低溫沖擊環(huán)境下的加筋板骨材裂紋擴(kuò)展分析

李恒， 楊飏

(大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

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低溫沖擊環(huán)境下的加筋板骨材裂紋擴(kuò)展分析

李恒， 楊飏

(大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

針對(duì)低溫沖擊作用下含裂紋船海結(jié)構(gòu)物易呈脆性斷裂破壞的問(wèn)題，選取加筋板單元進(jìn)行了面外橫向沖擊載荷作用下裂紋發(fā)展路徑和斷裂規(guī)律的研究。構(gòu)造了骨材裂紋I型和I-II復(fù)合型動(dòng)態(tài)斷裂的條件，使用局部應(yīng)力與損傷模型控制裂紋起裂和發(fā)展；采用擴(kuò)展有限單元法進(jìn)行數(shù)值求解。研究表明：本文方法可以很好的預(yù)測(cè)此類問(wèn)題中的裂紋發(fā)展；研究I型開(kāi)裂發(fā)現(xiàn)，斷裂能減小，裂紋擴(kuò)展速度加快；研究I-II復(fù)合型開(kāi)裂發(fā)現(xiàn)，裂紋與骨材垂向中心線距離減小或初始長(zhǎng)度增加，裂紋起裂時(shí)間變?cè)缜艺w發(fā)展路徑偏離裂尖初始方向程度減小。

初始裂紋；加筋板；低溫環(huán)境；橫向沖擊；動(dòng)態(tài)斷裂能；裂紋擴(kuò)展路徑；局部分析方法

高強(qiáng)度鋼材目前已經(jīng)被廣泛使用在船舶與海洋結(jié)構(gòu)物上，艦艇用鋼強(qiáng)度更高。相對(duì)普通強(qiáng)度鋼而言，高強(qiáng)鋼的主要優(yōu)點(diǎn)在于[1]，使用可以大大減少鋼材用量，減輕結(jié)構(gòu)自重；減小焊縫尺寸，改善焊縫質(zhì)量，提高疲勞壽命。缺點(diǎn)是低溫韌性相對(duì)較差。電鏡下對(duì)高強(qiáng)鋼低溫-60～-20℃沖擊斷裂試樣斷口圖樣的觀察發(fā)現(xiàn)斷口呈脆性斷裂伴隨較少量的延性斷裂[2]。由于焊接工藝不過(guò)關(guān)、應(yīng)力集中、材料自身缺陷以及疲勞等因素的客觀存在，結(jié)構(gòu)上會(huì)不可避免的產(chǎn)生裂紋。工作在低溫環(huán)境下的含裂紋結(jié)構(gòu)遭受外部砰擊，撞擊以及來(lái)自水中或空氣中的爆炸沖擊后，極易發(fā)生低應(yīng)力開(kāi)裂，裂紋將迅速擴(kuò)展使結(jié)構(gòu)在很短時(shí)間內(nèi)斷裂失效；而不是像無(wú)缺陷結(jié)構(gòu)一樣發(fā)生彈塑性變形以抵消外部沖擊作用。解決動(dòng)態(tài)斷裂問(wèn)題常用的數(shù)值方法有：1)有限元的網(wǎng)格重構(gòu)方法(remeshingtechnique)，裂紋必須和單元網(wǎng)格邊界相一致，每擴(kuò)展一次，需要重新劃分網(wǎng)格。2)單元間內(nèi)聚力模型(cohesive zone mode)，在有限單元間插入帶失效本構(gòu)的接觸單元(cohesive element)，預(yù)先設(shè)定擴(kuò)展路徑，利用接觸單元的失效模擬動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展。3)擴(kuò)展有限單元法(extended finite element method， XFEM)，擺脫了傳統(tǒng)有限單元法中裂紋對(duì)網(wǎng)格的依賴，不需網(wǎng)格重構(gòu)和預(yù)設(shè)擴(kuò)展路徑即可實(shí)現(xiàn)裂紋的自動(dòng)擴(kuò)展。

