全國各省市高考模擬試題中的“亮點(diǎn)”題賞析

☉湖北省襄陽市第一中學(xué) 王 勇 王 云

全國各省市高考模擬試題中的“亮點(diǎn)”題賞析

☉湖北省襄陽市第一中學(xué) 王 勇 王 云

縱觀2017年全國各省市高考數(shù)學(xué)模擬試題，總體反映出穩(wěn)定、創(chuàng)新、應(yīng)用、傳承的特點(diǎn).每份試卷的結(jié)構(gòu)、題型、重要知識點(diǎn)相對穩(wěn)定，不同試卷均有新穎的“亮點(diǎn)”題，試題注重創(chuàng)設(shè)新穎情境，強(qiáng)調(diào)知識交匯，突出數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)靈氣的考查.試題設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，尤其是與人們的生活、生產(chǎn)緊密聯(lián)系的實(shí)際應(yīng)用性試題，意在考查考生把實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型化的轉(zhuǎn)化思想，而體現(xiàn)數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)故事的歷史名題的改編題，更是給數(shù)學(xué)試卷注入了一股春風(fēng)，彰顯了數(shù)學(xué)文化的傳承、數(shù)學(xué)閱讀理解能力的考核.下面精選十三例并分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

一、創(chuàng)設(shè)新穎情境，強(qiáng)調(diào)知識交匯，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

高考是選拔性的考試，模擬試卷中出現(xiàn)新穎別致且綜合性較強(qiáng)的試題在情理之中.面對情境新穎、交匯整合的題目，需要鎖定目標(biāo)，尋找理論依據(jù)，合情推理，逐步套牢目標(biāo)，不斷轉(zhuǎn)化，驚險(xiǎn)散盡，自然水到渠成.

圖1

A.3·2n-1-2B.2n-1

C.3n-2D.2·3n-1-1

所以an+1+1=3（an+1），所以｛an+1｝是首項(xiàng)為a1+1=2，公比為3的等比數(shù)列.

所以an+1=2·3n-1，所以an=2·3n-1-1.故選D.

點(diǎn)評：本題綜合考查向量的運(yùn)算、向量共線，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法.此題既有數(shù)列又有向量，而且向量還是以一個(gè)系列點(diǎn)為起點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)確定由向量運(yùn)算剝離出數(shù)列遞推公式的思路，注意活用共線向量定理.對于構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式：形如an+1=pan+q（p≠1，q≠0）的遞推關(guān)系，可構(gòu)造一個(gè)以p為公比的等比數(shù)列｛an+r｝，根據(jù)an+1+ r=p（an+r）符合遞推關(guān)系，可求出

分析：本題要求雙曲線的漸近線方程，關(guān)鍵是求出a、b之間的關(guān)系.

圖2

解：如圖2，連接QF2.由已知得，|PF1|-|PF2|=2a，|QF2|-|QF1|=2a.設(shè)|QF1|=m，則|PQ|=2m.所以|PF1|= 3m，|PF2|=3m-2a，|QF2|=m+2a.因?yàn)镻是以F1F2為直徑的圓與C的交點(diǎn)，所以∠F1PF2=90°，在Rt△QPF2中，有|PQ|2+|PF2|2=|QF2|2，即（2m）2+（3m-2a）2=（m+2a）2，解得所以|PF1|=3m=4a，|PF2|=3m-2a=2a.在Rt△PF1F2中，|PF1|2+ |PF2|2=|F1F2|2，所以（4a）2+（2a）2=（2c）2，即c2=5a2，所以b=

點(diǎn)評：本題先是從雙曲線的定義出發(fā)得到兩個(gè)關(guān)系式，再根據(jù)PQ、QF1的長度關(guān)系引入?yún)?shù)m，并在Rt△QPF2中根據(jù)勾股定理列式，最后才在焦點(diǎn)△PF1F2中求解a、c的關(guān)系.整個(gè)解法過程中，算得有方向，算得有思路.本題既有效地關(guān)注了學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，又十分注重圖形性質(zhì)的運(yùn)用及數(shù)形結(jié)合思想的滲透（直觀想象核心素養(yǎng)）.

例3（2017年黃岡市質(zhì)檢題）定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)y=f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則（）.

分析：由題設(shè)條件2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）可得到兩個(gè)不等式xf′（x）-3f（x）＜0和xf′（x）-2f（x）＞0，然后利用商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造即可.

點(diǎn)評：本題從題設(shè)條件看似乎不好下手，其實(shí)就是商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，極易與積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題混淆，特別是本題需要構(gòu)造兩次商函數(shù)才能達(dá)到目的.

