復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下TBM刀盤裂紋應(yīng)力強度因子分析

凌靜秀， 孫偉， 楊曉靜， 練國富， 江吉彬

(1.福建工程學(xué)院 機械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350118； 2.大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

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復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下TBM刀盤裂紋應(yīng)力強度因子分析

凌靜秀1， 孫偉2， 楊曉靜1， 練國富1， 江吉彬1

(1.福建工程學(xué)院 機械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350118； 2.大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

為了預(yù)測全斷面巖石掘進機(tunnel boring machine，TBM)刀盤的疲勞壽命，本文對其裂紋尖端的應(yīng)力強度因子進行了研究。以某水利工程的刀盤為研究對象，采用基于子模型技術(shù)的有限元法分析復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下刀盤裂紋的應(yīng)力強度因子，并給出了不同裂紋參數(shù)對應(yīng)力強度因子的影響規(guī)律，為刀盤裂紋擴展壽命的預(yù)測提供輸入條件。分析表明，當(dāng)裂紋位置角為45°或135°時，裂紋尖端的等效應(yīng)力強度因子最大，對結(jié)構(gòu)損傷最嚴(yán)重；形狀比對KI值影響最顯著，形狀比越大，尖端KI值相差越大，在深度方向的擴展趨勢也越強；KI、KII及KIII值均隨裂紋深度的增加而增大，裂紋尖端最深處以張開型擴展形式為主，而表面點則是3種開裂形式并存。

TBM刀盤；應(yīng)力強度因子；裂紋；復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)；子模型技術(shù)；裂紋形狀比；疲勞壽命

刀盤作為全斷面巖石掘進機(tunnel boring machine，TBM)的核心部件，工作在極其惡劣的復(fù)雜地質(zhì)環(huán)境下，承受隨機沖擊載荷，最常見的工程問題是疲勞裂紋失效[1-3]。對刀盤的裂紋擴展壽命進行合理評估，有利于保障施工安全及掘進效率發(fā)生疲勞，而壽命評估的前提是獲得刀盤裂紋尖端的應(yīng)力強度因子。為此，有必要研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下刀盤裂紋應(yīng)力強度因子的分布規(guī)律以及不同裂紋參數(shù)的影響。近年來，國內(nèi)外學(xué)者在TBM刀盤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計方面，已開展了一定的研究工作，如科羅拉多礦業(yè)大學(xué)的Ozdemir等[4]、賓夕法尼亞州立大學(xué)的Rostami等[5]、新加坡南洋大學(xué)的龔秋明等[6]、中南大學(xué)的夏毅敏團隊[7-8]、大連理工大學(xué)的孫偉、霍軍周[9-12]等。而關(guān)于TBM刀盤裂紋應(yīng)力強度因子的研究還很少涉及，也沒有其參數(shù)影響的相關(guān)文獻報導(dǎo)。應(yīng)力強度因子是用來表征裂紋尖端應(yīng)力場奇異性的強度，是驅(qū)動裂紋擴展的關(guān)鍵參數(shù)。對于刀盤這類復(fù)雜板式箱體類結(jié)構(gòu)而言，傳統(tǒng)的理論計算和試驗方法很難求解其裂紋應(yīng)力強度因子。因此，數(shù)值計算方法成為工程問題求解的有效途徑[13]。Mitsuya等采用動態(tài)有限元方法計算管道在裂紋擴展過程中的動態(tài)應(yīng)力強度因子[14]。X.B.Lin等采用數(shù)值仿真和試驗等手段研究裂紋前沿應(yīng)力強度因子的分布及變化規(guī)律[15-16]。本文以遼西北引水工程刀盤為研究對象，在刀盤面板的薄弱部位預(yù)制初始表面裂紋，用奇異單元對裂紋尖端區(qū)域進行精細網(wǎng)格處理。同時，在已有的刀盤等效疲勞載荷譜基礎(chǔ)上，應(yīng)用有限元法直接求解復(fù)雜應(yīng)力下刀盤裂紋的應(yīng)力強度因子。并分析裂紋位置角、形狀比及相對深度比值等裂紋參數(shù)對應(yīng)力強度因子分布規(guī)律的影響。