已有的研究，大多基于以上三種數(shù)值方法并結(jié)合各自不同的斷裂力學(xué)模型很好的解決了一些問(wèn)題。A.R. Shahani等采用網(wǎng)格重構(gòu)技術(shù)模擬了雙懸臂梁試件的動(dòng)態(tài)斷裂過(guò)程[3]。Su Xiangting等在有限元的網(wǎng)格間嵌入接觸單元，對(duì)混凝土試件的拉伸、扭轉(zhuǎn)和三點(diǎn)彎曲沖擊斷裂試驗(yàn)的真實(shí)情況進(jìn)行了模擬[4]。D. Grégoire等將擴(kuò)展有限元和動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子理論結(jié)合模擬PMMA試件的SHPB沖擊斷裂試驗(yàn)，二者吻合較好[5]。S Lee等采用XFEM模擬了海洋管道表面軸向半橢圓裂紋的低周疲勞擴(kuò)展[6]。R Dimitri等使用XFEM研究了復(fù)合材料板的I型和I-II復(fù)合型開(kāi)裂，結(jié)果和理論解誤差很小[7]。低溫沖擊斷裂試驗(yàn)的實(shí)施較為困難，本文采用數(shù)值模擬方法研究。本文采用擴(kuò)展有限元數(shù)值方法結(jié)合局部應(yīng)力與損傷力學(xué)模型成功的預(yù)測(cè)了裂紋的擴(kuò)展路徑。同時(shí)分析了斷裂能、初始裂紋長(zhǎng)度和裂紋位置對(duì)擴(kuò)展路徑的影響。

1 XFEM數(shù)值理論

擴(kuò)展有限單元法于1999年由Belytschko等[8-9]提出，其基本原理是基于單位分解[10]的思想在常規(guī)有限單元法的位移模式中加進(jìn)能反映裂紋面不連續(xù)和間斷特性的擴(kuò)充函數(shù)來(lái)加強(qiáng)常規(guī)有限元對(duì)位移場(chǎng)的近似。其位移逼近由連續(xù)和不連續(xù)兩部分組成，連續(xù)位移采用標(biāo)準(zhǔn)有限單元法逼近，不連續(xù)位移根據(jù)所分析問(wèn)題的不連續(xù)特性選取相應(yīng)擴(kuò)充函數(shù)來(lái)逼近。擴(kuò)展有限單元法的提出引起了科學(xué)界的極大關(guān)注，得到了迅速發(fā)展和應(yīng)用，主要用于解決夾雜界面、裂紋擴(kuò)展和剪切帶演化等不連續(xù)問(wèn)題。

1.1 擴(kuò)展有限元位移模式

在常規(guī)有限元法中，單元形函數(shù)的集合就是一個(gè)單位分解，即

(1)

基于單位分解的概念，位移場(chǎng)u(x)可表示成控制域內(nèi)的離散形式：

(2)

擴(kuò)展有限元為了反映裂紋附近區(qū)域的不連續(xù)性，在裂紋附近單元的位移場(chǎng)逼近函數(shù)中增添了基于單位分解法的擴(kuò)充項(xiàng)[11]，即

(3)

式中：Ni(x)是節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)有限元形函數(shù)，ψ(x)是擴(kuò)充函數(shù)，ui是標(biāo)準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)自由度，aj為附加節(jié)點(diǎn)自由度。式(3)右端第一項(xiàng)是標(biāo)準(zhǔn)有限元近似，第二項(xiàng)是基于單位分解的擴(kuò)充項(xiàng)近似。aj為新增加的節(jié)點(diǎn)自由度，它并無(wú)明確意義，是用于調(diào)整擴(kuò)充函數(shù)ψ(x)的幅值以對(duì)真實(shí)場(chǎng)達(dá)到最佳近似的待定系數(shù)。與傳統(tǒng)有限元格式相比，最大區(qū)別在于單元節(jié)點(diǎn)處引入了多余自由度。在式(3)中，針對(duì)具體求解問(wèn)題需要選用不同的擴(kuò)充函數(shù)。構(gòu)造擴(kuò)充函數(shù)時(shí)，需要使其具有未知場(chǎng)u的真實(shí)解的某些特性以增加收斂速度，在實(shí)際使用中往往基于真實(shí)解的解空間來(lái)選取ψ(x)。

