從“圓環(huán)的面積猜想”看數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用

摘要：小學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中面對(duì)一個(gè)問題可能嘗試運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法，這些數(shù)學(xué)思想方法之間不是完全獨(dú)立的，相互之間有聯(lián)系、有滲透，數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用有助于學(xué)生多層次、多維度的深刻理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵本質(zhì)。以“圓環(huán)的面積猜想”為例，談一談數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；方法；綜合應(yīng)用

G·波利亞指出，完善的數(shù)學(xué)思想方法猶如北極星，使人們找到正確的道路。如果說，數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、法則，公式、數(shù)量關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)是解決問題的“兵力”，那么，蘊(yùn)含于這些基礎(chǔ)知識(shí)發(fā)生與發(fā)展過程中的更深層次的知識(shí)——數(shù)學(xué)思想方法則是解決問題的“兵法”。數(shù)學(xué)解決問題能力的培養(yǎng)，既要重視“兵力”的調(diào)集，又要重視“兵法”的演練，才能達(dá)到聞一知十、觸類旁通的效果。

小學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中面對(duì)一個(gè)問題可能嘗試運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法，這些數(shù)學(xué)思想方法之間不是完全獨(dú)立的，相互之間有聯(lián)系、有滲透，數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用有助于學(xué)生多層次、多維度的深刻理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵本質(zhì)。下面就以“圓環(huán)的面積猜想”為例，談一談數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。

一、求同存異，節(jié)外生枝

（一）常規(guī)方法

六年級(jí)畢業(yè)總復(fù)習(xí)階段梳理平面圖形的面積會(huì)涉及到圓環(huán)的面積問題（如下圖）

大部分學(xué)生在解答這個(gè)題目時(shí)的方法是：

3.14x（62-42）

=3.14x（36-16）

=3.14x20

=62.8

教師在這里一般要點(diǎn)撥學(xué)生轉(zhuǎn)換：通常應(yīng)用乘法分配律把3.14提到小括號(hào)的外面來計(jì)算比較簡(jiǎn)單。

（二）節(jié)外生枝

在集體訂正之后，P同學(xué)舉手：“老師我還有不同的方法?！?/p>

（2×3.14x6+2x3.14x4）×（6-4）÷2

=（37.68+25.12）×2÷2

=62.8

二、借力打力，引發(fā)思考

在P同學(xué)說完算式后我一時(shí)沒弄清楚她是怎樣想的，于是追問：“能和大家說說你是怎樣想的嗎？”

P同學(xué)說：“我想象把圓環(huán)剪開再拉直，變成了一個(gè)梯形，按照梯形面積的求法求圓環(huán)面積。內(nèi)圓周長(zhǎng)相當(dāng)于梯形的上底，外圓周長(zhǎng)相當(dāng)于梯形的下底，圓環(huán)的寬相當(dāng)于梯形的高?！?/p>

或許P同學(xué)有著很好的幾何直覺，但這種想法是否正確當(dāng)時(shí)我難以定奪，決定深挖出她的思維脈絡(luò)。

繼續(xù)追問：“能說說，你是怎樣想到這種方法的嗎？”

P同學(xué)說：“我們研究過刷房間的問題，需要粉刷前、后、左、右、上5個(gè)面的面積?？梢韵胂蟀亚?、后、左、右4個(gè)面展開、拉直成一個(gè)大長(zhǎng)方形，原來長(zhǎng)方形的底面周長(zhǎng)相當(dāng)于大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、原來長(zhǎng)方體的高相當(dāng)于大長(zhǎng)方形的寬，即底面周長(zhǎng)×高=側(cè)面積。我從那個(gè)問題聯(lián)想到將圓環(huán)也剪開、拉直變成一個(gè)梯形，按照梯形的面積方法求面積?！?/p>

回顧：五年級(jí)學(xué)習(xí)刷房間問題時(shí)的確討論過這種方法，請(qǐng)學(xué)生們想象長(zhǎng)方體側(cè)面展開、拉直的過程，并親自動(dòng)手折紙，觀察、操作、驗(yàn)證，學(xué)生有這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

