基于馬爾科夫鏈模型的脈動裝配線運行狀態(tài)預測*

（中國航空制造技術(shù)研究院數(shù)字化制造技術(shù)航空科技重點實驗室，北京 100024）

傳統(tǒng)飛機總裝存在裝配生產(chǎn)周期長、質(zhì)量低、成本高、應(yīng)變能力低等問題，要解決此問題，需要在總裝配環(huán)節(jié)采用先進的技術(shù)和生產(chǎn)模式，國外航空公司在飛機總裝生產(chǎn)模式方面率先進行探索，并取得一定應(yīng)用成果。

波音公司1999年建立波音737移動式裝配生產(chǎn)線，總裝時間由22天減少為11天，最終縮短至8天，并且工作流程產(chǎn)品存貨降低50%，儲備存貨降低59%。 隨著飛機總裝移動式裝配生產(chǎn)線的優(yōu)勢日益明顯，波音公司在波音737、波音757、波音777等機型移動式裝配生產(chǎn)線的基礎(chǔ)上，為波音787建立了先進的脈動裝配線。波音公司的成功經(jīng)驗帶動了各大飛機制造商，其中洛克希德·馬丁飛機制造公司在2003～2004年建成了F-35總裝脈動裝配線，大大縮短飛機總裝時間，到2016年F-35的總裝脈動裝配線已達到每天交付一架的水平[1]。

脈動式移動裝配生產(chǎn)線簡稱脈動裝配線，是連續(xù)式移動裝配線的過渡階段。與傳統(tǒng)裝配方式相比，脈動裝配線有以下優(yōu)勢[2]：（1）改善裝配現(xiàn)場環(huán)境，縮小廠房占用面積，減少飛機生產(chǎn)投入；（2）裝配作業(yè)標準化、專業(yè)化的分工更易于保證飛機的質(zhì)量和性能的穩(wěn)定；（3）規(guī)范和拉動整個飛機的生產(chǎn)供應(yīng)鏈的協(xié)同；（4）采用新工藝方法和新裝備技術(shù)，能夠促進飛機裝配技術(shù)的發(fā)展。

根據(jù)我國航空企業(yè)的管理模式、工藝水平、技術(shù)現(xiàn)狀以及產(chǎn)能需求，目前脈動裝配線更加符合我國國情。中航工業(yè)西安飛機工業(yè)(集團)有限責任公司建立了國內(nèi)第一條總裝脈動裝配線，從立項到最終建成，經(jīng)歷了5年的調(diào)研論證與動工建設(shè)，2010年5月基本建成并投入使用，實現(xiàn)國內(nèi)飛機制造水平的顯著提升。目前各大主機廠對脈動裝配線規(guī)劃和管控系統(tǒng)進行設(shè)計，但是對脈動裝配線狀態(tài)預測技術(shù)還未開展研究。狀態(tài)預測技術(shù)能夠提前發(fā)現(xiàn)問題，減少脈動裝配線出問題的頻率，降低對裝配線關(guān)鍵指標的影響，因此對脈動裝配線狀態(tài)預測技術(shù)進行研究十分必要。

1 基于脈動裝配線的狀態(tài)預測必要性研究

1.1 脈動裝配線特點和影響因素分析

脈動裝配線具有以下特點：（1）工人位置固定、分工明確精細、動作標準化，同時可移動、自動化程度高的輕便工裝代替?zhèn)鹘y(tǒng)固定式工裝，生產(chǎn)效率較高；（2）配備專業(yè)供給線，物料配套準確、配送精確到位；（3）對設(shè)備實現(xiàn)集中、高效、安全智能管理；（4）收集和回饋生產(chǎn)線的生產(chǎn)管理信息及報警信息，建立問題快速響應(yīng)機制。基于對脈動裝配線特點的分析，影響脈動裝配線運行狀態(tài)因素包括：人員、物料、設(shè)備、工序、工具等，例如物料配套準確率、配送準時率、設(shè)備故障率、工序交檢合格率等都會對脈動裝配線節(jié)拍、產(chǎn)能等關(guān)鍵指標產(chǎn)生影響。