1.2 不同節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充方式

不同節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充方式不一樣，如圖1所示。

圖1 裂紋區(qū)單元節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充方式Fig.1 Enrichment strategy of nodes in crack region

圖1中iH和iB分別表示被裂紋完全穿過(guò)的單元的節(jié)點(diǎn)集合(不包括iB)和裂尖所處單元的節(jié)點(diǎn)集合。全部節(jié)點(diǎn)的集合用i0表示，則擴(kuò)展有限元的位移逼近模式可表示為

(4)

對(duì)于被裂紋完全穿過(guò)的單元，裂紋面兩側(cè)的位移場(chǎng)發(fā)生跳躍，擴(kuò)充函數(shù)為

ψ(x)=Η(ξ)

(5)

式中：H(ξ)為廣義的Heaviside函數(shù)(階躍函數(shù))，在裂紋一側(cè)等于1，另一側(cè)等于-1，即

(6)

對(duì)于裂尖單元，擴(kuò)充函數(shù)的選取應(yīng)能夠反映裂尖的位移場(chǎng)特性，對(duì)于各向同彈性體，ψ(x)可以是以下函數(shù)基的線性組合，即

ψk(r，θ)=

(7)

式中：r和θ是在裂尖極坐標(biāo)系中定義的位置參數(shù)。式(5)的擴(kuò)充函數(shù)基正是線彈性斷裂力學(xué)中平面復(fù)合型裂紋的裂尖位移場(chǎng)解析解的各項(xiàng)。用它們來(lái)構(gòu)造裂尖形函數(shù)不僅可以表現(xiàn)裂紋面位移的不連續(xù)性質(zhì)，同時(shí)可以精確捕捉裂尖位移場(chǎng)。這種類型的擴(kuò)充函數(shù)稱為裂尖擴(kuò)充函數(shù)。由于裂尖擴(kuò)充函數(shù)在計(jì)算程序中使用較為復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)，本文的研究只采用階躍函數(shù)擴(kuò)充裂紋完全穿過(guò)的單元的節(jié)點(diǎn)，即裂紋擴(kuò)展過(guò)程中將裂尖置于單元邊界，將網(wǎng)格細(xì)化，可以計(jì)算得到較高精度的真實(shí)裂紋擴(kuò)展情況。

1.3 裂紋追蹤

由于擴(kuò)展有限單元法允許不連續(xù)面(如裂紋等)穿過(guò)單元，即網(wǎng)格獨(dú)立于間斷面，因此需要對(duì)不連續(xù)面進(jìn)行幾何描述，常用的方法是水平集方法(level sets method)。另一方面，構(gòu)造階躍函數(shù)時(shí)候也需要借助水平集方法。

水平集方法是一種跟蹤間斷(如裂紋、界面等)運(yùn)動(dòng)的數(shù)值技術(shù)。其基本思想是將間斷面γ看成高一維空間中某一函數(shù)φ(稱為水平集函數(shù))的零水平集(φ=0)。本文追蹤裂紋使用的水平集函數(shù)是符號(hào)距離函數(shù)(signed distance function)，其表達(dá)式為

ξ(x)=min‖x-xr‖sign(n+·(x-xr))

(8)

式中：n+是間斷處的單位法向量。對(duì)于不在間斷處的任何點(diǎn)x，ξ(x)是從點(diǎn)x到間斷處γ的最短距離。并且對(duì)ξ(x)以如下方式定義正負(fù)：如果點(diǎn)x所在的位置與n+指向一致，取正；如果點(diǎn)x在另一側(cè)，取負(fù)。

2 局部應(yīng)力與損傷力學(xué)模型

局部應(yīng)力與損傷模型關(guān)注斷裂過(guò)程區(qū)的力學(xué)行為，由裂尖區(qū)的應(yīng)力和損傷狀態(tài)決定裂紋如何擴(kuò)展，主要包括損傷起始和損傷演化，分別用于預(yù)測(cè)起裂和控制擴(kuò)展，對(duì)脆性斷裂和延性斷裂都適用。

