實數(shù)連續(xù)性諸命題的等價性的證明

李朋霖

摘 要：實數(shù)連續(xù)性諸等價命題為數(shù)學(xué)奠定了堅持基礎(chǔ)，但目前，關(guān)于諸命題的等價性證明研究較少。為了了解實數(shù)連續(xù)性命題的結(jié)構(gòu)及邏輯關(guān)系，本文介紹了實數(shù)連續(xù)性的概念及其命題描述，重點探討了實數(shù)連續(xù)性諸命題的等價性證明。

關(guān)鍵詞：實數(shù)連續(xù)性諸命題等價性證明

“極限”是數(shù)學(xué)分析中的基本運算，其以實數(shù)連續(xù)性為基石。而實數(shù)連續(xù)性有效區(qū)別了實數(shù)系與理數(shù)系，呈現(xiàn)了二者最本質(zhì)的屬性。對于實數(shù)而言，其最為顯著的特點便是連續(xù)性，其可處理多種問題，如：呈現(xiàn)連續(xù)變量的變化狀態(tài)，衡量不可公度線段之比等量。數(shù)學(xué)分析主要用于探討連續(xù)變量變化規(guī)律，因此，實數(shù)的連續(xù)性對其有著積極的作用。

一、實數(shù)連續(xù)性的概念及其命題的描述

關(guān)于實數(shù)連續(xù)性的概念，不同理論對其有著差異化的描述，具體表現(xiàn)在以下幾方面：第一，小數(shù)角度，實數(shù)為有限、無限循環(huán)、無限不循環(huán)小數(shù)；第二，戴德金角度，實數(shù)是與理數(shù)的區(qū)分；第三，康托爾角度，實數(shù)是由理數(shù)構(gòu)成的基本序列；第四，魏爾斯特拉斯角度，實數(shù)為有理數(shù)集的上確界；第五，巴赫曼角度，實數(shù)為有理相關(guān)列確定的數(shù)。上述關(guān)于實數(shù)的定義，均體現(xiàn)出其具有連續(xù)性。

關(guān)于實數(shù)連續(xù)性命題的描述：一，單調(diào)有界數(shù)列存在極限；二，每個閉區(qū)間擁有唯一數(shù)h；三，如果非空集C有上界或者下界，則數(shù)C存在唯一的上確界或下確界；四，如果開區(qū)間集D覆蓋閉區(qū)間[a，b]，則D所擁有的有限個開區(qū)間均覆蓋上述該閉區(qū)間；五，如果C為有界無限點集，則其最少擁有一個聚點。

二、實數(shù)連續(xù)性諸命題的等價性證明

數(shù)學(xué)分析建立基礎(chǔ)為極限理論，該理論的基石為實數(shù)連續(xù)性，其又與有理數(shù)系有著本質(zhì)區(qū)別，因此，在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中全面了解與認(rèn)識實數(shù)連續(xù)性具有積極的意義。關(guān)于實數(shù)連續(xù)性命題主要有：單調(diào)有界定理、有限覆蓋定理、閉區(qū)間套定理、聚點及確界定理等，上述定理利用不同形式論述了實數(shù)連續(xù)性，而具體模式為數(shù)學(xué)分析發(fā)展提供了可靠保障，本文對各個命題進(jìn)行了介紹，并論證其等價性。

