一道課本習題背后的精彩

☉浙江紹興市建功中學曹青

一道課本習題背后的精彩

☉浙江紹興市建功中學曹青

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程目標的總目標部分明確指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，學生能體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.上述目標，無疑給教師的教學提出了更高的要求，可見教師教學時不僅要關(guān)注學生知識的學習過程，也要關(guān)注學生能力的培養(yǎng).本文就以一道九年級下學期的課本習題的教學為例，通過變形、推廣、延伸，展示教學的全過程，與同行交流.

一、原題呈現(xiàn)

九年級（下）“銳角三角函數(shù)”復習題中有這樣一道習題：“證明：三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半.”

看到這道題，學生可以畫出示意圖，并將文字語言轉(zhuǎn)換成如下的幾何語言.

如圖1，已知△ABC.

圖1

圖2

證明：如圖2，過點A作AH⊥BC，垂足為H.

分析：本題是三角函數(shù)與思想方法的綜合運用，是求三角形面積的一種重要方法，教材中以習題方式呈現(xiàn)，就

∴AH=AC·sin C.是給學生一種求三角形面積的新方法的探索機會.筆者認為本題在一章的最后復習題中出現(xiàn)，也是想讓學生能從這個結(jié)論中經(jīng)歷探索其他四邊形面積的求法的過程，而并非讓學生就題論題，只要解決本題即可.教師在教學本題時，要注重引導學生注意文字語言向幾何語言的轉(zhuǎn)換過程，需強調(diào)幾何語言的規(guī)范性，同時可以讓學生用多種方法證明，注重學生發(fā)散性思維的培養(yǎng).從考查內(nèi)容上看，本題注重對基礎(chǔ)知識、基本技能的考查，同時特別強調(diào)對基本活動經(jīng)驗、轉(zhuǎn)化思想的考查；從考查方式上看，本題試圖讓學生經(jīng)歷多種解法的思考過程，可見一題多解、尋找解題的通性通法仍然為解題教學一個永恒的話題；從考查意義上看，本題注重知識間連貫性的考查，一以貫之地將三角形面積的研究向四邊形面積的研究發(fā)展，是知識的拓展、運用的延伸，提醒教師授課時要重視知識發(fā)生、發(fā)展、探究的過程，把更多思考的空間和時間留給學生.

二、其他版本教材的探究

教材，是命題的發(fā)源地，也是命題的天然素材，可謂取之不盡、用之不竭，每年都有大量的中考試題直接源于教材，或以此為基礎(chǔ)，改編、生成，煥然一新.所以，在中考復習前，用好教材這個重要的資源庫，大有裨益，畢竟教材是經(jīng)過專家多次打磨、精挑細選而成的作品，探其源、究其變、融其法一定是不可多得的捷徑.筆者翻閱人教版教材，發(fā)現(xiàn)也有類似的問題.

人教版九年級（下）第85頁第12題如下：

?ABCD中，已知AB、BC及其夾角∠B（∠B是銳角），能求出?ABCD的面積S嗎？如果能，用AB、BC及其夾角∠B表示S.

圖3

解：看到這道題，學生可以畫出示意圖（如圖3）加以解決.連接AC，可以把?ABCD分成兩個全等的三角形，根據(jù)“三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半”，可知=AB·BC·sin B，所以S=?ABCDAB·BC·sin B.

分析：本題是蘇科版教材習題的變形，難度略有上升.事實上，三角形是我們研究幾何圖形的基礎(chǔ)，當三角形研究過后我們經(jīng)常會將其結(jié)論推廣到四邊形中，比如，全等三角形研究完后我們會研究全等四邊形，這是一種經(jīng)驗的遷移，也是學生必須具備的研究數(shù)學的一種方式.平行四邊形又是四邊形中非常特殊的一種圖形，可以看作是由兩個全等的三角形所組成的，所以利用三角形的相關(guān)結(jié)論，很容易得到平行四邊形面積的求法.