顯然P同學(xué)進(jìn)行了類比推理，類比推理常常用于發(fā)現(xiàn)真理，但這種推理得到的結(jié)果是或然性的。

把圓環(huán)拉直？是否真的可以變成梯形？（畢竟曲與直之間有很大的差異）背后數(shù)學(xué)的思想方法又是什么？

出乎意料的想法讓我的大腦一片空白，把皮球踢給了學(xué)生：“同學(xué)們，這種想法到底是一個(gè)偶然的巧合還是有必然的規(guī)律呢？現(xiàn)在這種想法或許只能叫做猜想，你們能找到方法進(jìn)行驗(yàn)證嗎？”

三、先猜后證，解釋說明

（一）算數(shù)思維，舉例驗(yàn)證

學(xué)生們很快想到了舉例子驗(yàn)證的方法，同桌之間分別用圓環(huán)面積的一般方法和P同學(xué)類比梯形面積的方法求面積，再進(jìn)行比較：

①R=8 r=-5

3.14x（82-52）

=3.14x（64-25）

=3.14x39

=122.46

（2x3.14x8+2x3.14x5）×（8-5）÷2

=（50.24+31.4）×3÷2

=81.64x3÷2

=244.92÷2

=122.46

②R=10 r=6

3.14x（102-C）

=3.14x（100-36）

=3.14x64

=200.96

（2×3.14x10+2x3.14x6）×（10—6）÷2

=（62.8+37.68）×4÷2

=100.48x4÷2

=100.48x2

=200.96

③R=20 r=15

3.14x（202-152）

=3.14x（400-225）

=3.14x175

=549.5

（2x3.14x20+2x3.14x15）×（20—15）÷2

：（125.6+94.2）×5÷2

=219.8x5÷2

=1099÷2

=549.5

舉出了許多例子之后，學(xué)生們大多認(rèn)可這是一個(gè)規(guī)律。但是作為數(shù)學(xué)教師，我知道舉例子在數(shù)學(xué)上屬于不完全歸納法，得出的結(jié)論也是或然性的。

于是反問：同學(xué)們，我們舉出了一些例子，即使舉出10000個(gè)例子都是正確的，能夠保證第10001個(gè)例子也是正確的嗎？你們還有更好的方法能夠驗(yàn)證這個(gè)猜想嗎？

一石激起千層浪，學(xué)生們由剛才的激動(dòng)、興奮又進(jìn)入了靜靜的思考……

（二）代數(shù)思維，字母推理

經(jīng)過冷靜的思考和深入的討論學(xué)生們想出了用字母推理的方法，用字母推理的得到的結(jié)論具有一般性。

圓環(huán)面積=盯（R2_r2）

想象成的梯形面積=（20R+20r）×（R-r）÷2

=20（R+r）×（R-r）÷2

=π（R+r）×（R-r）

=π（R2-r2）

通過用字母推理終于可以驗(yàn)證這個(gè)猜想了，圓環(huán)雖然不能拉直變成梯形，但我們可以想象圓環(huán)可拉直，從而類比得出面積求法。學(xué)生們感嘆這種“類比”想法的神奇，一致同意把這種想法命名為“P氏猜想”加以表彰鼓勵(lì)。

（三）幾何直觀，幫助理解

課上的時(shí)間有限，字母推理之后就下課了。課后我的心里久久不能平靜，一方面是激動(dòng)于P同學(xué)能夠想出這種與眾不同的方法，另一方面是字母推理的方法雖然嚴(yán)謹(jǐn)?shù)容^抽象，班里還有許多學(xué)生理解起來有困難。

課堂上不能只看到老師和學(xué)霸在秀恩愛，怎樣幫助有困難的學(xué)生理解呢？

波利亞說：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見，摸得著?！?/p>

如何能夠形象直觀地理解這種想法，就成了幫助有困難學(xué)生的思考方向。查閱資料后，在某版本小學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)教材中的《數(shù)學(xué)萬花筒》欄目中看到了一個(gè)例子讓我眼前一亮。一個(gè)草繩編的杯子墊，沿著半徑剪開，展開后得到一個(gè)近似三角形。三角形的面積相當(dāng)于圓的面積，三角形的底相當(dāng)于圓的周長(zhǎng)，三角形的高相當(dāng)于圓的半徑。

學(xué)生們借助這幅情境圖，很容易想象出圓和三角形的關(guān)系。

進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生，如果杯子墊不是圓形而是圓環(huán)，展開呢？學(xué)生們?cè)陬^腦中也能想象出來展開之后應(yīng)該是梯形，圓環(huán)和梯形的關(guān)系也能想明白。圓環(huán)可以看做兩個(gè)同心圓，它們都轉(zhuǎn)化為三角形以后重疊，相差部分就是梯形（上底是內(nèi)圓周長(zhǎng)，下底是外圓周長(zhǎng)，高是半徑之差），其面積也就是圓環(huán)的面積。

