剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)相對(duì)瞬心的動(dòng)量矩定理

劉小會(huì)+++侯睿+++王家林

摘 要：在理論力學(xué)教材中有關(guān)動(dòng)量矩定理內(nèi)容中，一般只給出矩心事固定點(diǎn)或質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理。文章從質(zhì)心動(dòng)量矩定理出發(fā)，推導(dǎo)出剛體做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理，進(jìn)一步指出對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理與對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理具有相同形式的條件。

關(guān)鍵詞：速度瞬心 動(dòng)量矩定理 剛體平面運(yùn)動(dòng)

中圖分類號(hào)：0313.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）04-0025-01

1 引言

動(dòng)量矩定理是力學(xué)中一個(gè)十分重要的定理，但是教材中只是講了動(dòng)量矩定理對(duì)于質(zhì)量心成立。本文將證明動(dòng)量矩定理不僅對(duì)固定點(diǎn)成立、對(duì)質(zhì)心成立，而且對(duì)速度瞬心成立，同時(shí)指出只有在特殊情況下對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理才具有與質(zhì)心的動(dòng)量矩定理同樣的形式。

2 對(duì)瞬心的動(dòng)量矩定理

如圖1所示C為質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心，Cx′y′z′為隨質(zhì)點(diǎn)組一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系。Oxyz為慣性坐標(biāo)系，O為慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)且和質(zhì)點(diǎn)組的速度瞬心p重合。在慣性坐標(biāo)系Oxyz中任意質(zhì)點(diǎn)mi的相對(duì)矢徑為ri，質(zhì)心C的相對(duì)矢心為rc。在此動(dòng)坐標(biāo)系

Cx′y′z′內(nèi)，任一質(zhì)點(diǎn)mi的相對(duì)矢徑ric。如果剛體只繞x軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理為[1]

JCε= ric×Fi （1）

式中JC為質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)質(zhì)心作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ε為質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度，F(xiàn)i 為作用到質(zhì)點(diǎn)mi的外部載荷。由于剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積，則相對(duì)于瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

JP=JC + Mr （2）

將式（2）代入到公式（1）并進(jìn)行整理可得：

JPε= ric×Fi + Mr ε （3）

式中M為質(zhì)點(diǎn)組的總質(zhì)量。如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)mi在動(dòng)坐標(biāo)系中的矢徑ric等于其在慣性坐標(biāo)系中的矢徑rip減去質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系中的矢徑rcp，即ric=rip-rcp。將其代入到公式（3）中整理可得：

JPε= riP ×Fi -rcp× Fi + Mr ε （4）

由于有空間力對(duì)瞬心p的矩MP（F）=riP×Fi，式（4）可簡(jiǎn)寫為：

JPε= M -rcp × Fi + Mr ε （5）

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理Mac= Fi，對(duì)上式中等號(hào)右邊第三項(xiàng)進(jìn)行簡(jiǎn)化可得： JPε= M -rcp × Mac + Mr ε （6）

對(duì)于質(zhì)心C點(diǎn)處得加速度由兩部分組成，切向加速度a 和OC連線相垂直，法向加速度a 順著OC方向。由于整體坐標(biāo)系中O點(diǎn)是物體運(yùn)動(dòng)的瞬心，所以切向速度vc=ω×rcp，式中ω為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)瞬心O的角速度。如果結(jié)構(gòu)繞固定軸x作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)質(zhì)心C求導(dǎo)可得質(zhì)心的加速度[2]

ac=ω×rcp+ ε×rcp=（ω×rcp）+ω× +ε×rcp （7）

（7）式中切線加速度a =ε×rcp+ ω× ，法向加速度a =ω×（ω×rcp），如圖2所示。

將式（7）代入到式（6）中，公式（6）中等號(hào)右邊第三項(xiàng)可寫為：

rcp×Mac= Mrcp×（ω×（ω×rcp））+Mrcp×（ω× ）+Mrcp×（ε×rcp） （8）

由于法向加速度a 和矢徑rcp方向相同，所以rcp×（ω×（ω×rcp））=0。三個(gè)矢量的二重叉積滿足公式[3] rcp×（ε×rcp）=（rcp·rcp）ε-（rcp·ε）rcp，即（rcp·ε）rcp。公式（8）可以簡(jiǎn)寫為：

rcp×Mac=Mr ε +Mr ×（ω× ） （9）

將公式（9）代入到公式（6）中可得

JPε+Mr ×（ω× ）= M （10）

這樣我們得到了基于瞬心的動(dòng)量矩定理，其形式較為復(fù)雜。但是，當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)質(zhì)心距離瞬心的距離不變時(shí)有 =0，則公式（10）可以簡(jiǎn)寫為

JPε+Mr ×（ω× ）= M （11）

公式（11）的形式和剛體平面運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理相同。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王鐸，程靳.理論力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.