教、學(xué)、做相統(tǒng)一 講、探、練相結(jié)合

教育教學(xué)的核心是“人的發(fā)展”。隨著“學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”和“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)”的頒布，數(shù)學(xué)新課程改革已走向內(nèi)涵發(fā)展期的“深水區(qū)”，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)從理念到行為都要發(fā)生根本的變化。只有贏在課堂才能贏得未來。數(shù)學(xué)素質(zhì)教育主陣地是課堂，課堂的“靈魂”是學(xué)生的“學(xué)習(xí)過程”。為了每一個(gè)學(xué)生能更好地掌握數(shù)學(xué)知能，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中獲得提出問題、分析問題和解決問題的智慧，我工作室近十年來進(jìn)行了“自覺數(shù)學(xué)課堂”的教學(xué)研究，構(gòu)建自覺數(shù)學(xué)課堂的原則是“因材循導(dǎo)、自覺體悟、平等對話”，其主要教學(xué)策略元素是：思（引發(fā)真學(xué)）——展（多維促進(jìn)）——變（變式引領(lǐng)）——悟（感悟反思）——?dú)w（四基四能）。關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的回歸：關(guān)注學(xué)習(xí)組織、學(xué)習(xí)起點(diǎn)、學(xué)習(xí)過程、課堂形態(tài)、教育角色、教育評價(jià)等一系列的變革，即讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)從空間結(jié)構(gòu)和時(shí)間秩序及活動(dòng)流程都要發(fā)生變化。旨在讓數(shù)學(xué)課堂從“知識的課堂”——“能力的課堂”——“創(chuàng)新的課堂”——“自覺的課堂”進(jìn)行一路轉(zhuǎn)型，讓課堂從教師如何“教”轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生如何“學(xué)”，關(guān)注創(chuàng)造新知、激發(fā)創(chuàng)新潛能、促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生、提升學(xué)生高階思維品質(zhì)?！白杂X數(shù)學(xué)課堂”的教學(xué)策略是“學(xué)、教、做相統(tǒng)一，講、探、練相結(jié)合”。從以教為中心、以學(xué)為中心進(jìn)入教中有學(xué)、學(xué)中有教、不分彼此的“第三種教學(xué)關(guān)系”，實(shí)現(xiàn)了促進(jìn)個(gè)性化學(xué)習(xí)的一種混合式學(xué)習(xí)。2017年5月23日《初中生世界》編輯部在泰州市舉行了江蘇省初中數(shù)學(xué)名師發(fā)展共同體活動(dòng)，本文以這次活動(dòng)中筆者為八年級學(xué)生上的蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級上冊《§2.1圓（1）》教學(xué)實(shí)踐為例。

一、關(guān)注前經(jīng)驗(yàn)喚醒，以“真學(xué)”定“真教”

學(xué)生在小學(xué)階段對圓的相關(guān)知識已有了一定的認(rèn)知，在新知教學(xué)中，我們必須首先弄清他們對圓的知識已經(jīng)了解了多少？已掌握了哪些？有哪些知識是正確的？哪些知識是模糊的？哪些知識是錯(cuò)誤的？認(rèn)知結(jié)構(gòu)的狀況如何？最近發(fā)展區(qū)在哪里？我們的教學(xué)起點(diǎn)在哪里？帶學(xué)生走向哪里？……這些都是以“真學(xué)”定“真教”的本質(zhì)性問題。

【“自覺體悟”環(huán)節(jié)教學(xué)片斷】

師：同學(xué)們能舉一些生活中有關(guān)圓的例子嗎？

生1：車輪、轉(zhuǎn)盤。

生2：帽子、硬幣。

師：這兩位同學(xué)舉的例子中的圖形都是圓嗎？

生（眾）：是！

師：老師再給出下列圖形（如圖1），請你判定哪些圖形是圓？

生3：就第一個(gè)籃球不是圓，其他都是圓！

師：為什么籃球不是圓？

生3：圓是平面圖形，籃球是立體圖形。

師：你們還有不同的看法嗎？

圖1

生：沒有了。

師：看來同學(xué)們在對“圓”的“正確認(rèn)識”上還有一定的誤區(qū)！到底什么樣的平面圖形才是圓呢？等我們探究完圓的定義，再來討論這個(gè)問題。

