方程在數(shù)學建模中的思想及應用研究

肖瀟

【摘 要】在大學數(shù)學學習中，常微分方程是非常重要的一項學習內容。在本文中，將就方程在數(shù)學建模中的思想及應用進行一定的研究。

【關鍵詞】方程；數(shù)學建模；思想；應用

1.引言

在初等數(shù)學中，方程類型有指數(shù)方程、三角方程以及線性方程等類型，而對于這部分方程來說，其在實際應用當中的作用有限，并不能夠對所有的實際問題進行解決。在該種情況下，要做好實際問題的研究，就需要能夠尋找能夠對部分條件進行滿足的未知數(shù)方程。其中，數(shù)學建模正是對實際問題當中復雜程度較高現(xiàn)象進行分析的有效方式，在實際數(shù)學知識學習中，通過對其中能夠以數(shù)學語言描述規(guī)律以及關系的發(fā)展，則能夠在將恰當數(shù)學關系進行抽象的基礎上實現(xiàn)向數(shù)學問題的轉化，并通過數(shù)學系統(tǒng)方式的應用求解數(shù)學問題，以此實現(xiàn)對現(xiàn)實問題的解釋。

2.常微分方程同數(shù)學建模的結合

對于事物來說，其始終處于發(fā)展與變化的過程當中，而其中部分對象的特性，也將隨著時間的發(fā)展而逐漸變化，且在變化當中具有一定的規(guī)律性，以此則能夠實現(xiàn)其未來狀態(tài)的預測，而要想尋找到對其控制的方式，則需要做好對象動態(tài)模型的建立。在根據(jù)不同類型對象進行建模處理之前，則需要能夠提前根據(jù)實際需要解決的問題類型以及建模目標進行假設以及簡化處理，之后再根據(jù)對象內部當中存在的規(guī)律以及類比情況列出相關的微分方程，在求解方程、將其實現(xiàn)為實際對象翻譯后做好相應的描述、分析等工作。數(shù)學建模的過程，其實質正是具有較強創(chuàng)造性思維的過程，在該過程中，將對實際問題本質進行分析的基礎上實現(xiàn)問題的解決，不僅內容來自實際，在獲得結果之后，也會將其科學的應用在實際問題的解決。根據(jù)該種情況，在面對實際問題需要處理時，就需要能夠提前選擇好解決問題的切入點，在充分聯(lián)系方程內容、特點的情況下體現(xiàn)數(shù)學建模思想。對于數(shù)學建模思想的培養(yǎng)而言，其為具有長期、持續(xù)特征的過程，并不會立即獲得效果，且同積極的鉆研具有不可分割的關系，同純粹能力不同，其在實際運行中也離不開相關的鍛煉以及培養(yǎng)，通常來說，在對模型建立時，其也將具有較為明顯的動態(tài)特點，該種特點的存在，則使我們在對方程進行推導時具有著非常繁瑣的特征，且具有十分簡明的結果，并在此基礎上給出正確的解釋。對此，在實際問題處理當中就需要對兩項內容進行充分而全面的結合，在對其作用充分發(fā)揮的情況下解決更多的實際問題。

3.數(shù)學建模中常微分方程的應用

3.1新產品推廣

在管理科學以及經濟學當中，經常需要對經濟變量邊際、變化以及增長相關問題進行研究，通常情況下，不僅需要能夠做好實際情況的充分把握，還需要在此基礎上按照要求建立模型，及時尋找到其中蘊藏的經濟變化規(guī)律，并做好預測以及分析處理。目前，模型具有著較多的類型，其中更常見的即為推廣、價格調整以及人才分配模型，在該項研究中，我們以推廣模型為案例進行研究。在該題目中，首先設某企業(yè)具有一項新產品需要面向市場推廣，t時刻下，該產品在市場中銷量為x（t），由于該產品在性能方面具有較好的表現(xiàn)，具有較好的宣傳力，對此，在t時刻，該產品的增dt/dx同x（t）之間成正比?？紤]到產品在銷售當中具有市場容量N，經過統(tǒng)計則可以發(fā)現(xiàn)，dt/dx對沒有對產品進行購買顧客的潛在銷量N-x（t）具有正相關關系，由此可得：

dt/dx=kx（N-x）

其中，常數(shù)k為比例系數(shù)，始終大于0，在對積分以及變量進行分離后，則可以獲得有：

x（t）=

所得到的該表達式即稱之為邏輯斯蒂曲線，由=以及=可以發(fā)現(xiàn)：當00，即銷量x（t）為單調增加，當x（t ）=時，=0。經過分析發(fā)現(xiàn)，當銷量為最大需求量N的50%時，此時該產品最為暢銷，當銷量沒有達到50%時，銷售速度則將處于不斷增加的狀態(tài)，當銷量在50%以內時，其銷量速度則將逐漸減小。

3.2動力學模型

在微分方程當中，動力學是早起內容，其基本定理即為f=ma。該定理也正是我們以微分方程解決動力關系問題的關鍵方式。當物理處于自由下落過程中時，有兩項將對其產生重要的影響，其中第一項因素為重力作用，第二項因素即為阻力作用。在這兩種因素中，物理下落速度降同重力間具有正相關的聯(lián)系，同空氣阻力具有負相關聯(lián)系。此時，則可以設運動員的質量為m，其在跳傘過程中，降落傘因受到空氣阻力影響，則將同下落速度間具有正比的關系。此時，求該將落下降速度的變化規(guī)律。具體解答方面，首先將空氣的阻力系數(shù)設為k，在t時刻下，物體的下落速度為v，于是在t時刻下，其將受到的力為f=mg-kv，根據(jù)牛頓第二定律，則可以列出微分方程為：m=mg-kv，在經過對變量的分析處理后，可得=，在經過積分處理后得到：-ln|mg-kv|=+C1，在求解后，則可以得到，當t取向正無窮情況下，可以獲得limv（t）=。

根據(jù)測定，k=αρs，其中，ρ為介質密度，s為物體在地面上投影面積，α為同物體形狀具有關聯(lián)的常數(shù)。在實際設計中，將根據(jù)該公式對降落傘所需的直徑大小進行計算，即當跳傘著在空中的時間足夠長時，其到達地面的速度同常速mg/k近似相等，且不會超出該常速，在該種情況下，該名跳傘著才能夠安全的降落到地念，且其自由落體將根據(jù)加速度g落到地面。

4.結束語

經過上文的一系列研究，我們則可以了解到，數(shù)學相關理論的形成， 正是為了解決實際生活當中問題而進行的，而在實際建立數(shù)學模型的過程中，也正需要使用數(shù)學理論作為指導使其能夠在實際問題解決當中實現(xiàn)自身作用的充分發(fā)揮，并提前做好理論形成情況以及理論自身的理解，以此更好的解決實際問題。在實際生活中，即在充分觀察問題的基礎上轉化理論向能力的過程，并通過建模方式的應用不斷實現(xiàn)常微分方程的求解，使其在相關領域當中能夠實現(xiàn)自身作用的充分發(fā)揮。通過該方面的研究，也為我們未來數(shù)學知識的學習帶來了新的思路，在未來學習當中，需要能夠做好該思想的把握，在實際當中更好的實現(xiàn)數(shù)學知識的運用。

【參考文獻】

[1]程文琪，葛虹.結構方程建模在管理學研究中的應用[J].統(tǒng)計與決策.2012（22）

[2]王曉.在偏微分方程教學中融入數(shù)學建模思想[J].懷化學院學報.2009（11）

[3]郭廣寒，劉庚.數(shù)學建模推進大學數(shù)學教學改革的探討[J].中國電力教育.2014（06）