為學(xué)生搭一座“思考的階梯”

邊巨星

在五下練習(xí)課上，曾經(jīng)教學(xué)過這樣一題：

這個(gè)頒獎(jiǎng)臺(tái)是由3個(gè)長(zhǎng)方體合并而成的，它的前后兩面涂上黃色油漆，其他露出來的面涂上紅色油漆。涂黃色、紅色油漆的面積是多少？

題中涂色油漆的面積計(jì)算，過程繁復(fù)、算式冗長(zhǎng)。學(xué)生得出的方法僅僅局限——分別求出每個(gè)紅色面積再相加。由于計(jì)算的面需要不重復(fù)、不遺漏計(jì)數(shù)與數(shù)據(jù)的正確尋找，更是錯(cuò)誤連連。因課堂上時(shí)間有限，其他方法皆由教師介紹引導(dǎo)得出，總感覺到意猶未盡，沒有拓展挖掘習(xí)題應(yīng)有的價(jià)值。

而后在其他班級(jí)教學(xué)中，筆者有意把這題留在課外，讓孩子們回家思考。又考慮到學(xué)生初學(xué)長(zhǎng)方體、正方體，空間表象有欠缺，所以先行讓學(xué)生制作領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的模型。意在讓其觀察這個(gè)模型的過程中，幫助他們深刻理解組合長(zhǎng)方體的面的空間位置關(guān)系，結(jié)果，如期取得了滿意的教學(xué)效果。

現(xiàn)把教學(xué)過程記錄如下，以求探討。

（教師先進(jìn)行了課堂觀察，發(fā)現(xiàn)方法各異，于是有了以下的課堂交流）

師：說說你們是怎么想的？

生1：可以各自求出每個(gè)長(zhǎng)方體中涂黃色與紅色的面積，然后相加。

師：行！這樣算，算式比較長(zhǎng)吧？

生1：是的，就是有點(diǎn)麻煩。我計(jì)算了好幾遍，才確定了最后的結(jié)果。

（課堂觀察：很多孩子都認(rèn)同他的觀點(diǎn)，有幾個(gè)孩子小聲嘀咕“計(jì)算很麻煩”。更有一些孩子躍躍欲試，急于表達(dá)自己的思考）

生2：我的想法有些不同，求黃色的面的面積，可以把這三個(gè)領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)一個(gè)一個(gè)疊起來，堆成一個(gè)高高的長(zhǎng)方體。

師：高高的長(zhǎng)方體？你能演示說明一下嗎？它的長(zhǎng)、寬、高分別是多少？

生2：（把手中的模型1、2、3號(hào)相疊加演示）：我把它疊起來，變成了一個(gè)長(zhǎng)是40厘米，寬是40厘米，高應(yīng)該是65+（65-10）+40=160厘米的長(zhǎng)方體。黃色部分只要求前后兩個(gè)面就可以了。

（課堂觀察：其他同學(xué)若有所悟，有些同學(xué)不由自主地拿起手中的模型模仿操作，而后小聲與同桌交流）

師：前面與后面面積相同，所以要乘以2。這種合并、轉(zhuǎn)化的想法很有道理。（板書：合并、轉(zhuǎn)化）涂紅色的油漆面積，能不能也合并、轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題？

生3：老師，我知道。本來要分開算，很麻煩。我從左邊看，紅色的面積是由2塊長(zhǎng)方形面積組成的，它們的長(zhǎng)不同，寬相同。拼合后就是一個(gè)長(zhǎng)65厘米，寬40厘米長(zhǎng)方形面積。（課堂觀察：他一邊說，一邊把模型轉(zhuǎn)動(dòng)著讓其他學(xué)生看，有些孩子也隨著變動(dòng)自己的模型，有所發(fā)現(xiàn)。）右邊的面積跟左邊的面積一樣，也可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。從上面看，可以把3塊面拼起來，就是長(zhǎng)120厘米，寬40厘米長(zhǎng)方形面積。

師：老師聽明白了，你從左邊、右邊、上面觀察，把原來零碎的圖形變成了三部分，左邊一部分并成長(zhǎng)方形，右邊也是一個(gè)相同的長(zhǎng)方形，上面看，是3個(gè)正方形拼成的長(zhǎng)方形?？吹贸觯?jīng)過這么一想，計(jì)算變簡(jiǎn)單了。

生4：老師，這個(gè)模型把它拆開后，平鋪一下，紅色的部分就可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形了。算出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積，也就算出了涂紅色油漆的面積（模型中2、1、3的編號(hào)為上課時(shí)教師用紅筆添加）。

（學(xué)生邊說邊演示）你看，我把紅色部分變成長(zhǎng)方形了。寬是40厘米，但長(zhǎng)就要把這些一段段的長(zhǎng)度加起來。

師：（筆者不由自主地鼓起掌）孩子們你們明白他的意思嗎？

生4：（急不可耐地繼續(xù)補(bǔ)充）這個(gè)東西，其實(shí)就像我家一級(jí)一級(jí)的樓梯，鋪上地毯，地毯展開是長(zhǎng)方形，要計(jì)算樓梯表面的面積，不用一塊一塊加，實(shí)際只要計(jì)算樓梯邊的周長(zhǎng)和寬度就行了。