啟示：讓學(xué)生在接受新知前我們要讓他們從精神上、心理上、智力上、經(jīng)驗(yàn)上都要作好學(xué)習(xí)新知識的準(zhǔn)備，特別是在學(xué)生小學(xué)已學(xué)過的相關(guān)內(nèi)容上，要找到切入口將新知能自覺地同化（或順應(yīng)）到舊知中，這類活動(dòng)的設(shè)計(jì)切入口要小，但要平中見奇、引人入勝，且是具體的、現(xiàn)實(shí)的、有意義的和富有挑戰(zhàn)性的，通過他們的感知、分析、判斷、想象和歸納等心智活動(dòng)，豐富基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)對新知的興趣和好奇心。只有學(xué)生獲得了實(shí)際的感觀，才有探究和接受新知的“思維新基點(diǎn)”。讓學(xué)生在自覺體悟中形成認(rèn)知沖突，才能激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的熱情，這是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)。

二、運(yùn)用做中學(xué)、思、探，自覺認(rèn)知圓的本質(zhì)

在小學(xué)時(shí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過如何用圓規(guī)畫圓，他們對圓的認(rèn)識若只停留在這個(gè)水平上，是不夠的，我們要精心設(shè)計(jì)遞進(jìn)性學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在做中學(xué)、思、探，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的形成過程，給出圓的“運(yùn)動(dòng)定義”。讓學(xué)生“用圓規(guī)畫圓”這是做中學(xué)的起點(diǎn)，也是讓學(xué)生進(jìn)行做中學(xué)、思、探的基礎(chǔ)，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)起點(diǎn)要低，但立意要高，活動(dòng)的精度要好。

【“探究導(dǎo)學(xué)”環(huán)節(jié)教學(xué)片斷】

師：請同學(xué)們用圓規(guī)在學(xué)案紙上畫一個(gè)圓。

（學(xué)生畫圓）

師：請同學(xué)比較小組內(nèi)各位同學(xué)所畫的圓，你有什么發(fā)現(xiàn)或感悟？

（小組交流后）

生4：畫一個(gè)圓需要兩個(gè)要素：圓心和半徑。

師：這兩個(gè)要素對作出的圓的形狀與大小有什么影響？

生4：圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。

師：請同學(xué)們思考，如何在運(yùn)動(dòng)場上畫一個(gè)半徑為20m的圓？小組交流。

（小組交流后）

生5：讓一個(gè)同學(xué)拉住20m長的繩子的一端固定在一點(diǎn)，另一個(gè)同學(xué)拉直20m長的繩子在運(yùn)動(dòng)場上繞著固定的一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，他畫出來的圓即為所求。

師：其他小組有不同的意見嗎？

生6：我們小組認(rèn)為，可在運(yùn)動(dòng)場上取一點(diǎn)作為圓心，將運(yùn)動(dòng)場上所有到這個(gè)點(diǎn)的距離等于20m的點(diǎn)用一條曲線連起來就可以得到要畫的圓。

師：還有不同的想法嗎？

生：沒有了。

師：現(xiàn)在我們回顧圓規(guī)畫圓和用繩子畫圓的過程，請看視頻（如圖2、圖3）。

圖2 圖3

師：小組交流——圓規(guī)畫圓和用繩子畫圓它們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（小組交流后）

生7：它們的共同點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)固定，另一個(gè)點(diǎn)繞著它旋轉(zhuǎn)一周；不同點(diǎn)是畫小圓用圓規(guī)，畫大圓用繩子。

生8：他說得不對！它們的共同點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)固定，另一個(gè)點(diǎn)繞著它旋轉(zhuǎn)一周，還要加上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到固定的點(diǎn)的長度（距離）要保持不變。

師：好的！請同學(xué)們再探究：圓規(guī)畫圓和用繩子畫圓，它們能畫出圓的本質(zhì)是什么？

（小組交流后）

生9：將一條線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞著它旋轉(zhuǎn)一周，所畫出的圖形就是圓。