解析：如圖3，設(shè)圓Q的半徑為y，圓P的半徑為x，圓P與OA相切于點(diǎn)E，連接PE，則在Rt△POE中以

圖3

同理，設(shè)圓Q與OA相切于點(diǎn)D，連接QD，在Rt△OQD中，可得

點(diǎn)評：本題源于人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第141頁的例4，該例設(shè)計(jì)的是在扇形中內(nèi)接一個(gè)矩形ABCD，探求矩形ABCD面積的最大值，本題改變扇形內(nèi)接幾何圖形的形式，在扇形中內(nèi)接兩個(gè)相切的圓，探究其中一個(gè)圓的面積的最大值.本題涉及的量較多，有θ、x、y和S，求解過程中要理清關(guān)系，突出主元，建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式是考查解題能力的最好體現(xiàn).在處理多個(gè)參數(shù)問題時(shí)，可以通過問題中的輔助條件，結(jié)合幾何圖形消去部分變量，然后化為一個(gè)一元函數(shù)式，再通過導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.

圖4

例5（2017年武漢市調(diào)考題）如圖4，在四面體ABCD中，B1，C1，D1分別在AB，AC，AD上，且平面B1C1D1∥平面BCD，A1為△BCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，記三棱錐A1-B1C1D1的體積為V.設(shè)，則對于函數(shù)V=F（x），下列選項(xiàng)正確的是（）.

解析：因?yàn)槠矫鍮1C1D1∥平面BCD，所以△B1C1D1與△BCD相似.設(shè)三棱錐A-BCD的高為h，體積為（tt＞0），三棱錐A1-B1C1D1的高為h1.因?yàn)椋?/p>

點(diǎn)評：本題主要考查空間線面位置關(guān)系、空間幾何體的體積、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的空間想象能力及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.結(jié)合圖形，求出V=F（x）的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

二、聯(lián)系生活實(shí)際，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，注重?cái)?shù)學(xué)廣泛應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一種工具，工具就有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，實(shí)際應(yīng)用性問題解答的關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，“數(shù)學(xué)化”的過程就是要把陌生問題化為熟悉問題，未知問題化為已知問題，復(fù)雜問題化為簡單問題.

例6（2017年南昌市模擬題）某物流公司為了配合“北改”項(xiàng)目順利進(jìn)行，決定把三環(huán)內(nèi)的租用倉庫搬遷到北三環(huán)外重新租地建設(shè).已知倉庫每月占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離x成反比，而每月車載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離x成正比.據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在距離車站（）.

A.5千米處B.4千米處

C.3千米處D.2千米處

點(diǎn)評：本題是函數(shù)模型和不等式模型的小型綜合應(yīng)用題，利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”.

圖5

例7（2017年武漢市武昌區(qū)調(diào)考題）如圖5，據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45°方向600km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為（）.

A.14hB.15hC.16hD.17h

點(diǎn)評：本題是在解三角形的基礎(chǔ)上命制的應(yīng)用題，也是教材中解三角形應(yīng)用舉例在考試中的具體體現(xiàn)，注意2017年高考中對教材上的應(yīng)用性問題的考查，雖難度不大，但要注意轉(zhuǎn)化和建模.

例8（2017年太原市模擬題）某班同學(xué)準(zhǔn)備參加學(xué)校寒假里組織的“社區(qū)服務(wù)”“進(jìn)敬老院”“參觀工廠”“民俗調(diào)查”“環(huán)保宣傳”五個(gè)項(xiàng)目的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每天只安排一項(xiàng)活動(dòng)，并要求在周一至周五內(nèi)完成.其中“參觀工廠”與“環(huán)保宣傳”兩項(xiàng)活動(dòng)必須安排在相鄰兩天，“民俗調(diào)查”活動(dòng)不能安排在周一.則不同的安排方法的種數(shù)是（）.

A.48B.24C.36D.64

解析：當(dāng)星期一、星期二安排“參觀工廠”和“環(huán)保宣傳”活動(dòng)時(shí)有種，星期三至星期五可以隨便安排剩下的活動(dòng)有種，共有（種）；當(dāng)星期一不排“參觀工廠”或“環(huán)保宣傳”活動(dòng)時(shí)，從“社區(qū)服務(wù)”或“進(jìn)敬老院”中選一項(xiàng)活動(dòng)來排星期一有種，將“參觀工廠”與“環(huán)保宣傳”兩項(xiàng)活動(dòng)捆綁在一起與剩下的兩項(xiàng)活動(dòng)排在星期二至星期五共有種方法，共有（種），根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知不同的安排方法共有36種.故選C.

點(diǎn)評：本題考查分類、分步計(jì)數(shù)原理.本題以生活中的實(shí)際問題為載體，考查分析問題、解決問題的能力及應(yīng)用意識；通過計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用考查運(yùn)算求解能力.

通過CAE模擬分析，驗(yàn)證不同結(jié)構(gòu)代替現(xiàn)場模具注塑試模。改變了主要依靠經(jīng)驗(yàn)與直覺，通過反復(fù)試模、修模來修正產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案的傳統(tǒng)方式，避免了設(shè)計(jì)的盲目性，同時(shí)為模具設(shè)計(jì)提供價(jià)值參考。利用這種方法節(jié)省了生產(chǎn)成本，提高了生產(chǎn)效率。結(jié)合本次研究，得出如下結(jié)論：

例9（2017年北京市西城區(qū)模擬題）某賽事組委會(huì)要為獲獎(jiǎng)?wù)咧谱髂彻に嚻纷鳛楠?jiǎng)品，其中一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品3件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品6件，制作一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品所用原料完全相同，但工藝不同，故價(jià)格有所差異，現(xiàn)在甲、乙兩家工廠可以制作獎(jiǎng)品（一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品均符合要求），甲廠收費(fèi)便宜，但原料有限，最多只能制作4件獎(jiǎng)品，乙廠原料充足，但收費(fèi)較貴，甲、乙兩廠的具體收費(fèi)情況如下表：

則組委會(huì)制作該工藝品的費(fèi)用總和最低為_________元.