1 應(yīng)力強度因子的數(shù)值解

有限元法求解應(yīng)力強度因子可分為直接法和間接法，直接法是利用裂紋尖端附近節(jié)點位移或應(yīng)力值推算尖端的應(yīng)力強度因子，如位移法和應(yīng)力法；而間接法則是先求出能量釋放率(J積分)，再根據(jù)其定義折算應(yīng)力強度因子。根據(jù)單元類型的不同又可分為常規(guī)單元有限元法和特殊單元有限元法，如奇異單元法。以下簡單介紹位移法的理論基礎(chǔ)。

構(gòu)件中任意的三維裂紋及尖端坐標(biāo)系可抽象成如圖1所示。

圖1 裂紋尖端局部坐標(biāo)系Fig.1 Local coordinate of near crack tip

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)的解析解，由任意外載作用所產(chǎn)生的裂紋尖端附近區(qū)域的位移場和應(yīng)力強度因子的關(guān)系可表示為[15]

(1)

式中：r、θ為局部柱坐標(biāo)系中的兩個坐標(biāo)分量；u、v、w分別為裂紋尖端任一點的徑向位移、法向位移和切向位移；KI、KII、KIII分別為I型、II型及III型應(yīng)力強度因子；G為剪切模量；k為與材料泊松比λ有關(guān)的常數(shù)，對于平面應(yīng)變問題：k=3-4λ，而對于平面應(yīng)力問題：k=(3-λ)/(1+λ)。

若上、下裂紋表面(θ=±π)的某一點位移已知，則根據(jù)式(1)可導(dǎo)出裂紋的應(yīng)力強度因子計算公式：

(2)

式(1)、(2)的最大優(yōu)點就是可利用常規(guī)有限元程序計算裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場，進而換算應(yīng)力強度因子。在三維裂紋計算中，沿裂紋前緣絕大部分范圍為平面應(yīng)變狀態(tài)。對于平面應(yīng)變狀態(tài)，I 型裂紋的應(yīng)力強度因子KI可用裂紋面的位移表示：

(3)

通過有限元法求出裂紋尖端節(jié)點不同r值下的KI值，采用最小二乘法經(jīng)過線性回歸繪制KI的最佳直線，由外推法得到裂紋尖端處KI值。KII和KIII計算原理相似，只是代入不同方向的位移量而已。

式(3)是有限元法中的位移法求解應(yīng)力強度因子的基本公式，采用的是常規(guī)單元劃分網(wǎng)格，其位移模式不能反映裂紋尖端的奇異性，難以滿足收斂性條件，即使采用很細的網(wǎng)格也不易獲得足夠精確的數(shù)值解。因此，國內(nèi)外學(xué)者提出很多方法來解決這個難題，其中比較成熟的是奇異單元法。

奇異單元法是在裂紋尖端附近構(gòu)造一種特殊單元，其余部位仍用常規(guī)單元進行網(wǎng)格劃分。奇異單元中的位移插值函數(shù)包含所需要的奇異項，能夠反映裂紋尖端網(wǎng)格的奇異性。該方法優(yōu)點是裂紋尖端處的單元網(wǎng)格劃分不必過細，也可獲得較高精度的計算結(jié)果。有限元軟件ANSYS中提供了一種求解三維裂紋問題的奇異單元，如圖2所示。裂紋尖端大部分區(qū)域處于平面應(yīng)變狀態(tài)，在求得應(yīng)力應(yīng)變解后，取裂紋尖端1/4節(jié)點的裂紋張開位移v(1/4)代替尖端位移，代入式(3)中即可求得應(yīng)力強度因子：

(4)