生10：還要加上“在同一平面內(nèi)”和“畫出的是封閉的圖形”。

師：這兩位同學(xué)基本上說出了圓規(guī)畫圓和用繩子畫圓的本質(zhì)?，F(xiàn)在老師來用幾何畫板演示一下（如圖4）。

師：看完老師的動(dòng)畫演示，你有什么感悟？怎樣給圓下定義？請互動(dòng)交流后小組整理。

（學(xué)生交流互動(dòng)后）

生11：在平面內(nèi)，把線段OP繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)1周，端點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的封閉圖形叫作圓。

師：這位同學(xué)說得很好！這就是圓的“運(yùn)動(dòng)定義”（板書）。定點(diǎn)O叫作圓心，線段OP（定長）叫作圓的半徑。以點(diǎn)O為圓心的圓，記為“⊙O”，讀作“圓O”?，F(xiàn)在再請同學(xué)們思考：圓是一條線？還是一個(gè)面？

生12：一條線，不是一個(gè)面！

師：為什么？

生12：圓是“在平面內(nèi)，把線段OP繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)1周，端點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的封閉圖形”而不是“線段OP運(yùn)動(dòng)所形成的圖形”。

師：現(xiàn)在我們再回頭看一下剛才的問題判斷：（如圖1）下列圖形哪些是圓？

生13：只有（4）是圓。

師：為什么硬幣不是圓？

生13：硬幣是圓面！圓是一條封閉的曲線。

啟示：“自覺數(shù)學(xué)課堂”教學(xué)的本質(zhì)并不是只關(guān)注活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的簡單積累，而應(yīng)更加重視如何能夠幫助學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)的積累中實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的思維發(fā)展，并不斷地向更高層次提升，只有這樣才能讓學(xué)生學(xué)會(huì)用知識生成智慧。為了幫助學(xué)生形成智慧，我們就應(yīng)更加重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的學(xué)程設(shè)計(jì)，要更加重視學(xué)生對于學(xué)習(xí)活動(dòng)的直接參與。這里通過學(xué)生熟悉的圓規(guī)在紙上畫“小圓”開始，再讓學(xué)生解決在運(yùn)動(dòng)場上畫半徑為20m的“大圓”，探究用圓規(guī)畫圓和用繩子畫圓的本質(zhì)上的異同性，讓圓的“運(yùn)動(dòng)定義”“自覺生成”。因此，我們要通過遞進(jìn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，運(yùn)用做中學(xué)、思、探，讓學(xué)生自覺認(rèn)知圓的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對圓的“運(yùn)動(dòng)定義”的“同化”和“順應(yīng)”。

三、提供先行組織者，助力學(xué)生自覺創(chuàng)造新知

在《圓（1）》這一教學(xué)內(nèi)容中，學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)是圓的“集合定義”，教學(xué)重點(diǎn)是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的認(rèn)知與判斷方法，為了減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，突破教學(xué)難點(diǎn)，讓學(xué)生建立對新知的“有序理解”，我改變了教材中的知識呈現(xiàn)的順序。在教學(xué)中，我們常常要讓教材的邏輯結(jié)構(gòu)要服從學(xué)生的認(rèn)知邏輯結(jié)構(gòu)，這就需要我們深度了解學(xué)情，靈活處理教材，這樣才能使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程鮮活而靈動(dòng)。

【“深度探究”環(huán)節(jié)教學(xué)片斷】

師：請同學(xué)們觀察圖4，思考：圓將平面分成幾部分？

生14：圓將平面分成三部分，分別是圓內(nèi)部分、圓上部分和圓外部分。

師：現(xiàn)在老師向這個(gè)圓所在的平面內(nèi)撒若干個(gè)點(diǎn)，如圖5所示，請你說出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。先請認(rèn)真思考后在小組內(nèi)交流。

（學(xué)生小組內(nèi)交流后）

生15：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：分別是點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上和點(diǎn)在圓外。