三、一般化探究

研究完平行四邊形的面積，將條件再一般化，任意四邊形的面積的求法是否也可以用類似的方法研究呢？

圖4

解：連接AC，可以把四邊形ABCD分成兩個三角形，根據(jù)“三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半”，可知S△ABC=AB·BC·sin B=AD·DC·sin D，所以S=四邊形ABCDAB·BC·sin B+AD·DC·sin D.

分析：本題是人教版教材習題的變形，將條件一般化進行研究.事實上，此題的提出是學生十分容易想到的，因為特殊四邊形研究過后，必然會對一般四邊形進行研究，這也是我們研究數(shù)學的一種常用做法.從解題教學的角度看，此問題“源”于學生對題目條件之間聯(lián)系性的理解，體現(xiàn)了知識間的連續(xù)性.

縱觀以上問題，都“源”于課堂上經(jīng)驗、方法的積累.事實上，“三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半”這一結(jié)論對于學生來說并不陌生，課堂上教師也會研究，但是鑒于課堂進度、教師未考慮學生思維的發(fā)展性等諸多原因，教師在教學時往往給予學生探索的時間和空間遠遠不夠，使學生對這一結(jié)論的認識和運用都偏淺，缺少該有的過程體驗，也未能獲得該有的深層次結(jié)論.所以教學時，這一習題一定要用好，使其背后蘊含的知識間的聯(lián)系讓學生深刻體會到.

四、推廣探究

上述研究僅限于對三角形、四邊形的邊、角與面積之間的探索，僅僅體現(xiàn)了一法多用.而數(shù)學的教學又講究一題多解，所以對于四邊形我們還可以從對角線、對角線的夾角進行深入研究.

如圖5，設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD所形成的銳角為α，分別過點A、C作AH⊥BD，CG⊥BD，垂足分別為H、G.

圖5

∵在Rt△AHO與Rt△CGO中，AH=OA·sinα，CG=OC·sinα，

分析：此法將四邊形分割成兩個三角形進行研究，從而求出四邊形的面積與對角線的長及對角線的夾角之間的關(guān)系.此法源于學生對菱形面積求法的理解，八年級在學習菱形時，學生知道菱形的面積等于對角線乘積的一半，繼而得到結(jié)論“只要一個四邊形的對角線互相垂直，則它的面積總是等于對角線乘積的一半”，當時所用到的方法就是將其面積拆分成兩個三角形的面積進行研究.

其實，此結(jié)論完全可以直接轉(zhuǎn)換成三角形的面積加以解決.

如圖6，過點C作BD的平行線，在平行線上取CM=BD.

過點A作AN⊥CM，垂足為N.

易得S四邊形ABCD=S△ACM.

∵CM∥BD，

∴∠ACM=∠AOB=α.

圖6

由“三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半”，可得S=MC·AC·sin∠ACM=MC·△ACMAC·sinα.

分析：此法巧妙地將四邊形的面積轉(zhuǎn)換成三角形的面積，繼而轉(zhuǎn)換成“題源”，將四邊形與三角形緊密相連，相當巧妙.此法源于學生對三角形面積的求法的理解及對四邊形與三角形關(guān)系的理解，在學生的理解中，看到四邊形很容易聯(lián)想到三角形，從而進行轉(zhuǎn)換.當然，此解法還可以轉(zhuǎn)換成平行四邊形加以解決，如過點A、C作BD的平行線，過點B、D作AC的平行線，交點分別為E、F、G、H，則四邊形EFGH是平行四邊形，又知四邊形ABCD的面積是四邊形EFGH面積的一半，根據(jù)“人教版教材習題”可得結(jié)論.

將四邊形面積與邊、角的關(guān)系推廣到四邊形面積與對角線、對角線所成的銳角的關(guān)系并不是偶然，因為四邊形的對角線是研究四邊形時重要的一個研究要素，很容易產(chǎn)生不同的作法、新的認識，這就是學生在課堂上實現(xiàn)創(chuàng)造的體現(xiàn).

