majors in the theory and algorithm of survey data processing.

DANG Yamin

魏冠軍，黨亞民，章傳銀，等.顧及不確定性影響的變形概率預(yù)報(bào)法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2017,46(4)：526-532.

10.11947/j.AGCS.2017.20160531. WEI Guanjun，DANG Yamin，ZHANG Chuanyin，et al.Method of Deformation Probability Prediction Considering the Influence of Uncertainty Factors[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(4):526-532. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160531.

P258

A

1001-1595(2017)04-0526-07

國(guó)家自然科學(xué)基金(41364001)；甘肅省自然科學(xué)基金(1508RJEA065)；蘭州交通大學(xué)科技支撐計(jì)劃(ZC2014002)

2016-10-24

魏冠軍(1976—)，男，博士，副教授,主要從事測(cè)量數(shù)據(jù)處理的理論與算法研究。

E-mail： wchampion@sina.com

黨亞民

E-mail： dangym@casm.ac.cn

修回日期： 2017-03-16