師：我們怎樣判斷點(diǎn)與圓的這三種位置關(guān)系呢？

（生一臉茫然）。

師：現(xiàn)在讓同學(xué)們先解決一個(gè)問題，能否從解決這個(gè)問題中獲得一些啟示。

教師給出問題情境（先行組織者）：海平面內(nèi)，以點(diǎn)O為圓心的10km內(nèi)和邊界上有暗礁，A船距點(diǎn)O的距離為8km，B船距點(diǎn)O的距離為10km，C船距點(diǎn)O的距離為15km，請判斷A船、B船和C船分別有無觸礁的危險(xiǎn)？

生16：A船、B船有觸礁的危險(xiǎn)，C船沒有。

師：為什么？

生16：因?yàn)橐渣c(diǎn)O為圓心的10km內(nèi)和邊界上有暗礁，A船距點(diǎn)O的距離為8km，說明A船在圓內(nèi)；B船距點(diǎn)O的距離為10km，說明B船在圓周上，它們都有觸礁的危險(xiǎn)，而C船距點(diǎn)O的距離為15km，說明它在圓外，就沒有觸礁的危險(xiǎn)。

師：如何判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，你有何想法？

生17：將點(diǎn)與圓心連接起來，用這條線段的長度與半徑進(jìn)行比較就行。

師：我們記圓的半徑為r，這條線段的長度為d，如何判定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系呢？現(xiàn)在請各小組畫圖并探究。

（小組合作探究后）

生18：當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓外。

生19：老師，反過來也是可以的。當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，則dr.

師：同學(xué)們，探究得很好！前一個(gè)同學(xué)說的是點(diǎn)與圓位置關(guān)系的判定方法，后一個(gè)同學(xué)說的是點(diǎn)與圓位置關(guān)系的性質(zhì)?，F(xiàn)在我們將點(diǎn)與圓位置的判定和性質(zhì)用“ ”來表示，讀成“等價(jià)于”，它的含義是從左邊能得到右邊的同時(shí)，也能從右邊得到左邊。點(diǎn)與圓的位置關(guān)系用“ ”表述如圖6.

師：剛才我們在畫半徑為20m的大圓時(shí)，有小組說“可在運(yùn)動(dòng)場上取一點(diǎn)作為圓心，將運(yùn)動(dòng)場上所有到這個(gè)點(diǎn)的距離等于20m的點(diǎn)用一條曲線連起來就可以得到要畫的圓”。現(xiàn)在我們重點(diǎn)討論“點(diǎn)在圓上d=r”，根據(jù)“等價(jià)于”的意義，它的含義是什么？

生20：如果點(diǎn)在圓上則這個(gè)點(diǎn)到圓的距離等于半徑；如果一個(gè)點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則這個(gè)點(diǎn)在圓上。

師：這句話似曾相識，在哪里遇到過的？

生20：學(xué)線段的垂直平分線的時(shí)候。

師：當(dāng)時(shí)是怎么說的？

生20：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；最后得到了“線段垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合”。

生21：老師，還有呢！角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；最后得到了“角平分線是到角兩邊距離相等的點(diǎn)的集合”。

師：現(xiàn)在你們有什么要補(bǔ)充的？

生22：我們可以類似地得到“圓是到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)的集合”。

師：很好！如果我們現(xiàn)在將圓心說成定點(diǎn)，半徑說成定長，這樣又該怎樣表述？

生：（眾）圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合。

師：這就是圓的集合定義（板書）。結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，你們還能得到哪些類似的結(jié)論？

生23：圓的內(nèi)部是到定點(diǎn)的距離小于定長的所有點(diǎn)的集合。

生24：圓的外部是到定點(diǎn)的距離大于定長的所有點(diǎn)的集合。

啟示：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法與圓的“集合定義”都是學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，本學(xué)習(xí)活動(dòng)從圓將平面分成幾個(gè)部分自然過渡到點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的分類，當(dāng)學(xué)生面對判定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系而一籌莫展時(shí)，教師通過一個(gè)問題情境，啟發(fā)了學(xué)生的思維，找到了判定的策略，并由個(gè)性問題追溯到共性問題，總結(jié)出了一般規(guī)律。再通過“點(diǎn)在圓上 d=r”的雙向本質(zhì)性的解讀，類比線段的垂直平分線和角平分線的“集合定義”，順理成章地得到了圓的“集合定義”，這樣提供先行組織者，不但使學(xué)生學(xué)會(huì)了在原有知識基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識的方法，也助力學(xué)生自覺創(chuàng)造新知。