式中：r(1/4)為1/4節(jié)點到裂紋尖端的距離。

圖2 ANSYS提供的三維奇異單元Fig.2 Three dimensional singular element in ANSYS

由于刀盤處于空間多點分布載荷的耦合作用下，裂紋部位呈現(xiàn)復(fù)雜的多向應(yīng)力狀態(tài)，本文采用同時考慮三種應(yīng)力強度因子的復(fù)合型等效應(yīng)力強度因子作為裂紋擴展的判據(jù)指標(biāo)，其計算公式為[17]

(5)

2 基于子模型技術(shù)的刀盤有限元模型

子模型技術(shù)是分析模型中的部分區(qū)域，進而得到更精確結(jié)果的有限元技術(shù)，在很多工程案例中得到了應(yīng)用。對于刀盤模型而言，要在整體模型上引入裂紋，其基體網(wǎng)格必須非常細密，導(dǎo)致計算量龐大，求解效率低下，且很難保證精度及收斂。因此，本文將子模型技術(shù)引入到求解復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下刀盤裂紋的應(yīng)力強度因子中，在分體薄弱部位預(yù)制初始裂紋，并切割出包含裂紋的子模型，進行精細網(wǎng)格劃分。對于裂紋問題，子模型區(qū)域?qū)挾菳至少為裂紋長度的2.5～3倍[18]，通過改變子模型區(qū)域大小，分析其對應(yīng)力強度因子的影響，最終確定子模型區(qū)域?qū)挾菳為裂紋長度的5倍。

首先，建立不包含裂紋的刀盤分體模型，并用粗網(wǎng)格劃分，通過靜力分析判斷出分體的薄弱部位，在此區(qū)域切割出包含裂紋體的子模型，并進行局部網(wǎng)格細化，如圖3所示。加載并求解整體模型，將得到的切割邊界位移作為子模型的約束條件，進而計算裂紋尖端的應(yīng)力強度因子。鑒于裂紋沿面板深度方向擴展所需能量最小，本文假定裂紋沿面板深度(Z向)和表面(X向)兩個方向同時擴展，裂紋形貌呈現(xiàn)半橢圓形狀，長半軸為c，短半軸為a，且長半軸方向與結(jié)合面法向垂直。裂紋尖端重點考慮裂紋最深處的應(yīng)力強度因子Ka和裂紋表面自由端的應(yīng)力強度因子Kc，二者共同驅(qū)動裂紋的擴展。

圖3 含裂紋子模型的刀盤分體結(jié)構(gòu)[19]Fig.3 The cutter head piece structure containing crack submodel[19]

基于上述有限元子模型技術(shù)，合理等效刀盤分體結(jié)構(gòu)，刪除滾刀、焊縫等結(jié)構(gòu)，分割出裂紋子模型。利用ANSYS軟件對其進行網(wǎng)格劃分，采用四面體單元劃分裂紋子模型，奇異單元表征裂紋尖端的奇異性，其余結(jié)構(gòu)采用六面體單元劃分。同時經(jīng)過嚴(yán)格控制整體網(wǎng)格大小和裂紋的網(wǎng)格參數(shù)，精細劃分刀盤分體結(jié)構(gòu)，提高求解效率和精度。建立含半橢圓型三維表面裂紋的刀盤分體有限元模型，如圖4所示。同時采用統(tǒng)計計數(shù)方法對滾刀及結(jié)合面載荷進行等效處理，將隨機沖擊載荷等效處理成8級恒幅載荷譜，其中結(jié)合面恒幅載荷如表1所示[19]。

加載第3級載荷幅值，求解刀盤分體有限元模型，提取等效應(yīng)力分布結(jié)果如圖5所示。從應(yīng)力分布云圖中很明顯可以看出，最大應(yīng)力出現(xiàn)在裂紋尖端處，其應(yīng)力場梯度變化很大，出現(xiàn)奇異性，且明顯產(chǎn)生了一定范圍的塑性區(qū)域。