弗萊登塔爾曾說：學習數(shù)學唯一正確的方法是實現(xiàn)“再創(chuàng)造”.故在課堂上模仿是需要的，如從三角形的邊、角、面積的研究到四邊形邊、角、面積的研究，但模仿只能讓學生“學會”，并未“會學”，所以教師要關(guān)注學生在課堂上知識的創(chuàng)新、整合，如從四邊形邊、角、面積的研究到四邊形對角線、夾角、面積的研究，讓學生經(jīng)歷已有的體驗到未有的經(jīng)驗過渡的過程，得到更多的收獲.

五、反思探究

上述研究結(jié)束后，可以讓學生回到最初的地方再次體會、感悟，比如，三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半，即AC·BC·sin C，若∠C=90°，會怎么樣？這樣學生可以體會到當∠C=90°時，=AC·BC，所以sin90°=1.讓學生感受到原來銳角之外也有三角函數(shù)，為日后的數(shù)學學習埋下伏筆.同時還能研究鈍角的問題，讓學生感受鈍角三角函數(shù)的存在，這樣會加深學生對三角函數(shù)、三角形面積的求法的理解.

六、感悟思考

1.重結(jié)果更重過程.

中考的作用本是初中教學的指揮棒和方向標，對平時的教與學起著指導性的作用.但隨著學校多方因素的干擾，“功利性”愈演愈烈，只求結(jié)果、注重高分，讓素質(zhì)教育流于形式，凡是中考考點一定進行大量的機械訓練，認為數(shù)學教學等同于解題教學、題型教學，更甚者認為是一種刺激—反應—模仿的學習過程.這樣的模式嚴重遏制了學生能力的后續(xù)發(fā)展，所以日常的教學中一定要關(guān)注知識發(fā)生、發(fā)展的過程，課堂上，多給學生思考的時間和空間，樹立起正確的教學觀念，認識到學生獲得知識必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上.文中三角形面積的探索恰好是很好的一例，在素質(zhì)教育的課堂上要多多出現(xiàn)，同時，課堂上要多鼓勵學生自主探究問題，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，讓學生的發(fā)散性思維得到培養(yǎng).

2.重知識更重能力.

無論什么性質(zhì)的考試，都非常注重對“四基”的考查.所以教師的課堂教學，應注重學生對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解和掌握，感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗.故在教學活動中，教師應首先夯實學生的基礎(chǔ)，確保深刻理解，同時鼓勵與提倡多樣化教學，不僅要求目標、手段多樣化，更要注重解決問題策略的多樣化，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，通過學生自主的思考、嘗試等過程，創(chuàng)造性地解決問題，從而提高數(shù)學的能力.本題的出發(fā)點就是從一個簡單的三角形公式出發(fā)，重視基礎(chǔ)知識、基本技能，教師教學時開展研究性學習，讓學生獲得該有的數(shù)學經(jīng)驗.

3.反思，不忘初心.

波斯納說：經(jīng)驗+反思=成功.所以無論是教師的教還是學生的學都要有反思的過程.事實上，數(shù)學知識的教學，一定要多關(guān)注知識的“生長點”和“延伸點”，把每節(jié)課上成一節(jié)生長延伸數(shù)學課，從一個小問題出發(fā)，讓學生的數(shù)學思維自由生長，延伸出各式各樣的好問題，把每一堂課的知識整合成一個體系，注重知識的結(jié)構(gòu)與體系之間的聯(lián)系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，最終無論問題延伸到何方，都要回過頭再去看那顆“初心”，這樣會有更高層次的理解，可謂“會當凌絕頂，一覽眾山小”.本題的教學自成一個體系，從三角形出發(fā)，研究到四邊形，再推廣到多種方法，最后回到三角形，看到別人不曾看到的知識.

一道課本習題，有簡單的結(jié)論，有簡單的方法，又有不簡單的思考，不簡單的精彩，中考復習時，一定要為學生數(shù)學的長遠發(fā)展考慮，這才是每位教師該做的.