簡并態(tài)鍺在大注入下的自發(fā)輻射譜模擬?

汪建元 林光楊 王佳琪 李成

(廈門大學物理學系,協(xié)同創(chuàng)新中心,半導(dǎo)體光子學研究中心,廈門 361005)

1 引 言

鍺(Ge)由于具有準直接帶特性及與硅(Si)工藝相兼容等優(yōu)勢被認為是硅基光源的理想候選材料之一.理論計算[1]及實驗結(jié)果[2]已證實室溫下鍺的直接帶隙與間接帶隙差僅為136 meV,并且在張應(yīng)變下該帶隙差能進一步減小,有助于提高鍺的發(fā)光效率.在鍺中引入約2%的張應(yīng)變時,鍺能轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯訋栋雽?dǎo)體.另一方面,相比于本征鍺,n型摻雜鍺在相同注入水平下有更多的電子可以被注入到Γ能谷中,因而提高鍺中n型摻雜濃度是提高鍺發(fā)光效率的另一種途徑[3].基于應(yīng)變能帶工程以及n型重摻雜手段,已有關(guān)于鍺的直接帶光致發(fā)光以及電致發(fā)光的大量報道[4?10].然而受工藝限制,在器件制備中能在鍺里引入的張應(yīng)變?nèi)杂邢?鍺的直接帶發(fā)光一般是在簡并態(tài)(大注入或n型重摻雜)下實現(xiàn)的.Schubert等[11]提出的自發(fā)輻射理論是基于玻爾茲曼近似推導(dǎo)的,適用于注入水平足夠低的情形.對于簡并態(tài)材料的發(fā)光,該理論已不適用.目前,對簡并態(tài)材料自發(fā)輻射性質(zhì)的研究仍很少,例如發(fā)光峰位以及發(fā)光強度在不同注入水平的變化等.要精確地分析自發(fā)輻射譜,對簡并態(tài)材料的自發(fā)輻射性質(zhì)的系統(tǒng)研究必不可少.

本文借助matlab編程計算了鍺在1019—1020cm?3注入載流子水平下的直接帶自發(fā)輻射性質(zhì).首先討論了在不同應(yīng)變水平及溫度下鍺準費米能級的變化;然后基于費米狄拉克載流子分布模型系統(tǒng)地研究了應(yīng)變水平、樣品溫度、摻雜類型及摻雜濃度對發(fā)光峰位和m因子的影響.本文的計算結(jié)果可以為其他簡并材料發(fā)光性質(zhì)的研究提供參考.

2 應(yīng)變及溫度對準費米能級的影響

準費米能級反映了材料中非平衡載流子的填充水平,決定了材料的自發(fā)輻射強度.在計算材料自發(fā)輻射譜之前,有必要探討應(yīng)變及溫度對材料準費米能級的影響.簡并態(tài)下,鍺中載流子與準費米能級的關(guān)系可以用(1)式來表示[12]:

(1)式中,n和p為電子和空穴濃度;kB為玻爾茲曼常數(shù);T為樣品溫度;mLn和mΓn為L和Γ能谷中的態(tài)密度有效質(zhì)量;mlh和mhh為輕空穴帶和重空穴帶的態(tài)密度有效質(zhì)量;EFn和EFp為電子和空穴的準費米能級.L和Γ能谷能量差(ΔEΓ,L)以及輕重空穴帶能量差(ΔElh,hh)取決于應(yīng)變水平.室溫下,對體鍺而言,ΔEΓ,L=136 meV,ΔElh,hh=0 meV.在沿[001]的雙軸張應(yīng)變(ε//)下,鍺各帶邊的移動可以表示為[13]

式中,αΓ,αL和αV分別為Γ能谷、L能谷和價帶的靜水壓形變常數(shù);c12和c11為彈性常數(shù);Δ0為自旋-軌道劈裂能;b001為剪切形變常數(shù),δE001=為剪切形變勢能.值得注意的是,ΔEΓ,L也與溫度有關(guān).根據(jù)Varshini定律[14],當溫度大于300 K時,鍺直接帶隙和間接帶隙的減小量為

式中p1≈?4.2×10?4eV/K,p2≈?3.6×10?4eV/K;ΔT為樣品溫度相對室溫的變化.因此,同時考慮應(yīng)變和樣品溫度的作用后,ΔElh,hh和ΔEΓ,L可以表示為

計算過程中所用的鍺相關(guān)參數(shù)列于表1中(m0為電子靜止質(zhì)量)[13,15?17].