四、講、探、練結(jié)合，促進(jìn)高階思維自覺形成

“自覺數(shù)學(xué)課堂”突出自我責(zé)任、自覺體悟、思維素養(yǎng)、學(xué)習(xí)品質(zhì)和自組織力。建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)過程一方面是對新信息的意義的建構(gòu)，另一方面也包含對原有經(jīng)驗(yàn)的改造與重組。課堂教學(xué)中一定要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)從淺層學(xué)習(xí)（理解、識記和應(yīng)用）走向深層學(xué)習(xí)（分析、評價(jià)和創(chuàng)建），在教學(xué)策略上要關(guān)注講、探、練相結(jié)合，通過師生、生生和生本的多維互動(dòng)，讓學(xué)生重構(gòu)自己原有的認(rèn)識，取得更加全面深刻的感悟，促進(jìn)高階思維品質(zhì)的自覺形成。

在“變式應(yīng)用”環(huán)節(jié)教學(xué)中，我設(shè)計(jì)了如下的問題。

1.已知⊙O半徑為5，①若OP=3，則點(diǎn)P在⊙O____；②若OP=5，則點(diǎn)P在⊙O____；③若OP=7，則點(diǎn)P在⊙O____。

2.已知⊙O的半徑為r，OP=8.①若P在⊙O外，則r的取值范圍為r_________；②若P在⊙O內(nèi)，則r的取值范圍為r_____；③若P在⊙O上，則r_____。

3.如圖7，矩形ABCD對角線相交于O，問題：點(diǎn)A、B、C、D是否在同一個(gè)圓上？如果在，圓心是什么？半徑是什么？

4.如圖8，已知線段PQ=4cm。（1）畫出下列圖形：到點(diǎn)P的距離等于2cm的點(diǎn)的集合；到點(diǎn)Q的距離等于3cm的點(diǎn)的集合。（2）在所畫圖中，到點(diǎn)P的距離等于2cm，且到點(diǎn)Q的距離等于3cm的點(diǎn)有幾個(gè)？請?jiān)趫D中將它們表示出來。（3）在所畫圖中，到點(diǎn)P距離小于或等于2cm，且到點(diǎn)Q的距離大于或等于3cm的點(diǎn)的集合是怎樣的圖形？把它指出來。

啟示：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生在已獲得了對感知新知的一些初步經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，再有同伴之間的良性差異互動(dòng)，使他們看到了同伴與自己不一樣的思考、聽到了與自己不同的觀點(diǎn)，便能多角度和多途徑地完善對數(shù)學(xué)新知的理解，也豐富了自己所積累的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這也是在“教、學(xué)、做”后的“講、探、練”的意義所在。在“變式應(yīng)用”這個(gè)環(huán)節(jié)，用四個(gè)問題組成的“問題串”把學(xué)生的思維不斷地引向深入，激發(fā)學(xué)生多向度、本質(zhì)性地認(rèn)識問題，激活師生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力，擴(kuò)大了學(xué)生的“認(rèn)知半徑”和提升思維品質(zhì)，也提高了學(xué)習(xí)策略運(yùn)用水平。

知識是血肉，能力和方法才是靈魂；知識和方法相比，方法更容易成為能力；能力與方法攜手，便是潛在的創(chuàng)造力。數(shù)學(xué)知識的獲得和技能的養(yǎng)成是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，提升學(xué)生的思維能力、學(xué)習(xí)品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)才是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。只有通過有效的活動(dòng)讓學(xué)生在積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行“自覺體悟”，要經(jīng)過“教、學(xué)、做”相統(tǒng)一的學(xué)習(xí)過程，再經(jīng)過“講、探、練”相結(jié)合的思維過程，才能促進(jìn)學(xué)生的智慧生成。

（作者為江蘇省常州市田家炳初級中學(xué)教科室主任，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師、正高級教師）