對(duì)稱性在定積分近似計(jì)算中的應(yīng)用

趙麗麗

（赤峰學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

對(duì)稱性在定積分近似計(jì)算中的應(yīng)用

趙麗麗

（赤峰學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

在定積分的近似計(jì)算中，梯形法、拋物線法往往需要計(jì)算的函數(shù)值的個(gè)數(shù)比較多，但對(duì)于一些有對(duì)稱性的函數(shù)，在進(jìn)行定積分近似計(jì)算時(shí)利用對(duì)稱性可以減少函數(shù)值的計(jì)算量.本文將對(duì)四種有對(duì)稱性的函數(shù)進(jìn)行討論，以供參考.

定積分；近似計(jì)算；誤差估計(jì)；對(duì)稱性

1 引言

在定積分的近似計(jì)算中，被積函數(shù)f(x)往往具有某些對(duì)稱性，本文是在利用復(fù)化梯形求積公式、復(fù)化拋物線求積公式求定積分的基礎(chǔ)上，對(duì)三種有對(duì)稱性的函數(shù)（1）對(duì)稱區(qū)間上的偶函數(shù).（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,a]上可積且有f(x)=f(a-x).（3）函數(shù)f(x)連續(xù)且f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱進(jìn)行討論，得出在近似計(jì)算中，利用這些對(duì)稱性可以保證在誤差不超過(guò)ε的前提下，減少函數(shù)值點(diǎn)的計(jì)算個(gè)數(shù).

2 若函數(shù)f(x)為[-a,a]上的偶函數(shù)則有f(x)dx=2f(x)dx(1)

2.1 定理1 設(shè)函數(shù)f(x)為[-a,a]上的偶函數(shù)，用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算并要求誤差不超過(guò)ε，則需要計(jì)算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值.而利用公式計(jì)算可在保持精度不變下減少計(jì)算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值.

對(duì)于上述ε，根據(jù)公式（1）把區(qū)間[0,a]m等分，利用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算根據(jù)結(jié)論1可得其中，因?yàn)镸≥M1，取，因此需要算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，因?yàn)?，所?/p>

2.2 定理2 設(shè)函數(shù)f(x)為[-a,a]上的偶函數(shù)，用復(fù)化拋物線求積公式計(jì)算并要求誤差不超過(guò)ε，則需要算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，而利用公式計(jì)算可在保持精度不變下減少計(jì)算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值.

對(duì)于上述ε，根據(jù)公式（1）把區(qū)間[0,a]m等分并令m=2l，利用復(fù)化拋物線求積公式計(jì)算根據(jù)結(jié)論2可得，其中因?yàn)镸≥M1，取N1=，因此需要算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值.因?yàn)?，所?/p>

3 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,a]上可積且有f(x)=f(a-x)則有

3.1 定理3 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,a]上可積且有f(x)=f(a-x)，用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算并要求誤差不超過(guò)ε，則需要算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值.而利用公式計(jì)算可在保持精度不變下減少計(jì)算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值.

3.2 定理4 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,a]上可積且有f(x)=f(a-x)，用復(fù)化拋物線求積公式計(jì)算并要求誤差不超過(guò)ε，則需要算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，而利用公式計(jì)算可在保持精度不變下減少計(jì)算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值.

3.3 引理1 若f(x)在[a-h,a+h]上連續(xù)，則有

4 若f(x)連續(xù)且y=f(x)的圖形關(guān)于直線x=a對(duì)稱f(a+x)=f(a-x)，

4.1 定理5 若f(x)連續(xù)且y=f(x)的圖形關(guān)于直線x=a對(duì)稱，對(duì)一切h＞0，用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算并要求誤差不超過(guò)ε，則需要算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，而利用公式，可在保持精度不變下減少計(jì)算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值.

4.2 定理6 若f(x)連續(xù)且y=f(x)的圖形關(guān)于直線x=a對(duì)稱，對(duì)一切h＞0，用復(fù)化拋物線求積公式計(jì)算并要求誤差不超過(guò)ε，則需要算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，而利用公式可在保持精度不變下減少計(jì)算個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值.

〔1〕徐萃薇,孫繩武.計(jì)算方法引論(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

〔2〕張德榮,王新民,高安民.計(jì)算方法與算法語(yǔ)言[M].北京:高等教育出版社,1981.

〔3〕Philip J.Davis,Philip Rabinowitz著.馮振興,伍富良譯.張延昌校.數(shù)值積分[M].北京:高等教育出版社,1986.

〔4〕陳傳璋,等.數(shù)學(xué)分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社, 1983.

O172；O24

A

1673-260X（2017）04-0003-03

2017-01-20