圖4 含裂紋特征的刀盤分體有限元模型Fig.4 The FEM model of cutter head piece with a surface crack

表1 結(jié)合面8級載荷譜[19]

3 復(fù)雜應(yīng)力下刀盤裂紋應(yīng)力強度因子 參數(shù)影響分析

刀盤的裂紋位置、形狀及尺寸等是依據(jù)工程經(jīng)驗或統(tǒng)計方法設(shè)定。為進一步揭示刀盤的損傷機理，有必要分析這些與裂紋有關(guān)的參數(shù)對刀盤面板裂紋尖端應(yīng)力強度因子的影響。以下主要分析裂紋位置角、形狀比及相對深度這三個參數(shù)的影響。

3.1 裂紋位置角的影響

圖4有限元模型中的初始裂紋位于刀盤分體的薄弱部位，是根據(jù)應(yīng)力分布大小判定。初步判斷其位于刀盤分體結(jié)合面和正滾刀刀座之間的面板上，且假定為半橢圓形表面裂紋。但裂紋放置的位置角還沒有確定，文中規(guī)定裂紋位置角β表示裂紋尖端長半軸方向與子模型對稱面的夾角，如圖6所示。

圖5 刀盤分體的等效應(yīng)力分布[19]Fig.5 Equivalent stress distribution of cutter head piece [19]

圖6 裂紋位置角示意圖Fig.6 Schematic diagram of the crack position angle

針對刀盤分體面板上裂紋位置角的不確定性，本節(jié)以含有相同裂紋尺寸的刀盤分體模型為研究對象(a=10，c=20)，在相同的疲勞載荷邊界情況下，分析不同裂紋位置角下的裂紋尖端應(yīng)力強度因子。這里給出β為0°、45°、60°、90°、120°及135°這幾個角度的3種應(yīng)力強度因子分布規(guī)律，如圖7所示。

由圖7可知：1) 總體而言，隨著裂紋位置角β的增加，KI絕對值呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，KII和KIII的絕對值基本關(guān)于β=90°對稱的，且位置角不同時，裂紋尖端各點的擴展形式也不同。2) 當(dāng)β=0°時，KI最大，且均為正值，最大值出現(xiàn)在裂紋尖端最深處(θ=90°)，KII和KIII值相對較小，裂紋主導(dǎo)的擴展形式為張開型。3) 當(dāng)β>0°時，裂紋尖端的KI值均小于0，說明裂紋面受壓而不擴展，在β為0°～90°增大過程中，II型和 III型應(yīng)力強度因子呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，而當(dāng)β=45°時，KII和KIII值均達到最大，此時裂紋尖端最深處以撕開型擴展形式為主，而尖端表面點處則以滑開型為主。4) 當(dāng)β=90°時，KI為負值，絕對值達到最大，KII值接近0，起主導(dǎo)作用的擴展形式為撕開型；而當(dāng)β>90°時，KI值均小于0，隨著位置角的繼續(xù)增加，KII和KIII值同上個階段一樣，先增大后減小，當(dāng)β=135°二者達到最大，裂紋擴展形式與β=45°時一致。

圖7 不同裂紋位置角的應(yīng)力強度因子分布Fig.7 Stress intensity factors distribution with different crack position angles

由于裂紋擴展與裂紋尖端最深處和兩個表面自由端處的應(yīng)力強度因子關(guān)系最大，而在這兩處的擴展形式為復(fù)合型，因此，按式(5)計算這兩處的等效應(yīng)力強度因子Keq，其中表面自由端兩點取較大值，得到Keq隨裂紋位置角的變化規(guī)律，如圖8所示。

圖8 裂紋位置角對等效應(yīng)力強度因子的影響Fig.8 The influence of crack position angle to equivalent stress intensity factors