損傷起始即裂紋擴(kuò)展方向垂直于裂尖點(diǎn)的最大主應(yīng)力方向，最大主應(yīng)力值達(dá)到損傷開(kāi)始的臨界值時(shí)裂紋開(kāi)始擴(kuò)展。關(guān)于損傷演化，在裂紋面間引入內(nèi)聚力模型，該模型核心思想為裂紋的張開(kāi)變形導(dǎo)致了內(nèi)聚力τ(δ)，它是張開(kāi)位移δ(x)的函數(shù)。內(nèi)聚力隨著裂紋張開(kāi)位移的增大而減小，當(dāng)裂紋張開(kāi)位移增至δ*時(shí)，內(nèi)聚力τ衰減為零，如圖2所示。

圖2 內(nèi)聚力裂紋模型Fig.2 Cohesive crack model

假定裂紋損傷起始前內(nèi)聚力按線彈性關(guān)系發(fā)展至最大值Tmax，Tmax可由裂紋區(qū)域擴(kuò)充單元的彈性材料屬性計(jì)算得到；損傷起始后即裂尖張開(kāi)后內(nèi)聚力按圖3所示的線性關(guān)系退化。即

tn=(1-D)Τn

(9)

式中：Τn是矢量，包含一個(gè)法向和兩個(gè)切向分量。Τn是損傷起始前計(jì)算出來(lái)的內(nèi)聚力。損傷起始后的退化規(guī)律，也可以采用其他退化方式以更好的控制裂紋的真實(shí)擴(kuò)展。Hillerborg等[12]將斷裂能引入內(nèi)聚力裂紋模型，損傷演化由損傷過(guò)程中耗散的能量Gc(斷裂能)來(lái)控制，其值等于圖3曲線下的面積。斷裂能是材料本身的屬性，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得。

圖3 內(nèi)聚力-裂紋分離法則Fig.3 Cohesive traction-separation law

采用局部應(yīng)力與損傷模型后，裂紋穿過(guò)區(qū)域的單元應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系將按圖4中的曲線發(fā)展。εr點(diǎn)對(duì)應(yīng)損傷起始時(shí)即裂尖開(kāi)始張開(kāi)時(shí)的應(yīng)變，此時(shí)單元損傷指數(shù)D為0；εR點(diǎn)對(duì)應(yīng)完全損傷即內(nèi)聚力降為零時(shí)的應(yīng)變，此時(shí)單元損傷指數(shù)D達(dá)到1。

圖4 裂紋穿越單元的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.4 Stress-strain curve for element split by crack

3 加筋板骨材裂紋擴(kuò)展分析

3.1 分析模型的建立

本文選取縱向加強(qiáng)結(jié)構(gòu)的加筋板單元建立分析模型，如圖5所示。面板尺寸為0.6 m×0.6 m，厚度為12 mm，縱骨截面尺寸為120 mm×8 mm。面板和縱骨相交的兩邊采取簡(jiǎn)支約束，剩余兩邊自由?？紤]實(shí)際結(jié)構(gòu)中縱骨端部下端一般會(huì)有強(qiáng)框架支撐，在縱骨底部?jī)啥?12 mm范圍內(nèi)約束其垂直面板方向的位移，整個(gè)面板均勻施加橫向向內(nèi)壓力沖擊載荷。

圖5 分析模型Fig.5 Analysis model

所用材料為船用高強(qiáng)鋼，屈服強(qiáng)度620 MPa，密度7 850 kg/m3，楊氏模量210 GPa，泊松比0.3。選取材料本構(gòu)為Ramberg-Osgood模型，參數(shù)n為5，α為0.002。其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

(10)

式中：E是楊氏模量，船舶實(shí)際營(yíng)運(yùn)中最大名義彎曲應(yīng)力范圍為69～90 MN/m2[2]，大量斷裂事故在正常營(yíng)運(yùn)中發(fā)生，即斷裂應(yīng)力值遠(yuǎn)低于材料屈服強(qiáng)度值。因此最大主應(yīng)力定為80 MPa。低溫動(dòng)態(tài)斷裂能Gc為

(11)

式中：KId是鋼材在NDT(無(wú)塑性轉(zhuǎn)變溫度)時(shí)的動(dòng)態(tài)斷裂韌度。歐文得出NDT溫度下的KId[2]:

