例談“參數(shù)范圍”問(wèn)題的解題策略

☉浙江省諸暨市海亮高級(jí)中學(xué) 沈鐵表

例談“參數(shù)范圍”問(wèn)題的解題策略

☉浙江省諸暨市海亮高級(jí)中學(xué) 沈鐵表

近幾年的高考中，求參數(shù)的取值范圍是高考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)?？疾榈牡湫蛦?wèn)題，作為一個(gè)常考的熱點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容.下面談?wù)勥@類題型的典型解決方法.

一、利用分離參數(shù)求參數(shù)范圍

分離參數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的解題方法，因?yàn)楸荛_了分類討論，具有思路清晰，易于操作等特點(diǎn)，深受師生的青睞.

（1）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

因?yàn)閑x＞0，由-3x2+（6-a）x+a≤0，得a（1-x）≤3x2-6x.

點(diǎn)評(píng)：本題解法眾多，而通過(guò)分離參數(shù)，將參數(shù)a可直接分離出來(lái)，從而使得問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單.

二、利用構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)范圍

題目中如果涉及不等式、方程等問(wèn)題，常常建立目標(biāo)函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域，用函數(shù)的方法分析，此類問(wèn)題的解決方法即為構(gòu)造函數(shù).構(gòu)造函數(shù)在解決參數(shù)問(wèn)題時(shí)常常起著重要的作用.

例2已知函數(shù)f（x）=ex-ax，其中a＞0.

（1）若對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；

（2）在函數(shù)f（x）的圖像上取定兩點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=k成立.

解：（1）f′（x）=ex-a.令f′（x）=0，得x=lna.

當(dāng)x＜lna時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞lna時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

故當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）取最小值f（lna）=a-alna.

于是對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)aalna≥1.①

令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt.

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；

當(dāng)t＞1時(shí)，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減.

故當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取最大值g（1）=1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)a= 1時(shí)，①式成立.

綜上所述，a的取值集合為｛1｝.

（2）證明略.

點(diǎn)評(píng)：先構(gòu)造新函數(shù)g（t）=t-tlnt，再利用導(dǎo)數(shù)方法求得最值即可.

三、利用不等式放縮求參數(shù)范圍

已知一個(gè)不等式求其中參數(shù)的范圍，直接證明比較困難，常常利用合理的放縮達(dá)到所要證明的結(jié)果.

（1）判斷函數(shù)h（x）是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)λ=0，x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)y=h（x）的圖像總在直線y=1-x的上方，求p的取值范圍.

解：（1）函數(shù)h（x）是補(bǔ)函數(shù)，證明略.

所以點(diǎn)（xp，h（xp））不在直線y=1-x的上方，不符合條件.

設(shè)φ（x）=xp+（1-x）p，x∈（0，1），

則φ（′x）=p［xp-1-（1-x）p-1］.

又因?yàn)棣眨?）=φ（1）=1，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ（x）＜1恒成立.

綜上所述，p的取值范圍是（1，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的新定義，函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用以及分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

四、利用判別式求參數(shù)范圍

實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0有無(wú)實(shí)根的依據(jù)——判別式為Δ=b2-4ac≥0是否成立，因此常常將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程是否有根，通過(guò)判別式得到參數(shù)范圍.

例4設(shè)a＜1，集合A=｛x∈R|x＞0｝，B=｛x∈R|2x2-3（1+ a）x+6a＞0｝，D=A∩B.

（1）求集合D（用區(qū)間表示）；

（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D內(nèi)有極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：（1）x∈D?x＞0且2x2-3（1+a）x+6a＞0.

令h（x）=2x2-3（1+a）x+6a，則

Δ=9（1+a）2-48a=3（3a-1）（a-3）.

所以B=（-∞，1）∪（1，+∞）.

于是D=A∩B=（0，1）∪（1，+∞）.

因?yàn)閤1＜x2且x2＞0，所以B=（-∞，x1）∪（x2，+∞）.

又x1＞0?a＞0，所以

②當(dāng)a≤0時(shí)，D=（x2，+∞）.

（2）f（′x）=6x2-6（1+a）x+6a=6（x-1）（x-a）.

當(dāng)a＜1時(shí)，（fx）的單調(diào)性如下表：

由表可么，x=a為（fx）在D內(nèi)的極大值點(diǎn)，x=1為（fx）在D內(nèi)的極小值點(diǎn).

由表可得，x=a為f（x）在D內(nèi)的極大值點(diǎn).

④當(dāng)a≤0時(shí)，D=（x2，+∞）且x2＞1.

由表可得，f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增.

因此f（x）在D內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn).

綜上所述，a的取值范圍是（0，1）.

點(diǎn)評(píng)：解決時(shí)借助了一元二次方程的判別式，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系.

總之，對(duì)于平時(shí)?？汲Ｐ碌念}型，若能細(xì)致分析、挖掘，不但能提高教師的教研水平，提高教學(xué)效益，而且還有助于提高學(xué)生的解題能力，增強(qiáng)解題信心.引導(dǎo)學(xué)生在解題中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生全面細(xì)致地分析問(wèn)題，總會(huì)收到事半功倍的效果.