表1 計算鍺準費米能級所用的參數(shù)Table 1.Parameters used for calculation of quasi-Fermi level of Ge.

2.1 應(yīng)變對準費米能級的影響

圖1示出了室溫下鍺在?1%—2%應(yīng)變范圍內(nèi)的載流子濃度與準費米能級的關(guān)系.可以看出,當鍺中應(yīng)變小于2%時,應(yīng)變對電子準費米能級的影響幾乎可以忽略;當鍺中應(yīng)變達到2%后,在相同載流子濃度下,鍺的電子準費米能級顯著升高.電子準費米能級的這種變化與電子在L和Γ能谷的競爭分布有關(guān).由于L能谷的態(tài)密度遠大于Γ能谷的態(tài)密度,當鍺中應(yīng)變小于2%時,鍺為間接帶隙半導(dǎo)體,電子優(yōu)先填充L能谷,因而應(yīng)變對電子準費米能級影響很小;當鍺中應(yīng)變達到2%時,鍺轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯訋栋雽?dǎo)體,電子優(yōu)先填充Γ能谷,因而電子的準費米能級顯著升高.空穴也有類似的現(xiàn)象:在壓應(yīng)變下,空穴優(yōu)先填充態(tài)密度有效質(zhì)量大的重空穴帶,應(yīng)變對空穴的準費米能級影響很小;在張應(yīng)變下,空穴優(yōu)先填充在態(tài)密度有效質(zhì)量小的輕空穴帶,且隨著應(yīng)變增大,輕、重空穴價帶頂能量差增大,因而空穴的準費米能級隨張應(yīng)變的提高顯著降低.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)室溫下鍺在?1%—2%應(yīng)變范圍內(nèi)的(a)電子濃度與電子準費米能級的變化關(guān)系及(b)空穴濃度與空穴準費米能級的變化關(guān)系Fig.1.(color online)For Ge under various strains at room temperature,(a)relationship between electron concentration and quasi-Fermi level position of electron,and(b)relationship between hole concentration and quasi-Fermi level position of hole.

2.2 溫度對準費米能級的影響

圖2 示出了受1%張應(yīng)變的鍺在300—425 K范圍內(nèi)載流子濃度與準費米能級的關(guān)系.隨著溫度的升高,載流子在能帶中的分布更加彌散,需要更多的載流子濃度來維持準費米能級的位置.由于導(dǎo)(價)帶的態(tài)密度與導(dǎo)(價)帶到導(dǎo)(價)帶底(頂)能量差的平方根成正比,在能帶更高能處,溫度對準費米能級的影響減弱.

3 簡并態(tài)鍺的自發(fā)輻射

對于鍺直接帶發(fā)光,光子能量E與倒格矢k的關(guān)系可表示為

圖2 (網(wǎng)刊彩色)受1%張應(yīng)變的鍺在300—425 K溫度范圍內(nèi)的(a)電子濃度與電子準費米能級的關(guān)系圖及(b)空穴濃度與空穴準費米能級的關(guān)系圖Fig.2.(color online)For Ge under various temperatures with 1%strain,(a)relationship between electron concentration and quasi-Fermi level position of electron,and(b)relationship between hole concentration and quasi-Fermi level position of hole.

其中m?eΓ=0.038m0為Γ能谷中電子有效質(zhì)量,m?h=0.043m0或m?h=0.284m0為輕空穴或重空穴有效質(zhì)量.Eg,Γ為鍺的直接帶帶隙,由第2部分可推知其與溫度和應(yīng)變的依賴關(guān)系為

式中,Eg,Γ0=0.802 eV為室溫下(300 K)體鍺的直接帶隙.