1.2 狀態(tài)預測的必要性

脈動裝配線在運行過程中經(jīng)常會出現(xiàn)問題，為了不影響節(jié)拍、產(chǎn)能等關(guān)鍵指標，發(fā)揮脈動裝配線優(yōu)勢，需要預先綜合分析人員、物料、設(shè)備、工序等因素對運行狀態(tài)造成的影響，對脈動裝配線進行狀態(tài)預測。狀態(tài)預測的目的是根據(jù)脈動裝配線狀態(tài)變化規(guī)律和當前狀態(tài)，預測未來運行狀態(tài)，提前發(fā)現(xiàn)問題，利用或改進未來狀態(tài)，最大程度降低對脈動裝配線造成的影響。本文利用馬爾科夫方法對脈動裝配線運行狀態(tài)進行預測，馬爾科夫方法基于狀態(tài)變化的規(guī)律性和關(guān)聯(lián)性，利用事物過去的變化規(guī)律推測出未來的變化趨勢[3]，預測的關(guān)鍵是建立馬爾科夫鏈模型。

2 基于馬爾科夫鏈模型的脈動裝配線狀態(tài)預測研究與應(yīng)用

2.1 馬爾科夫鏈模型的適用性

影響因素之間存在錯綜復雜的聯(lián)系，很難運用結(jié)構(gòu)化的模型解釋，數(shù)據(jù)之間的相互依存關(guān)系是研究對象的重要特性，因此根據(jù)數(shù)據(jù)的變動規(guī)律建立時間序列模型是一種有效的方法。馬爾科夫鏈是一種時間序列，通過分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，形成狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，進而分析事件的發(fā)展趨勢。馬爾科夫鏈具有無后效性，將來取值只與現(xiàn)在的取值有關(guān)，即某個階段的狀態(tài)一旦確定，此后過程的演變不再受此前各種狀態(tài)及決策的影響。脈動裝配線的運行狀態(tài)是一個有限非平穩(wěn)時間序列，具有趨勢性與隨機性，生產(chǎn)線在每個時段所處的狀態(tài)是隨機的，狀態(tài)之間按照一定的概率進行轉(zhuǎn)移，下個時段的狀態(tài)由當前狀態(tài)以及轉(zhuǎn)移概率決定，狀態(tài)指標參數(shù)量值在時間軸上是離散的，因此構(gòu)成了典型的馬爾科夫鏈[4]。在脈動裝配線運行狀態(tài)變化的過程中，通過輸入某一時刻狀態(tài)分布，利用馬爾科夫鏈模型預測出下一周期狀態(tài)分布。

2.2 馬爾科夫鏈模型概述

通常情況下，一個馬爾科夫鏈模型由3元素表示，即λ=（X，π，A），其中：X用來表示模型中的狀態(tài)，狀態(tài)的數(shù)量用N表示，即X={x1，x2，…，xN}，N個狀態(tài)之間根據(jù)具體的實際問題而存在一定聯(lián)系；π={πi}，i=1，2，…，N，π表示狀態(tài)空間的初始狀態(tài)分布，具體的含義是初始條件下處于各個狀態(tài)的數(shù)量；用A=（pij）N×N來表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，其中pij表示在時刻t-1時，模型的狀態(tài)為xi，在時刻t時模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到xj，此時pij=p（xj｜xi）且轉(zhuǎn)移矩陣A的每一行元素之和等于1，即為由于整個模型中有N種可能的狀態(tài)，因此轉(zhuǎn)移矩陣是N階的方陣。