進(jìn)一步演示圓環(huán)展開的flash動(dòng)畫，幫助學(xué)生們觀察、驗(yàn)證。

（四）極限思想，量變質(zhì)變

圓環(huán)面積的背后還蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)思想？能否讓小學(xué)生也感悟一下呢？

如果將圓環(huán)平均分害4成若干份，那么每1份相當(dāng)于一個(gè)近似梯形，如果按照梯形面積公式計(jì)算：（上底+下底）×高÷2。

這是將圓環(huán)平均分害4為360份，如果無限分割下去，曲與直之間就逐漸重合，每1份的面積就無限接近梯形的面積。在這里兩個(gè)“無限”是理解極限思想的核心，小學(xué)生不需要嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理證明，展開想象能夠感悟到其中從量變到質(zhì)變、以直代曲等核心觀點(diǎn)即可，這對(duì)于感悟數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有重要的意義和價(jià)值。

四、回顧反思。提煉升華

（一）回顧反思，再發(fā)現(xiàn)過程

波利亞說過：先猜，后證——這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道。P同學(xué)能提出這樣的猜想說明數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)在她的頭腦中生根發(fā)芽了，研究“圓環(huán)的面積猜想”學(xué)生和教師像數(shù)學(xué)家那樣經(jīng)歷一個(gè)“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的思考過程，這對(duì)于培養(yǎng)創(chuàng)新能力具有非常重要的作用。因此我引導(dǎo)學(xué)生回顧反思“先猜后證”的發(fā)現(xiàn)過程，幫助學(xué)生們深化感悟其中蘊(yùn)含的猜想驗(yàn)證、推理、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、極限等數(shù)學(xué)思想方法，積累思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）兩次追問，暴露思維狀態(tài)

大家都知道，高斯是一個(gè)很有名的數(shù)學(xué)家，被稱為數(shù)學(xué)“天才”、“神童”。他一生發(fā)明了很多數(shù)學(xué)定理，發(fā)明了許多數(shù)學(xué)的概念和公式，我們都不理解這個(gè)人是怎么想出來的。有些歷史學(xué)家查閱過他的日記，從日記中才知道，高斯的每一個(gè)發(fā)現(xiàn)和發(fā)明都做了大量的實(shí)驗(yàn)、大量的猜測(cè)、大量的演算，最后用定理表示出來。但他把這些計(jì)算過程、演算過程、發(fā)現(xiàn)過程統(tǒng)統(tǒng)都拿掉了。

歷史學(xué)家的結(jié)論是，高斯是一只狡猾的狐貍，用它的尾巴掃掉了行進(jìn)的足跡。大部分?jǐn)?shù)學(xué)家都是高斯這樣的。

本案例中通過兩次追問：1.你是怎樣想的？2.你是怎樣想到這個(gè)方法的？暴露出P同學(xué)的思維過程和思考方法，并與其他同學(xué)共享。這樣其他同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中不僅僅當(dāng)一個(gè)旁觀者、旁聽生，更重要的是思維積極參與，吸收好的方法。交流、合作、分享不僅僅是形式的體現(xiàn)，分享好的想法能夠達(dá)到相互學(xué)習(xí)、取長(zhǎng)補(bǔ)短，在智力上互相傳染、共同提高的效果。

（三）抓住關(guān)鍵，提升思維品質(zhì)

陳省身先生說過：數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會(huì)有很好的效果。思考數(shù)學(xué)問題需要很長(zhǎng)時(shí)間，但在中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，常常給學(xué)生的思考時(shí)間較少，容易形成學(xué)生思維淺表化的傾向。圓環(huán)的面積猜想整個(gè)研究過程前后大約進(jìn)行了一周的時(shí)間，在關(guān)鍵之處舍得花時(shí)間給學(xué)生提供探索、交流、質(zhì)疑的時(shí)間和空間。如果沒有當(dāng)初的節(jié)外生枝，恐怕也難以成就后面的精彩，持續(xù)深入的思考對(duì)學(xué)生和教師都具有重要的意義。在這個(gè)過程中師生都體驗(yàn)到了克服困難的喜悅，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，思維品質(zhì)也得到了提煉升華。

[責(zé)任編輯 牛賓國]