在重摻雜或大注入下,鍺處于簡并態(tài),此時直接帶發(fā)光強度(I)隨光子能量(hν=E(k))的分布可表示為

式中,mr=mΓnmh/(mΓn+mh)為態(tài)密度折合有效質(zhì)量,mh=mlh或mhh;fe,Γ(k)和fh(k)為電子在Γ能谷及價帶中空穴的費米狄拉克分布函數(shù);EC,Γ和EV,Γ分別為Γ能谷谷底和價帶頂?shù)哪芰?為了便于分析,所有自發(fā)輻射譜都經(jīng)過相同的歸一化處理.

3.1 溫度和應(yīng)變對自發(fā)輻射譜的影響

圖3(a)為1%張應(yīng)變本征鍺在5×1019cm?3載流子注入濃度下的Γ-hh躍遷自發(fā)發(fā)射譜.模擬的樣品溫度為300—425 K.隨著溫度的升高,鍺的帶隙減小、載流子在能帶中的分布更加彌散,因而自發(fā)輻射譜的峰值位置向低能端移動并且譜的半高寬增大.雖然在更高溫度下,載流子在價帶和導(dǎo)帶中的占據(jù)概率降低,但是由于Γ能谷和L能谷的能量差減小,使得有更多的電子填充到Γ能谷中,因而自發(fā)發(fā)射譜的峰值強度隨溫度的升高反而增大.另外,當樣品溫度升高時,激發(fā)到Γ能谷及價帶中的載流子總數(shù)目變多,因而鍺的自發(fā)輻射積分強度也隨著溫度的升高而增大.

圖4(a)為不同應(yīng)變下本征鍺在5×1019cm?3注入載流子濃度下的Γ-hh躍遷室溫自發(fā)發(fā)射譜.隨著應(yīng)變的增大,自發(fā)輻射譜的半高寬、峰值強度和積分強度也都隨之增大.自發(fā)輻射強度的增大是由于應(yīng)變的引入減小了L能谷和Γ能谷的能量差,使得有更多的電子能散射到Γ能谷中參與自發(fā)輻射.當鍺中引入0.8%張應(yīng)變時,自發(fā)輻射的峰值強度和積分強度相比無應(yīng)變鍺的情形都提高了10倍左右,與文獻[18]報道的光致發(fā)光測試結(jié)果一致.從圖中還可以看出,雖然Γ-hh躍遷自發(fā)輻射的峰值強度大于Γ-lh躍遷自發(fā)輻射的峰值強度,但它們的積分強度幾乎相等.這是由于雖然輕空穴帶態(tài)密度更小,但空穴在其中的能量分布更加彌散.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)(a)本征鍺在5×1019cm?3注入載流子濃度、1%張應(yīng)變下Γ能谷電子重空穴躍遷自發(fā)發(fā)射譜隨溫度的變化及對應(yīng)的(b)峰值強度、(c)積分強度隨溫度的變化Fig.3. (color online)(a)Calculation of spontaneous emission spectra from Γ-hh recombination in intrinsic Ge with injection carrier concentration of 5×1019cm?3under 1%strain at various sample temperature and corresponding dependence of(b)peak intensity and(c)integrated intensity on sample temperature.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)(a)室溫時本征鍺在5×1019cm?3注入載流子濃度、不同應(yīng)變下的Γ-hh躍遷自發(fā)發(fā)射譜及其與Γ-lh躍遷自發(fā)發(fā)射譜的(b)峰值強度、(c)積分強度隨應(yīng)變的變化Fig.4.(color online)(a)Calculation of spontaneous emission spectra from Γ-hh transition of intrinsic Ge under various strains at room temperature with injection carrier concentration of 5×1019cm?3;variation of(b)peak intensity and(c)integrated intensity of spontaneous emission spectra from Γ -hh and Γ -lh transitions versus the strain level in Ge.

