親歷活動過程，整體感悟數(shù)學(xué)思想

鄭美玲

本文以人教版六年級下冊“數(shù)學(xué)思考”中的例1“找規(guī)律”（以下簡稱“找規(guī)律”）一課為例，闡述課堂教學(xué)中如何讓學(xué)生親歷觀察、探究、概括、練習(xí)等活動過程，整體感悟數(shù)學(xué)思想。

一、觀察。親歷知識的產(chǎn)生

觀察是學(xué)習(xí)的起點，學(xué)生通過觀察情境尋找數(shù)學(xué)信息并聯(lián)系這些信息提出數(shù)學(xué)問題，通過觀察新舊知識發(fā)現(xiàn)二者的聯(lián)結(jié)點，通過觀察實驗數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)蘊含其中的規(guī)律，這樣通過觀察親歷知識的產(chǎn)生，感悟數(shù)學(xué)思想。教師除了讓學(xué)生觀察本課的內(nèi)容，還要觀察本課內(nèi)容在整個知識體系中的地位與作用，從整體上把握數(shù)學(xué)知識，建構(gòu)知識體系。如“數(shù)學(xué)思考”這一單元是梳理學(xué)生六年來學(xué)的推理思想，例1是“找規(guī)律”，例2是“列表推理”，例3是“等量代換”，例4是“簡單的幾何證明”。其中，例1是屬于合情推理，而例2至例4都是演繹推理。例1突出的數(shù)學(xué)方法是“從簡單入手尋找規(guī)律”。因此，教師要圍繞這一數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想復(fù)習(xí)舊知、創(chuàng)設(shè)情境。

1.觀舊知，喚醒數(shù)學(xué)思想與方法。

教師利用課件呈現(xiàn)二年級上冊的“排列組合1”、二年級下冊的“邏輯推理”、三年級上冊的“集合”、三年級下冊的“排列組合2”、四年級上冊的“優(yōu)化”、四年級下冊的“雞兔同籠”、五年級上冊的“植樹問題”、五年級下冊的“找次品”、六年級上冊的“數(shù)與形”等教材內(nèi)容，讓學(xué)生說一說我們學(xué)過哪些數(shù)學(xué)思想和方法。教師借助教材引導(dǎo)學(xué)生回憶優(yōu)化、轉(zhuǎn)化、推理等數(shù)學(xué)思想，同時也回顧“化繁為簡”“畫圖”“列表”“分類討論”與“從簡單入手尋找規(guī)律”等數(shù)學(xué)方法，有效喚醒學(xué)生腦海中儲存的數(shù)學(xué)思想與方法，為下面的學(xué)習(xí)做鋪墊。

2.觀情境，感受找規(guī)律的必要性。

教材中的“例1，6個點可以連多少條線段？8個點呢？”學(xué)生可以用畫圖數(shù)線段的方法完成，但不能體驗到尋找規(guī)律的迫切性。因此，把這一情境改為“3個點可以連多少條線段？100個點呢？”3個點連成線段可以畫圖數(shù)，而100個點很難畫，這樣學(xué)生就產(chǎn)生了“沒辦法畫圖，怎么辦？”的困惑，進(jìn)而迫使學(xué)生尋找解決問題的其他方法，產(chǎn)生強烈的求知欲。再借助“植樹問題”一課的回顧，再次感悟“從簡單入手尋找規(guī)律”解決問題的方法。最后讓學(xué)生設(shè)計研究方案，有利于學(xué)生從整體感知解決問題的全過程，也經(jīng)歷了知識的產(chǎn)生過程，并滲透統(tǒng)籌思想。

二、探究。親歷知識的形成

探究是學(xué)生通過觀察、閱讀，發(fā)現(xiàn)問題，搜集數(shù)據(jù)，形成解釋，獲得答案并進(jìn)行交流與檢驗。探究是一個活動，也是一個過程，更是一種重要的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生在探究中親歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，才能真正領(lǐng)悟蘊含其中的數(shù)學(xué)思想與方法。探究的要領(lǐng)是“探什么，怎樣探，究原因”。在觀察環(huán)節(jié)，學(xué)生已完成“探什么”，并初步制定研究方案，在探究環(huán)節(jié)則要完成“怎樣探”和“究原因”。

1.怎樣探——畫圖列表法。

教師讓學(xué)生根據(jù)研究方案采用小組合作學(xué)習(xí)的方法完成2個點至6個點各能連成多少條線段的探究，并把得到的數(shù)據(jù)填入表1。

再由教師提問：“觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？與小組的同學(xué)說說你的發(fā)現(xiàn)。”最后教師組織學(xué)生進(jìn)行全班交流，請幾個小組展示表1并派代表匯報。學(xué)生通過畫圖列表的方法得到數(shù)據(jù)，并進(jìn)行整理和觀察，最后發(fā)現(xiàn)規(guī)律“每增加一個點就增加‘點數(shù)-1條線段”。學(xué)生經(jīng)歷了“動手操作一動腦思考一動口交流”的抽象過程，經(jīng)歷了“收集數(shù)據(jù)一整理數(shù)據(jù)一發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的推理過程，完整經(jīng)歷了知識的形成。