（一）命題描述

單調(diào)有界定理：如果數(shù)列遞增或遞減，并有上界或下界，則數(shù)列收斂，此時，單調(diào)有界數(shù)列一定有極限。閉區(qū)間套定理：假設(shè)閉區(qū)間C擁有一定性質(zhì)，則C為閉區(qū)間套，同時在實數(shù)系中擁有唯一的點。界點定理，R的子集為A，y為R的某點，在一定條件下，y可為A的內(nèi)點、外點及界點，如果A的任意點均為內(nèi)點，則A為開集，如果數(shù)集A不等于非空，并且不等于R，則A一定存在界點。有限覆蓋定理：數(shù)軸點集S，開區(qū)間集合為H，如果點集中的任意點均含在開區(qū)間內(nèi)，則H為S的開覆蓋，如果H中開區(qū)間有無限或有限個數(shù)，則H為S的有限開覆蓋或無限開覆蓋。以有限覆蓋定理為例，假設(shè)H為閉區(qū)間M的一個開覆蓋，則H中可選取出有限個開區(qū)間覆蓋M。確界定理：如果A為非空數(shù)集，存在實數(shù)β，在滿足充要條件下，β為數(shù)集A的上確界；如果A為非空數(shù)集，存在實數(shù)α，在符合充要要求下，α為數(shù)集A的下確界；如果非空數(shù)集A擁有上界與下界，則其必然存在唯一的上確界與下確界。戴德金定理：將實數(shù)劃分為兩類，在滿足一定條件下，可對二者進(jìn)行分拆，即：實數(shù)域劃分，其中包括下類與上類，以實數(shù)域R為例，將其劃分為A與B，必然存在實數(shù)β，此后將獲得下類最大數(shù)與上類最小數(shù)。

（二）等價性證明

在明確實數(shù)連續(xù)性各命題后，可借助閉循環(huán)回路方法證實任意兩個命題等價，在此基礎(chǔ)上，不僅了解了系統(tǒng)各命題，還可認(rèn)識其等價性，進(jìn)而利于掌握證明分析中的關(guān)鍵定理思想方法。下面介紹幾個定理的等價證明，具體如下：

1.單調(diào)有界定理與閉區(qū)間套定理，主要是證明ξ的存在性與唯一性，具體如下：[an，bn][an+1，bn+1]→數(shù)列單調(diào)增加且有上界→數(shù)列有極限。

假設(shè)ξ→ξ∈[an，bn]。同時，ξ唯一。

2.區(qū)間套定理與有限覆蓋定理，證：利用反證法，兩個定理結(jié)論均不成立，即：H中的有限個開區(qū)間難以覆蓋[a，b]。此后將[a，b]進(jìn)行等分，使其成為兩個子區(qū)間，其中最少有一個子區(qū)間難以利用H中的有限個開區(qū)間覆蓋，則記其為[a1，b1]，此時[a1，b1][a，b]，并且b1-a1=1/2（b-a）。再將[a1，b1]進(jìn)行等分，使其成為兩個子區(qū)間，最少有一個子區(qū)間難以利用H中的有限個開區(qū)間覆蓋，記其為[a2，b2]，此時[a2，b2][a1，b1]，并且b2-a2=1/2（b1-a1）。上述步驟反復(fù)后，可獲得閉區(qū)間列，在其滿足一定條件下，可獲得區(qū)間套，其中的任意閉區(qū)間均難以利用H中的有限個開區(qū)間覆蓋，在此定理中，存在唯一點，由于H為[a，b]的一個開覆蓋，經(jīng)證明，必然存在屬于H的有限個開區(qū)間覆蓋[a，b]。

3.有限覆蓋定理與界點定理，證：E為非空，使用發(fā)證法，假設(shè)E在[a，b]上無界點，由于[a，b]屬于有界閉集，其一定被有限個開區(qū)間覆蓋，此后從[a，b]中取有限個點，各點的領(lǐng)域并起來可覆蓋[a，b]，二者矛盾，因此，假設(shè)不成立。

三、總結(jié)

綜上所述，實數(shù)連續(xù)性定理形式各異，但均論述了實數(shù)集的連續(xù)性，為解決相關(guān)問題，表達(dá)式及證明方式各異，本文證明了各定理的等價性，相信，日后學(xué)習(xí)者關(guān)于實數(shù)連續(xù)性的認(rèn)知將更加深刻。

參考文獻(xiàn)：

[1]姜文玲，丁杰.實數(shù)連續(xù)性定理的等價性的一種證明[N].天津職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，01：44-48.

[2]陳仕洲，吳捷云.實數(shù)系連續(xù)性八個基本定理等價性的證明[N].韓山師范學(xué)院學(xué)報，2014，02：10-33.

[3]廖學(xué)余.單圈證明——實數(shù)連續(xù)性的九個命題的等價性[N].鄂西大學(xué)學(xué)報，2012，01：87-90.

[4]楊旭.選擇公理的等價命題及應(yīng)用[N].四平師院學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，01：27-45.