“回顧與反思”在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用

摘 要：解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分。波利亞把解題的思維過程分為四個步驟，其中最重要的，也是最容易忽視的步驟是“回顧與反思”。在數(shù)學(xué)分析中用具體的例子闡述了“回顧與反思”在優(yōu)化解題過程、發(fā)展解題策略、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析 波利亞 回顧與反思

一、引言

《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)專業(yè)的最重要的三大專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，是后繼課程的階梯，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、抽象思維、提升專業(yè)素質(zhì)的鑰匙?！稊?shù)學(xué)分析》從提出到形成完整的理論，經(jīng)過了數(shù)學(xué)家的猜測、試驗、歸納等曲折漫長的過程，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是今后開展研究工作的基礎(chǔ)?！稊?shù)學(xué)分析》習(xí)題課是數(shù)學(xué)分析教學(xué)過程中的重要環(huán)節(jié)。然而，近年來這一環(huán)節(jié)在逐漸被削弱，由于沒了高考的壓力，學(xué)生解題積極性不高，許多教師也錯誤地將習(xí)題課教學(xué)理解為作業(yè)或課后習(xí)題的講解。學(xué)生解題僅僅是被動模仿教師傳授的解題方法和技巧，生搬硬套，甚至出現(xiàn)嚴(yán)重的抄襲現(xiàn)象，這對于數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是十分不利的。

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》中明確指出，高等教育要“著力培養(yǎng)信念執(zhí)著、品德優(yōu)良、知識豐富、本領(lǐng)過硬的高素質(zhì)專門人才和拔尖創(chuàng)新人才?！С謱W(xué)生參與科學(xué)研究，強(qiáng)化實踐教學(xué)環(huán)節(jié)?！浞终{(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動性，激勵學(xué)生刻苦學(xué)習(xí)，增強(qiáng)誠信意識，養(yǎng)成良好學(xué)風(fēng)?！?“回顧與反思”是研究性學(xué)習(xí)的一種方式，它有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，對培養(yǎng)高素質(zhì)研究型創(chuàng)新人才具有重要意義。

二、“回顧與反思”的重要意義

喬治·波利亞（George Polya，1887—1985），美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，他致力于解題的研究，專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。本書的核心是把解題的思維過程簡化為一張表，包括“理解題目”、“擬定方案”、“執(zhí)行方案”、“回顧與反思”四個步驟。由于解題者和教師往往更加關(guān)注如何找到解決問題的思路和方法，因此只關(guān)注解題表 中的前三個步驟，而忽略了最具啟發(fā)意義的第四步。波利亞指出：“即便是相當(dāng)優(yōu)秀的學(xué)生，在得到了題目的解答，并將整個論證簡潔地寫下來以后，就會合上書，去找別的事做。他們這樣的做法，遺漏了解題中一個重要而且有益的階段。通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑，他們能夠鞏固知識，并培養(yǎng)他們的解題能力?！痹跀?shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中，學(xué)生的主要任務(wù)并不是解題，而是學(xué)習(xí)解題，因此教師教的重點和學(xué)生學(xué)的重點，不在于“解”，而在于“學(xué)解”。從表面上看，學(xué)生不會解題是不會“擬定方案”，然而，實質(zhì)是沒有在“理解題目”和“回顧與反思”上下功夫的結(jié)果。以歐幾里得方式表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)是一種系統(tǒng)的演繹科學(xué)。通過“回顧與反思”，可以看到數(shù)學(xué)的第二個側(cè)面，也就看到了“處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)”。近年來，不少學(xué)者把研究解題的重點放在了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，而忽略了對大學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)。研究者結(jié)合自己長期擔(dān)任數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)實際，并通過實例說明解題后“回顧與反思”對拓展解題思路、優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)、提出數(shù)學(xué)問題及發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要作用。

三、回顧與反思在計算題中的應(yīng)用

例1 求極限

在剛剛學(xué)完洛必達(dá)法則之后，學(xué)生很自然地想到以下解法：

解法一 原式

而

故 原式

回顧解法一，考察解答中那些比較冗長的部分并盡可能使它們簡短些。發(fā)現(xiàn)使用洛必達(dá)法則求解極限時非常繁瑣，有沒有更加簡潔的方法呢？求函數(shù)極限時，什么方法可以簡化計算呢？是的，可以嘗試等價無窮小替換來優(yōu)化解法如下：

能不能用其他方法解這道題目？回到題目中去！你以前見過這個題目嗎？或者見過類似的題目嗎？也就是說在哪里見過冪指函數(shù)的極限問題？是的，在學(xué)習(xí)重要極限時，解過類似題目。于是，產(chǎn)生了如下解法。