2.究原因——推理與建模。

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生聚焦“為什么增加一個點就增加‘點數(shù)-1條線段？”學(xué)生觀察前面所畫的點連成線段圖，說一說理由。教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，再用課件中紅色的粗線條重點演示“每增加一個點就要和前面所有的點相連”，邊演示邊講解和板書（圖1）。

2個點連成線段的條數(shù)1條

3個點連成線段的條數(shù)1+2=3條

4個點連成線段的條數(shù)1+2+3=6條

5個點連成線段的條數(shù)1+2+3+4=10條

6個點連成線段的條數(shù)1+2+3+4+5=15條

圖1

教師在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生推算10個點能連成多少條線段，20個點呢？100個點呢？讓學(xué)生獨立列式，要求先思考怎樣算更簡便后再計算。最后引導(dǎo)學(xué)生思考：n個點能連成多少條線段呢？引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出n個點連成的線段條數(shù)l+2+3+…+n-1。

從尋找2個點至6個點連成線段的數(shù)量之間存在規(guī)律，推廣至10個點、20個點、100個點、n個點，讓學(xué)生經(jīng)歷了“特殊”到“一般”的歸納推理過程，也讓學(xué)生經(jīng)歷了“知其然”到“知其所以然”建構(gòu)知識的過程，從整體上理解和把握歸納推理，也滲透了模型思想。

三、概括。親歷知識的發(fā)展

學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟需要反復(fù)體驗，螺旋上升，需要在活動過程中概括。因此，教師要充分提供數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生積累發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的經(jīng)驗，并從這一完整的解決問題的過程中提煉、概括出數(shù)學(xué)思想和方法。

1.憶過程，概括數(shù)學(xué)方法。

教師問：“剛才我們是怎樣解決問題的？”有的學(xué)生可能會說：“我們先畫2個點連成1條線段，再畫3個點……”等具體的操作過程，教師先引導(dǎo)學(xué)生逐步概括：“先畫2至6個點連成的線段圖，數(shù)線段填入表格，再觀察尋找規(guī)律，最后總結(jié)計算公式?！痹僖龑?dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)化：“畫圖一列表一列式一找規(guī)律一建模型一作解釋”。學(xué)生通過逐步的概括和提煉，抽象出數(shù)學(xué)方法，這樣經(jīng)歷了“具體情境一數(shù)學(xué)模型一數(shù)學(xué)方法”的抽象過程，經(jīng)歷了“知識一技能一方法”的發(fā)展過程。

2.說思路，提煉數(shù)學(xué)思想。

教師：“這節(jié)課，我們遇到了什么問題，用什么方法解決的？”在此基礎(chǔ)上，教師用自己的語言解釋歸納推理。數(shù)學(xué)思想的感悟從一年級開始，教師要設(shè)計活動讓學(xué)生反復(fù)感悟，螺旋上升，逐步抽象，到了六年級提煉數(shù)學(xué)思想時，還需結(jié)合情境解釋數(shù)學(xué)思想。

四、練習(xí)，親歷知識的應(yīng)用

知識和技能的形成要靠一定量的練習(xí)，方法和思想的感悟也要靠一定的變式應(yīng)用。練習(xí)既要減負(fù)又要增效就要注重變式，變式又分為水平變式和垂直變式。

1.水平變式。

學(xué)生能區(qū)分練習(xí)表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，不引起認(rèn)知負(fù)荷的變化，稱為水平變式。教師可設(shè)計與例題知識和方法相似度比較高的練習(xí)，使學(xué)生能通過模仿順利完成練習(xí)，及時鞏固知識與技能。例如，本課可設(shè)計數(shù)角練習(xí)：圖2中有幾個角？你打算怎樣數(shù)？

通過這道題，讓學(xué)生模仿例題的探究方法，從簡單入手尋找規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)增加一條射線就增加n-1個角，計算的方法是1+2+3+…+n-1。

2.垂直變式。

如果學(xué)生不能區(qū)分問題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，引起認(rèn)知負(fù)荷的變化，則稱為垂直變式。學(xué)生形成了解決問題的一般方法后，教師要設(shè)計垂直變式題，讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想解決問題。例如，教材第100頁“做一做”第（1）題，與“一條繩子對折100次后從中間剪開，能得到多少條繩子？”

這兩道題的規(guī)律與例題不一樣，研究的方法卻是一樣的，都是從簡單入手尋找規(guī)律，再應(yīng)用規(guī)律解決問題。學(xué)生通過變化的知識、方法、規(guī)律，形成穩(wěn)定的探究技能，培養(yǎng)探究能力，以及綜合應(yīng)用所學(xué)的知識、技能、方法解決實際問題的能力。