點(diǎn)評：本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模思想，分析、解決實(shí)際問題的能力及運(yùn)算求解能力.

圖6

三、依托數(shù)學(xué)史料，嵌入數(shù)學(xué)名題，彰顯數(shù)學(xué)厚重文化

數(shù)學(xué)是一種文化，是一種精神，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的新穎試題是近年高考命題的新動(dòng)向，值得考生關(guān)注、探究和學(xué)習(xí).教育部考試中心明確要求“在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”，預(yù)計(jì)在2017年的高考中，從《九章算術(shù)》和《數(shù)書九章》等中國古代數(shù)學(xué)名著中挖掘素材，考查數(shù)學(xué)文化的可能性較大.具體的考點(diǎn)有數(shù)列、算法、立體幾何、推理與證明等相關(guān)章節(jié)的數(shù)學(xué)文化題.

例10（2017年河北省三市聯(lián)考題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為（）.

A.7B.8C.9D.10

點(diǎn)評：我國古代數(shù)學(xué)涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列的問題很多，因此，涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)學(xué)文化試題頻頻出現(xiàn)在各級各類考試卷中.解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，切實(shí)掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式是順利求解的保障.

例11（2017年合肥市模擬題）公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形的面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.如圖7是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出n的值為（）.

圖7

A.12B.24C.36D.48

點(diǎn)評：更相減損術(shù)、秦九韶算法和割圓術(shù)分別在人教A版高中數(shù)學(xué)必修3第36頁，第37頁，第45頁“算法案例”中出現(xiàn).其中更相減損術(shù)和秦九韶算法分別在2015年和2016年全國卷Ⅱ中考過，因此2017年全國卷考查割圓術(shù)的可能性較大.

例12（2017年長沙市模擬題）我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體的體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖8所對應(yīng)的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）.

圖8

分析：根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，想象出圖8所對應(yīng)的幾何體是一個(gè)正方體挖去一個(gè)半圓柱，再根據(jù)祖暅原理和有關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

解：由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖對應(yīng)的幾何體的體積相等.根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，可知其對應(yīng)的幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱，正方體的體積為23=8，半圓柱的體積12）×2=π，因此該不規(guī)則幾何體的體積為8-π，故選C.

點(diǎn)評：祖暅原理是我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個(gè)有關(guān)幾何求積的著名定理，祖暅提出這個(gè)原理，要比其他國家的數(shù)學(xué)家早一千多年.人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第30頁“探究與發(fā)現(xiàn)”中專門介紹了祖暅原理.本題取材于祖暅原理，考查幾何體的三視圖和體積計(jì)算，既檢測了考生的基礎(chǔ)知識和基本技能，又展示了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.取材于祖暅原理的數(shù)學(xué)文化題還有很多，例如2013年上海卷第13題，也是利用祖暅原理求有關(guān)幾何體的體積.

例13（2017年廣州市模擬題）如圖9的數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”.

圖9

該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)為（）.

A.2017×22015B.2017×22014

C.2016×22015D.2016×22014

解析：當(dāng)?shù)谝恍杏?個(gè)數(shù)時(shí)，最后一行僅有的一個(gè)數(shù)為8=23-2×（3+1）；

當(dāng)?shù)谝恍杏?個(gè)數(shù)時(shí)，最后一行僅有的一個(gè)數(shù)為20= 24-2×（4+1）；

當(dāng)?shù)谝恍杏?個(gè)數(shù)時(shí)，最后一行僅有的一個(gè)數(shù)為48= 25-2×（5+1）；

當(dāng)?shù)谝恍杏?個(gè)數(shù)時(shí)，最后一行僅有的一個(gè)數(shù)為112=26-2×（6+1）；

……

歸納推理可得，當(dāng)?shù)谝恍杏?016個(gè)數(shù)時(shí)，最后一行僅有的一個(gè)數(shù)為22016-2×（2016+1）=2017×22014.故選B.

點(diǎn)評：楊輝三角是人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3第35頁“探究與發(fā)現(xiàn)”中提到的中國古代數(shù)學(xué)的優(yōu)秀成果.利用楊輝三角的性質(zhì)，可以把這一古代優(yōu)秀成果發(fā)展應(yīng)用于很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，例如，利用楊輝三角可以發(fā)現(xiàn)高階等差數(shù)列的計(jì)算規(guī)律，推導(dǎo)高次方程的計(jì)算方法，解釋無窮級數(shù)的概念等.因此雖然高考曾經(jīng)多次考查過楊輝三角，但2017年全國卷考查楊輝三角的可能性仍然較大.F