馬爾科夫鏈模型如圖1所示。

圖1 馬爾科夫鏈模型Fig.1 Model of Markov chain

時間和狀態(tài)都是離散的馬爾科夫過程稱為馬爾科夫鏈，即Xn=X（n），n=0，1，2，…，K。馬爾科夫鏈是隨機變量X1，X2，X3，…，Xn的一個序列，這些變量所有可能取值的集合構(gòu)成狀態(tài)空間，則Xn的值是時間為n的狀態(tài)。馬爾科夫性質(zhì)描述為Xn+1對于過去狀態(tài)的條件概率分布僅是Xn的一個函數(shù)，x為過程中的某個狀態(tài)，如式（1）所示。

馬爾科夫鏈滿足兩個條件：（1）t+1時刻系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布只與t時刻的狀態(tài)有關(guān)，與t時刻以前的狀態(tài)無關(guān)；（2）從t時刻到t+1時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移與t值無關(guān)。

本文研究的是離散狀態(tài)空間的馬爾科夫模型，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣即為條件概率 ：

對于一個離散狀態(tài)空間，對于一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移，得到下一步狀態(tài)為：

2.3 基于馬爾科夫模型的生產(chǎn)線狀態(tài)預測應(yīng)用

通過對某飛機制造廠某型號飛機現(xiàn)場調(diào)研，在生產(chǎn)過程中通過對裝配過程中采集到的工序完工率、交檢合格率以及物料配套正確率等數(shù)據(jù)進行綜合分析，預測脈動線運行狀態(tài)。對工序進度、工序完成情況、工序報警等信息進行統(tǒng)計與存儲，統(tǒng)計出一定時間內(nèi)的工序完工率以及交檢合格率。根據(jù)物料報警信息，可以統(tǒng)計一定時間內(nèi)的物料配套正確率。本文研究所用算例將脈動裝配線分成13個站位，基于現(xiàn)場調(diào)研和結(jié)合生產(chǎn)情況，通過采集6個周期的運行數(shù)據(jù)，進行狀態(tài)劃分，求取狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，進而對運行狀態(tài)進行預測。

2.3.1 狀態(tài)劃分

工序的按時完工率、物料配套的正確率、工序質(zhì)量合格率3個指標參數(shù)的平均值作為脈動裝配線運行狀態(tài)的指標參數(shù)yj，同時也作為馬爾科夫鏈狀態(tài)劃分的依據(jù)。依據(jù)指標參數(shù)yj的數(shù)值，將狀態(tài)分為S1，S2，S3，S44種，S1表明運行狀態(tài)很好，狀態(tài)指標參數(shù)范圍為[0.85,1]；S2表明運行狀態(tài)較好，狀態(tài)指標參數(shù)范圍為[0.7,0.85)；S3表明運行狀態(tài)一般，狀態(tài)指標參數(shù)范圍為[0.6,0.7)；S4表明運行狀態(tài)較差，狀態(tài)指標參數(shù)范圍為[0，0.6)。

2.3.2 脈動裝配線運行狀態(tài)預測的馬爾科夫鏈模型

本文建立具有4個狀態(tài)的馬爾科夫鏈模型，任一個狀態(tài)只能向其自身或之后的狀態(tài)轉(zhuǎn)化，如圖2所示。13個站位狀態(tài)指標參數(shù)如表1所示。

以第5周期狀態(tài)為初始分布狀態(tài)，對前5周期數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，利用3種方法求取狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即基于頻數(shù)統(tǒng)計的方法、基于平均值方法和基于優(yōu)化的方法。根據(jù)狀態(tài)指標參數(shù)，得到相鄰兩個周期之間狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)，如表2所示。

（1）基于頻數(shù)統(tǒng)計方法的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[5]。

圖2 脈動裝配線運行狀態(tài)預測馬爾科夫鏈模型Fig.2 Model of Markov chain about prediction on pulse production line running state

表1 不同站位狀態(tài)指標參數(shù) %

表2 相鄰周期狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)

通過對前5周期狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)求和，得到前5周期狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)，如表3所示。

表3 前5周期狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)

通過統(tǒng)計各個狀態(tài)間轉(zhuǎn)移的頻數(shù)，得狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