(12)

式中：σyd為沖擊動(dòng)態(tài)屈服應(yīng)力，一般高出屈服強(qiáng)度138 MPa左右[2]，系數(shù)0.079 7≤C≤0.124 3。計(jì)算得到低溫動(dòng)態(tài)斷裂能Gc約為40 kN/m。

圖6 沖擊力時(shí)程曲線Fig.6 The impact force-time history

3.2 縱骨Ⅰ型裂紋擴(kuò)展分析

假定縱骨垂向中心線處下緣存在8 mm長(zhǎng)初始裂紋，分析Pmax=0.5 MPa時(shí)的擴(kuò)展情況。由于對(duì)稱，裂紋呈I型張開(kāi)擴(kuò)展，擴(kuò)展路徑為垂直于面板的直線，如圖7所示。溫度降低，材料的斷裂能也會(huì)減小[2]。改變低溫范圍內(nèi)的斷裂能，分別計(jì)算20、40和60 kN/m斷裂能下的擴(kuò)展發(fā)現(xiàn)不同斷裂能下的裂紋擴(kuò)展路徑均為直線，均在t=0.590 ms時(shí)刻起裂，分別在1.407、1.508和1.560 ms時(shí)刻引起面板的開(kāi)始斷裂。此外，還得到不同斷裂能下初始裂紋尖端的張開(kāi)位移時(shí)程曲線，如圖8所示。

圖7 Ⅰ型裂紋擴(kuò)展Fig.7 Crack propagation of mode I

圖8 裂紋尖端張開(kāi)位移時(shí)程曲線Fig.8 Crack tip open displacement-time history

3.3 縱骨I-II復(fù)合型裂紋擴(kuò)展分析

3.3.1 不同初始裂紋長(zhǎng)度下的擴(kuò)展

為了觀察初始裂紋長(zhǎng)度對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑的影響，分析預(yù)測(cè)了Pmax=1.0 MPa時(shí)，距離縱骨中心0.151 m處，初始裂紋長(zhǎng)度4～40 mm范圍內(nèi)的10道裂紋的擴(kuò)展路徑。圖9是縱骨上各裂紋路徑的示意圖，均呈I-II復(fù)合型擴(kuò)展，自左向右依次代表4～40 mm范圍內(nèi)按4 mm大小單調(diào)遞增的各初始裂紋長(zhǎng)度下的擴(kuò)展路徑，裂紋起裂時(shí)間見(jiàn)表1。

注：圖中坐標(biāo)原點(diǎn)為縱骨垂向中心線和縱骨底邊(縱骨不與面板接觸的一邊)的交點(diǎn)。圖9 不同初始長(zhǎng)度下的裂紋擴(kuò)展路徑Fig.9 Crack propagation path for different initial crack lengths

初始裂紋長(zhǎng)度/mm起裂時(shí)間/ms40.54080.515120.498160.470200.448240.436280.430320.418360.412400.398

3.3.2 不同位置處的裂紋擴(kuò)展

在縱骨垂向中心線外同一側(cè)，約取25 mm間隔，分別計(jì)算Pmax=1.0 MPa時(shí)，11個(gè)不同位置處8 mm 初始長(zhǎng)度裂紋的擴(kuò)展路徑。圖10給出了距離縱骨垂向中心線0.226 m和0.251 m處的兩道典型I-II復(fù)合型裂紋擴(kuò)展路徑的實(shí)體圖。各個(gè)位置處的裂紋擴(kuò)展路徑示意圖匯總為圖11(此圖代表一半縱骨的投影圖(沿縱骨厚度方向投影)，x、y軸分別表示縱骨的底邊和垂向中心線，圖的頂線代表縱骨和面板的交界線，右端邊線為縱骨垂向邊緣)。

圖10 典型I-II復(fù)合型裂紋擴(kuò)展Fig.10 Typical mixed-mode I-II crack propagation

圖11 不同位置的裂紋擴(kuò)展路徑Fig.11 Crack propagation path for multiple locations

其中，距離縱骨垂向中心線較遠(yuǎn)的0.275 m處的裂紋，在整個(gè)載荷作用歷程中，裂尖最大主應(yīng)力未達(dá)到80 MPa，因此未發(fā)生起裂。各個(gè)位置裂紋的起裂時(shí)間見(jiàn)表2。