3.2 摻雜類型及摻雜濃度對自發(fā)輻射譜的影響

圖5 (a)和圖5(b)分別示出了p型摻雜濃度對0.2%張應(yīng)變鍺和1%張應(yīng)變鍺在1×1019cm?3注入載流子濃度下的室溫Γ-lh躍遷自發(fā)發(fā)射譜的影響.計算的p型摻雜濃度范圍為1×1018cm?3至5×1019cm?3.為了更直觀地研究自發(fā)輻射強度的變化,忽略了重摻雜下的能帶縮減效應(yīng)[19].可以看出,對于0.2%張應(yīng)變鍺,其自發(fā)輻射強度隨著p型摻雜濃度的增大略微增大.然而,當鍺中張應(yīng)變增大到1%時,p型摻雜濃度的增加對自發(fā)輻射強度的增大變得更小.圖5(c)定量地顯示了不同p型摻雜濃度下自發(fā)輻射譜峰值強度相比于本征鍺的提高倍數(shù).隨著受主濃度的增加,自發(fā)輻射譜峰值強度的增強迅速達到飽和值.在5×1019cm?3受主濃度下,0.2%張應(yīng)變鍺的峰值強度相比本征鍺僅提高了約20%,對1%張應(yīng)變鍺僅提高了約7%.上述結(jié)果表明,p型摻雜并不能有效地提高鍺的自發(fā)輻射強度.

為了對比,同時模擬了n型摻雜濃度對鍺自發(fā)發(fā)射譜的影響.圖6(a)和圖6(b)示出了n型鍺在與圖5(a)和圖5(b)相同應(yīng)變水平和注入載流子濃度下的自發(fā)發(fā)射譜.圖6(c)為不同n型摻雜濃度下鍺相比于本征鍺的自發(fā)發(fā)射譜峰值強度增強因子隨n型摻雜濃度的變化.可以看出,隨n型摻雜濃度的增加,自發(fā)發(fā)射譜的峰值強度顯著增大.對于0.2%張應(yīng)變鍺,在1×1019cm?3和5×1019cm?3n型摻雜濃度下,自發(fā)發(fā)射譜峰值強度分別增強了約1.7倍和約22.6倍.當鍺中張應(yīng)變增大到1%,自發(fā)發(fā)射譜峰值強度增強因子仍大于約1.5倍和9.8倍.上述結(jié)果說明n型摻雜能大大提高鍺的自發(fā)輻射強度.

3.3 摻雜、應(yīng)變及溫度對自發(fā)輻射峰值強度m因子的影響

通過L-Im關(guān)系擬合LI曲線可以提取出自發(fā)輻射譜的m因子,以定量表征材料的自發(fā)輻射性質(zhì).大多數(shù)情況下,載流子的注入濃度(Δn)近似正比于注入電流(I)[20].因而,m因子可以通過線性擬合logL-logΔn曲線得到.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)(a)0.2%張應(yīng)變Ge及(b)1%張應(yīng)變Ge在1×1019cm?3注入載流子濃度、不同p型摻雜濃度下的室溫Γ-lh躍遷自發(fā)發(fā)射譜;(c)上述模擬條件下的峰值發(fā)光強度與本征鍺的比值隨p型摻雜濃度的變化;上述計算過程中忽略了重摻雜引起的能帶縮減效應(yīng)Fig.5.(color online)The spontaneous emission spectra for Ge under various p-type doping concentrations(a)with 0.2%tensile strain and(b)with 1%tensile strain under injection carrier concentration of 1×1019cm?3at room temperature from Γ-lh transition;(c)the amplif i cation of peak intensity compared to that of intrinsic Ge under p-type doping.The effect of band gap narrowing by heavy doping is neglected.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)(a)0.2%張應(yīng)變Ge及(b)1%張應(yīng)變Ge在1×1019cm?3注入載流子濃度、不同n型摻雜濃度下的室溫Γ-lh躍遷自發(fā)發(fā)射譜;(c)上述模擬條件下的峰值發(fā)光強度與本征鍺的比值隨n型摻雜濃度的變化;上述計算過程中忽略了重摻雜引起的能帶縮減效應(yīng)Fig.6.(color online)The spontaneous emission spectra for Ge under various n-type doping(a)with 0.2%tensile strain and(b)with 1%tensile strain under injection carrier concentration of 1×1019cm?3at room temperature from Γ-lh transition;(c)the amplif i cation of peak intensity compared to that of intrinsic Ge under n-type doping.The effect of band gap narrowing by heavy doping is neglected.