由圖8可知，在相同載荷和裂紋尺寸的情況下，不同裂紋位置角下的裂紋尖端等效應(yīng)力強度因子變化很大，基本是關(guān)于β=90°對稱的，最深點處值略大于表面點處的值。當(dāng)β為45°或135°時裂紋最深處和表面點的Keq均達到最大，說明此時裂紋擴展趨勢最強，裂紋最容易擴展，對刀盤損傷影響最大。

3.2 裂紋形狀比的影響

裂紋形狀比a/c是指半橢圓表面裂紋的短半軸和長半軸的比值，直接影響應(yīng)力強度因子的大小和分布，該值在裂紋萌生時很難預(yù)測。因此以下分析不同裂紋形狀比下的應(yīng)力強度因子分布規(guī)律，這里分別取a/c為0.1、0.2、0.4、0.8和1五個數(shù)值。保持裂紋短半軸為10 mm及載荷邊界條件不變，改變裂紋長半軸大小，計算得到不同形狀比下的裂紋尖端應(yīng)力強度因子KI、KII及KIII的分布如圖9所示。

圖9 不同裂紋形狀比的應(yīng)力強度因子分布Fig.9 Stress intensity factors distribution with different crack aspect ratios

在相同的載荷約束及裂紋深度，不同的裂紋形狀比情況下，對比分析以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：1)KI值基本上是關(guān)于裂紋最深點(θ=90°)對稱的，形狀比越大，裂紋尖端大部分區(qū)域KI值越小，且隨著形狀比的增加，裂紋尖端最深點處KI值變小，表面點處的值變大；當(dāng)a/c<0.8時，KI值呈現(xiàn)中間大兩端小的趨勢，而當(dāng)a/c=1時，中間點的KI值小于表面點的值，說明形狀比越小，即越平直的裂紋，其尖端KI值相差就越大，在深度方向擴展也越快，結(jié)構(gòu)失效概率也會越高。2)KII值的變化規(guī)律相對比較復(fù)雜，總體上小于KI值，呈現(xiàn)中間小兩端大的趨勢，隨著形狀比的增加，中間點的KII值總是接近0，說明裂紋形狀基本不影響中心點的II型應(yīng)力強度因子，而左端(θ<90°)KII值先減小，后增大，只是裂紋滑開方向發(fā)生了改變，右端值(除表面點外)總體上一直在增大。3)KIII值除表面點外同樣小于KI值，隨著形狀比的增加，中間區(qū)域幾乎接近于0保持不變，兩端逐漸減小，只是裂紋撕開方向相反；當(dāng)a/c>0.8時，裂紋尖端(除表面點外)各點KIII值在一個很小的范圍內(nèi)變化，基本上保持不變，說明對于接近圓形的裂紋，裂紋形狀對III型應(yīng)力強度因子基本沒有影響，對平直裂紋兩端值影響較大。

3.3 裂紋相對深度的影響

裂紋相對深度a/t是指裂紋短半軸(深度)與刀盤面板厚度t的比值，該值大小同樣對應(yīng)力強度因子影響較大。這里分別取a/t為0.1、0.2、0.3、0.5和0.7這5個數(shù)值，保持裂紋形狀比為0.2及載荷邊界條件不變，計算得到不同相對深度下的裂紋尖端應(yīng)力強度因子KI、KII及KIII如圖10所示。

圖10 不同裂紋相對深度的應(yīng)力強度因子分布Fig.10 Stress intensity factors distribution with different crack depth ratios

由圖10可知：1) 裂紋尖端的KI、KII及KIII值均隨著裂紋深度的增加而增大，且每條曲線的變化規(guī)律有很大差異，相同深度下裂紋尖端最深處KI占主導(dǎo)，表面點則是3種開裂形式都存在。2)KI值呈現(xiàn)中間大兩端小的趨勢，且基本關(guān)于θ=90°對稱的，說明裂紋尖端最深處以張開型擴展形式為主。3)KII和KIII值則是中間小，兩端大，其中裂紋中間點的KIII值基本為0保持不變，該處的KII值則是隨裂紋深度的增加緩慢增大；除a/t=0.7外，裂紋表面點的KIII值也是隨深度的增加而緩慢增大，而此處的KII值則快速增大。