表2 不同位置處裂紋起裂時(shí)間

綜上所述，低溫環(huán)境下位于加筋板骨材上的初始裂紋在外部橫向沖擊載荷作用下會(huì)迅速地?cái)U(kuò)展至面板，引起面板的斷裂，在實(shí)際船舶與海洋結(jié)構(gòu)物中表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)外板的斷裂。這不僅會(huì)使結(jié)構(gòu)承載力下降，還會(huì)造成外部海水涌入或者內(nèi)部液體泄漏等災(zāi)難性事件。因此應(yīng)經(jīng)常檢測(cè)外板內(nèi)部的加強(qiáng)結(jié)構(gòu)上是否存在裂紋(尤其是低溫服役環(huán)境下的軍艦和破冰船)，并在裂紋擴(kuò)展路徑或最終斷裂位置上采取相應(yīng)的措施修復(fù)和制止裂紋擴(kuò)展，以確保構(gòu)件的完整性和連續(xù)性。

4 結(jié)論

本文方法適于解決低溫沖擊作用下加筋板骨材的動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展問(wèn)題，可以有效的預(yù)測(cè)裂紋發(fā)展路徑和最終引起面板斷裂的位置，為實(shí)施裂紋修補(bǔ)和止裂提供指導(dǎo)。

1) 縱骨I型裂紋擴(kuò)展中，溫度降低，材料斷裂減小，裂尖張開(kāi)位移速度加快，裂紋擴(kuò)展速度加快，即結(jié)構(gòu)抵抗裂紋擴(kuò)展能力減弱。

2) 同一位置不同初始長(zhǎng)度裂紋的I-II復(fù)合型擴(kuò)展中，初始裂紋越長(zhǎng)，裂紋起裂時(shí)間越早，裂紋路徑的整體傾斜度(裂紋擴(kuò)展路徑和裂尖初始方向的夾角)越小，擴(kuò)展到面板時(shí)的位置離縱骨中心越遠(yuǎn)。

3) 縱骨垂向中心線以外，不同位置同一初始長(zhǎng)度裂紋的I-II復(fù)合型擴(kuò)展中，裂紋離縱骨中心越遠(yuǎn)，擴(kuò)展路徑的整體傾斜度越大，起裂時(shí)間越晚，即越不容易起裂。

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Crack growth analysis of stiffeners in a stiffened panel under low-temperature impact

LI Heng， YANG Yang

(Department of Naval Architecture & Ocean Engineering， Dalian University of Technology， Dalian 116024， China)

Ship and marine structures with cracks inside exposed to the cold tend to fail in typical brittle fractures under external shock loading. To solve this problem， we selected a stiffened plate unit to analyze its crack propagation path and fracture laws under lateral impact. We created mode I and mixed-mode I-II dynamic crack propagation conditions， introduced a local stress and damage model to control the initiation and growth of cracks， and adopted the extended finite element method for our numerical calculations. The research results show that the approach we used can effectively predict crack propagation. The mode-I fracture research results show that crack growth speed increases as the fracture energy decreases. The mode I-II fracture research results show that cracks initiate earlier and the whole propagation path deviates more from the initial direction of the crack tip as the crack′s distance to the stiffener′s vertical center line decreases or the crack′s initial length increases.

initial crack; stiffened panels; low-temperature circumstance; lateral impact; dynamic fracture energy; crack propagation path; local analysis approach

2016-06-20.

日期：2017-03-17.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51261120376).

李恒(1991-)，男，碩士研究生； 楊飏(1975-)，女，副教授.

楊飏，E-mail：yyang@dlut.edu.cn.

10.11990/jheu.201606057

U663.2

A

1006-7043(2017)04-0521-06

李恒，楊飏.低溫沖擊環(huán)境下的加筋板骨材裂紋擴(kuò)展分析[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017， 38(4): 521-526.

LI Heng， YANG Yang. Crack growth analysis of stiffeners in a stiffened panel under low-temperature impact[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(4): 521-526.

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