圖7(a)示出了n型摻雜濃度對體鍺室溫自發(fā)輻射譜m因子的影響.由于施主雜質(zhì)能額外提供電子,隨著n型摻雜濃度的增大,m因子逐漸變小.在注入載流子濃度分別為1019,1020cm?3下,當鍺中施主雜質(zhì)為5×1019cm?3時,m因子分別從本征鍺的1.64,2.60減小至0.75,1.30.當鍺中存在張應(yīng)變時,Γ能谷和L能谷的能量差減小,在相同注入水平下有更多的電子能填充至Γ能谷中.因此,m因子隨鍺中張應(yīng)變水平增大而減小(圖7(b)).在1019cm?3注入載流子濃度下,當鍺中張應(yīng)變?yōu)?.0%時,m因子從體鍺的1.64減小至0.90.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)(a)室溫下體Ge自發(fā)輻射譜m因子隨n摻雜濃度的變化;(b)室溫下本征Ge自發(fā)輻射譜m因子隨張應(yīng)變的變化Fig.7.(color online)(a)The dependence of m factor for spontaneous emission spectra of bulk Ge on n-type doping concentration at room temperature;(b)the dependence of m factor for spontaneous emission spectra of intrinsic Ge on tensile strain at room temperature.

圖8 (a)和圖8(b)分別為無應(yīng)變本征鍺及1%張應(yīng)變本征鍺的自發(fā)輻射m因子隨溫度的變化.對于無應(yīng)變本征鍺,在1019cm?3注入載流子濃度下,m因子從300 K下的1.64略微減小至425 K下的1.6;在1020cm?3注入載流子濃度下,m因子從300 K下的2.60減小至425 K下的1.94.對于1%張應(yīng)變本征鍺,m因子幾乎和溫度無關(guān),且隨著注入載流子濃度的增加,m因子從1019cm?3的1.50減小至1020cm?3的1.01.這些結(jié)果表明張應(yīng)變能提高鍺自發(fā)輻射的溫度穩(wěn)定性.

圖8 (網(wǎng)刊彩色)(a)無應(yīng)變本征鍺及(b)1%張應(yīng)變本征鍺自發(fā)輻射譜m因子隨溫度的變化Fig.8.(color online)The dependence of m factor for spontaneous emission spectra of intrinsic Ge(a)without strain and(b)with 1%tensile strain on sample temperature.

4 結(jié) 論

本文模擬并分析了應(yīng)變、溫度以及摻雜對簡并態(tài)鍺自發(fā)輻射譜的影響.在1019—1020cm?3注入載流子濃度范圍內(nèi),壓應(yīng)變對準費米能級的影響可以忽略,而張應(yīng)變有助于提高載流子的填充水平,從而大大增強了自發(fā)輻射強度.隨著溫度的升高,Γ能谷和L能谷間的能量差減小,同時有更多的電子(空穴)被激發(fā)到導(dǎo)帶(價帶)中.因而,雖然在更高溫度下載流子在能帶中的分布更加彌散,自發(fā)發(fā)射譜的峰值強度和積分強度仍隨溫度升高而增大.計算結(jié)果表明,在鍺中引入受主雜質(zhì)對自發(fā)發(fā)射譜強度的影響很小,而在鍺中引入施主雜質(zhì)能極大地提高自發(fā)發(fā)射譜強度.對L-Δn曲線m因子的研究表明,張應(yīng)變可以提高鍺自發(fā)輻射的溫度穩(wěn)定性.本文的模擬結(jié)果對于其他的簡并態(tài)材料自發(fā)輻射性質(zhì)的研究起著指導(dǎo)意義.

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