4 結(jié)論

1) 刀盤裂紋位置角β對3種應(yīng)力強度因子的大小和方向均有很大影響，KI絕對值隨位置角呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，KII和KIII的絕對值基本關(guān)于β=90°對稱，不同位置角下裂紋尖端的擴展形式也不同；當(dāng)β為45°或135°時，裂紋最深處和表面點的等效應(yīng)力強度因子均達到最大，對刀盤損傷影響也最嚴(yán)重，在工程中對這種帶傾斜角度的裂紋要格外注意，防止因疲勞裂紋擴展導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的異常失效。

2) 裂紋形狀比對KI值影響最大，當(dāng)形狀比小于0.8時，KI值呈現(xiàn)中間大兩端小的趨勢，形狀比等于1時，中間點的KI值小于表面點的，越平直的裂紋，兩處的KI值相差就越大，裂紋沿深度方向的擴展趨勢也越強，結(jié)構(gòu)也越容易失效，而形狀比對裂紋尖端中間區(qū)域的KII和KIII值則幾乎沒有影響。

3)KI、KII及KIII值均隨著裂紋深度的增加而增大，相同深度下裂紋尖端最深處I型應(yīng)力強度因子占主導(dǎo)，以張開型擴展形式為主，表面點則是3種開裂形式都存在。

今后將開展刀盤的裂紋擴展壽命分析，并展開刀盤特征結(jié)構(gòu)件的疲勞損傷試驗，揭示TBM刀盤的損傷機理，間接驗證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

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Analysis of stress intensity factors for a TBM cutter head crack in complex stress states

LING Jingxiu1， SUN Wei2， YANG Xiaojing1， LIAN Guofu1， JIANG Jibin1

(1. School of Mechanical and Automotive Engineering， Fujian University of Technology， Fuzhou 350118， China; 2. School of Mechanical Engineering， Dalian University of Technology， Dalian116024， China)

We studied the stress intensity factors of the crack tip of a tunnel boring machine (TBM) cutter head to predict the fatigue life of the TBM. A TBM cutter head in a water tunnel project was studied， and the finite element method based on submodeling technology was used to analyze the stress intensity factors of the cutter head crack under complex stress conditions. The influences of various crack parameters on stress intensity factors were illustrated to provide input conditions for cutter head life prediction. The analysis showed that equivalent stress intensity factors at the crack tip were the largest when the crack position angle was 45° or 135° and it caused the most serious damage to the structure. In addition， the crack shape ratio had the greatest influence onKIand a larger shape ratio meant a largerKIdifference at the crack tip. This led to an obvious expansion trend in the depth direction. Furthermore，KI，KII，andKIIIincreased with increasing crack depth. The crack tip was dominated by an opening mode crack， whereas the surface points comprised three types of cracks.

TBM cutter head; stress intensity factor; crack; complex stress state; submodel technique; crack shape ratio; fatigue life

2016-03-30.

日期：2017-03-17.

國家重點研究發(fā)展計劃(2013CB035402);福建省自然科學(xué)基金項目(2015J01181);2014年福建省產(chǎn)業(yè)技術(shù)聯(lián)合創(chuàng)新專項資助項目(閩發(fā)改高[514]號).

凌靜秀(1985-)，男，博士，講師.

凌靜秀， E-mail: ljxyxj@fjut.edu.cn.

10.11990/jheu.201603104

TH113.1

A

1006-7043(2017)04-0633-07

凌靜秀，孫偉，楊曉靜，等. 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下TBM刀盤裂紋應(yīng)力強度因子分析[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報， 2017， 38(4): 633-639.

LING Jingxiu， SUN Wei， YANG Xiaojing， et al. Analysis of stress intensity factors for a TBM cutter head crack in complex stress states[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(4): 633-639.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170317.0858.004.html