眾生：明白了，展開后，就是一個(gè)長(zhǎng)方形，也就是涂紅色油漆的面積。

（課堂觀察：很快，學(xué)生列出了計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方形面積的正確算式。）

“這就像一個(gè)樓梯?！睂W(xué)生用他自己的話語解釋了他對(duì)問題的思考。而筆者的思考是：我們?cè)摓閷W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)搭建一座怎樣的階梯？

1. 未雨綢繆——“局促”和“靈動(dòng)”的對(duì)比

教學(xué)是慢的藝術(shù)，兩次教學(xué)，效果截然不同，關(guān)鍵之一在于筆者放慢了腳步，為學(xué)生搭建了一個(gè)充分思考的“時(shí)間階梯”與充分交流的“空間階梯”。在上述教學(xué)中學(xué)生從“計(jì)算的一般的方法”到“運(yùn)用不同角度觀察合并”再到“立體圖向平面圖的轉(zhuǎn)化”，他們的認(rèn)知慢慢趨于認(rèn)同與完善。

實(shí)際上“教與學(xué)”不僅僅局限于上課期間，知識(shí)的消化與吸收，問題的思考與解決需要學(xué)生在時(shí)間與空間的延長(zhǎng)中慢慢領(lǐng)會(huì)與感悟。

2. 善假于物——“直觀”與“想象”的融合

高年級(jí)中有關(guān)立體圖形的學(xué)習(xí)，不僅需要認(rèn)識(shí)、掌握其特征，能正確進(jìn)行有關(guān)表面積、體積計(jì)算，更重要的是，學(xué)生需要逐步形成并且穩(wěn)固地建立起這些立體圖形的空間表象。但受學(xué)生思維特點(diǎn)和水平的限制，解決相關(guān)問題時(shí)暴露出來的空間觀念能力薄弱，往往使得這部分內(nèi)容成為學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

基于以上思考，筆者通過“物”“圖”結(jié)合式的幾何直觀手段“讓學(xué)生制作領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)模型，讓他們?cè)谟^察這個(gè)模型的過程中，幫助他們深刻理解組合長(zhǎng)方體的面的空間位置關(guān)系。”而生4闡述的“其實(shí)就像我家鋪的地毯，一級(jí)一級(jí)的樓梯，地毯展開是長(zhǎng)方形，要計(jì)算地毯的面積，不用一塊一塊加，實(shí)際只要計(jì)算樓梯邊的周長(zhǎng)和寬度就行了?！眲t是“直觀”與“想象”的思考融合的真實(shí)呈現(xiàn)。

當(dāng)然，隨著學(xué)生空間表象的逐步豐富，抽象思維的不斷發(fā)展，如果只是一味停留在依靠“物”的操作與支撐階段，既不現(xiàn)實(shí)，也于學(xué)生的思維提升不利。因此，需要幫助學(xué)生逐步過渡到“想物思圖，見圖思物”，這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，又能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的能力。

3. 追根溯源——“偶然”到“必然”的提升

在此教學(xué)過程中，似乎存在著思考方法發(fā)現(xiàn)的“偶然性”，那么如何能使這種“偶然”變?yōu)樗伎嫉摹靶鲁B(tài)”呢？追根溯源，筆者以為在長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算教學(xué)初期，除了掌握基本公式以外，理應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過“解剖”立體圖為平面展開圖，觀察發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的表面積也可以用“側(cè)面積+底面積”的方法來計(jì)算。讓他們認(rèn)識(shí)到側(cè)面積實(shí)際就是一個(gè)由4個(gè)長(zhǎng)方形組成的“大長(zhǎng)方形”，（如圖）所以側(cè)面積可以用“底面周長(zhǎng)×高”來計(jì)算。這種三維與二維的“切換”，有利于學(xué)生溝通平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，體驗(yàn)到幾何直觀這一問題解決思維方式的優(yōu)勢(shì)與價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。（同時(shí)也為后續(xù)的圓柱表面積計(jì)算做好了方法溝通的準(zhǔn)備）。

經(jīng)歷過這種從立體到平面的轉(zhuǎn)化，那么將領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)這個(gè)立體圖形的表面積計(jì)算，轉(zhuǎn)換為長(zhǎng)方形面積的計(jì)算，也就順理成章，會(huì)成為思考的“必然結(jié)果”。

由此可見，教學(xué)中應(yīng)充分考慮學(xué)生有可能出現(xiàn)的學(xué)習(xí)困難，盡可能為學(xué)生“鋪路搭橋”，前瞻性地為學(xué)生搭建“思考的階梯”，如此方能“水到渠成”，學(xué)有成效。

（作者單位：浙江諸暨市海亮教育園小學(xué)部）

責(zé)任編輯 鄒韻文