解法二

回顧解法二，發(fā)現(xiàn)此種解法的關(guān)鍵是使用了重要極限，上式所作的變形就是為了“湊”出其結(jié)構(gòu)，最終的指數(shù)一定會變成與的乘積，于是問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化成了求與乘積的極限。那這個結(jié)論是不是具有普通性呢，也就是說是否有這樣的命題成立：若，，且，則.事實上，不難證明此結(jié)論成立，具體做法略。

沒有任何一個題目是徹底完成了的。在體驗到了數(shù)學(xué)帶來的樂趣以后，學(xué)生的潛力會被激發(fā)出來，以下解法就是研究者的學(xué)生給出的。

解法三

四、回顧與反思在證明題中的應(yīng)用

例2 設(shè)在二次可導(dǎo)，且，求證：在單調(diào)下降。

分析 要證在單調(diào)下降，只需證明導(dǎo)數(shù)，為此，令，則只需證。

證法一 令，對求導(dǎo)得，又，則，即

于是，，所以在單調(diào)下降。

回顧證法一，我們是從問題的結(jié)論出發(fā)，反復(fù)利用函數(shù)單調(diào)性的第一判別法得到所求結(jié)論。你要從不同的方面來考慮題目，并且尋找與你過去所獲知識之間的聯(lián)系。表明函數(shù)本身具有什么性質(zhì)？你在哪里見過用二階導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)的性質(zhì)？是的，凸函數(shù)！試著利用相關(guān)結(jié)論，可以得到如下證法。

證法二 意味著是凸函數(shù)，從而曲線在任一點切線的下方，即，有

，

特別地，令時，，即。

回顧題目及上述兩種解法，證明過程中都是用到了以前學(xué)過的方法和結(jié)論，那么這些方法是怎么想到的呢？是不是毫無根據(jù)呢？當(dāng)然不是！我們要把題設(shè)和結(jié)論聯(lián)系起來！根據(jù)分析我們已經(jīng)把結(jié)論轉(zhuǎn)化為要證明，除了上述兩種方法，我們還學(xué)過哪些知識可以把題設(shè)和結(jié)論聯(lián)系起來呢？重新考慮以前所獲知識，產(chǎn)生以下兩種解法。

證法三 由微分中值定理，使得

（因為單調(diào)減少）

證法四 由泰勒公式，，有

由易知，即。

回顧上述四種解法，都是基于證明而得到題目中的結(jié)論。在這個證明過程中，起到了關(guān)鍵的作用，也就是它決定了的符號。于是，我們可以思考：若，能否得到在單調(diào)增加？事實上，我們可以得到一個新的題目：設(shè)在二次可導(dǎo)，且，求證：在單調(diào)增加。證法略。

五、結(jié)語

數(shù)學(xué)分析體系完整，知識點之間聯(lián)系緊密，“回顧與反思”可以幫助學(xué)生找到這種聯(lián)系，并自然地把它納入到所獲知識，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)?！盎仡櫯c反思”還可以使學(xué)生認(rèn)清題目的本質(zhì)，形成新的解題策略，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的興趣和積極性?！盎仡櫯c反思”是一種積極的思維活動和探究行為，是發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的源泉，它能讓學(xué)生體驗到如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，體驗到真正“做數(shù)學(xué)”的快樂。學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性一次一次地被晦澀難懂的數(shù)學(xué)符號和定理擊垮，就是缺乏這種“回顧與反思”的意識和能力，不知道自己也有提出新問題進(jìn)而產(chǎn)生新發(fā)現(xiàn)的能力。如果學(xué)生在我們的課堂上產(chǎn)生了對數(shù)學(xué)的憎惡，那當(dāng)他們回到學(xué)校就會教出憎惡數(shù)學(xué)的下一代。作為一名數(shù)學(xué)分析教師，必須努力創(chuàng)造條件讓學(xué)生尋找到數(shù)學(xué)問題與其他問題之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生由被動地回答教師所提出的各個問題逐步過渡到學(xué)生主動提出問題，“回顧與反思”可以幫助教師完成這個目標(biāo)。正如波利亞所說：“無論如何，如果你養(yǎng)成了以這種方式回顧和仔細(xì)檢查你的解答的習(xí)慣，你將會獲得一些條理分明、隨時可以使用的知識，并且將會提高你的解題能力?！?/p>

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作者簡介：黃英芬（1983—）女。碩士。副教授。研究方向：數(shù)學(xué)教育，傳染病動力學(xué)模型。

※基金項目： 2016年貴州省本科教學(xué)工程項目“卓越數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)計劃”（編號2016SJZYRC001）.