（2）基于平均值方法的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

通過表2統(tǒng)計出相鄰周期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

通過求取平均值得平均狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

（3）基于優(yōu)化方法的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[6]。

現(xiàn)假定q(t)=(pt(1),pt(2),···,pt(n))是在t時刻的狀態(tài)分布，其中t=0，1，2，…，m，由于外在因素的影響，一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣在相鄰時間不完全相同，因此得到的q（t+1）和q（t）之間必然存在誤差，要使誤差降到最低，可構(gòu)造下面的優(yōu)化模型：

以狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣與理論誤差平方和最小為原則，建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的優(yōu)化模型。設(shè)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

定義P01、P02、P03、P04分別為：

目標函數(shù)為：

優(yōu)化模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

2.4 結(jié)果分析

第5周期的狀態(tài)數(shù)λ5=（2，6，5，0）為初始狀態(tài)，利用公式（3）得到頻數(shù)統(tǒng)計模型、平均值模型、優(yōu)化模型對第6周期狀態(tài)分布的預測結(jié)果λcount=（1.2727，5.3939，4.1111，2.2222）、λmean=（1.0417，5.5833，3.6667，2.7083）、λ60=（1.0152，5.6960，2.9703，3.3185）。

第6周期真實的狀態(tài)數(shù)為λ6=（1，6，3，3），將預測結(jié)果與真實狀態(tài)數(shù)進行對比，如圖3所示，誤差如表4所示。由圖3得出，利用優(yōu)化模型得出的狀態(tài)分布與真實狀態(tài)分布相似度最高；由表4得知，優(yōu)化模型的相對誤差整體最小，因此利用優(yōu)化模型對生產(chǎn)線運行狀態(tài)進行預測準確率相對較高。

圖3 預測結(jié)果分析Fig.3 Analysis of prediction results

表4 預測模型誤差比較

2.5 建模方法評價

基于頻數(shù)統(tǒng)計方法建立模型的前提是將頻率等同于概率，在基于大量試驗數(shù)據(jù)的前提下，頻率近似等于概率，由于本文研究數(shù)據(jù)樣本較小，利用頻數(shù)統(tǒng)計方法建立模型結(jié)果誤差偏大。通過對多個狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求平均值，能夠得到一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣近似情況，不能準確反映實際情況。在基于平均值模型的基礎(chǔ)上，以理論狀態(tài)概率向量與實際狀態(tài)概率向量平方和最小為原則，建立優(yōu)化預測模型，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化預測模型相對誤差較小，預測結(jié)果相對準確。

3 總結(jié)與展望

論文利用馬爾科夫方法建立馬爾科夫鏈預測模型，并對脈動裝配線運行狀態(tài)進行預測，模型算法簡單，預測結(jié)果較為準確，今后將開展進一步研究工作。

（1）本文利用一個算例提出了脈動裝配線運行狀態(tài)預測方法，在實際生產(chǎn)中要對該方法進行檢驗，同時需要進一步研究狀態(tài)劃分方法，更加準確地對脈動裝配線運行狀態(tài)進行劃分，并且根據(jù)運行狀態(tài)的波動性，對模型進行修正調(diào)整。

（2）在實際生產(chǎn)中，影響脈動裝配線運行因素很多，并且不同的用戶關(guān)注的影響因素不同，因此通過引入隱馬爾科夫模型，將影響因素組成可觀測序列輸入到模型中，通過改變可觀測序列的元素以及長度來實現(xiàn)輸入不同影響因素的目的。脈動裝配線運行狀態(tài)作為隱狀態(tài)，影響因素作為可觀測序列，建立可觀測序列與隱狀態(tài)之間的對應(yīng)關(guān)系以及各個狀態(tài)模型。通過輸入一系列可觀測序列，預測出脈動裝配線運行狀態(tài)以及診斷造成該狀態(tài)的原因，依據(jù)診斷結(jié)果進行檢修或優(yōu)化，提前改進脈動裝配線運行狀態(tài)。

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