?？碱}講評(píng)：由淺及深·漸次推進(jìn)·變式檢測
——以中考?？及殃P(guān)題講評(píng)為例

☉福建大田縣第五中學(xué)葉鐘布

?？碱}講評(píng)：由淺及深·漸次推進(jìn)·變式檢測
——以中考模考把關(guān)題講評(píng)為例

☉福建大田縣第五中學(xué)葉鐘布

中考?？碱}講評(píng)是中考復(fù)習(xí)的一項(xiàng)重要教學(xué)任務(wù)，如何取得高質(zhì)量的講評(píng)效果，也是我們共同的追求.本文以一道中考模考把關(guān)題為例，先給出該題的思路突破和解后反思，再給出該題的教學(xué)微設(shè)計(jì)，供研討.

一、模考題的思路突破與解后反思

?？碱}：如圖1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線CD上一點(diǎn)，且AF⊥AE，射線EF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G，與射線AD交于點(diǎn)M.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求證：△

AEF∽△ABD；

（2）在（1）的條件下，連接AG，設(shè)BE=x，tan∠MAG= y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）當(dāng)△AGM與△ADF相似時(shí)，求BE的長.

圖1

思路突破：

（1）分析證明△AEF∽△ABD的條件，發(fā)現(xiàn)只能順利找到一組角（∠BAD與∠EAF）對(duì)應(yīng)相等，但是缺少其他對(duì)應(yīng)角的直接發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)向?qū)ふ疫呏g的比例關(guān)系，會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，可以由△ABE∽△ADF，得，而這組對(duì)應(yīng)邊成比例的式子恰恰也可作為△AEF∽△ABD的重要條件，于是證明思路獲得貫通.

圖2

（2）如圖2，如果在△MAG中思考，需要猜想該三角形是否為直角三角形.如何確定是直角三角形呢？只需要證出△AMG∽△FMD，即需要證出.而由（1）中△AEF∽△ABD可得∠AFM=∠ADG，結(jié)合對(duì)頂角∠AMF=∠DMG，可證出△AMF∽△GMD.于是貫通思路.接下來就可以“等角轉(zhuǎn)化”，即tan∠MAG=tan∠MFD，思考MD與DF的比值即可.借助△ABE∽△ADF，得，把數(shù)值、參數(shù)代入比例式，可得.接下來攻克“如何用含x的式子表示MD”.可以考慮△FMD∽△FEC，得，把數(shù)值、參數(shù)代入比例式，可得于是待求的

解后反思：事實(shí)上，在圖2中，我們發(fā)現(xiàn)了∠AGM=∠FDM=90°，根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，可以確認(rèn)A、G、D、F四點(diǎn)共圓（且是在以AF為直徑的圓，如圖3）.如果能基于四點(diǎn)共圓的高觀點(diǎn)，也可利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”快速轉(zhuǎn)化得tan∠MAG=tan∠MFD.

（3）該題放開點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)位置，需要考慮點(diǎn)E在線段BC、線段CB的延長線上時(shí)的不同情況.先考慮點(diǎn)E在線段BC上，這時(shí)有一個(gè)難點(diǎn)是△AGM與△ADF相似時(shí)，需要明辨它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這是兩個(gè)直角三角形，所以只需要考慮兩個(gè)銳角的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系，而由于∠AMG是△AFM的一個(gè)外角，所以∠AMG只能對(duì)應(yīng)∠AFD，故這兩個(gè)三角形相似時(shí)，只有一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，即△AGM∽△ADF.

圖3

圖4

解后反思：圖4中，仍然有A、G、D、F四點(diǎn)共圓（且是在以AF為直徑的圓上），并且此時(shí)點(diǎn)D恰為AM的中點(diǎn)！

二、解題教學(xué)的微設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）預(yù)熱問題.

例1題干同上文“?？碱}”，當(dāng)點(diǎn)E在邊CB上時(shí)，

（1）求證：△ABE∽△ADF；

（2）求證：△AEF∽△ABD；

（3）連接AG，求證：△AGM∽△FDM；

（4）有人發(fā)現(xiàn)A、G、D、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，你覺得有道理嗎？為什么？

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）拾階而上.

例2題干同上文“?？碱}”，點(diǎn)E仍在線段BC上，連接AG，設(shè)BE=x，tan∠MAG=y.

（1）當(dāng)x=1時(shí)，求y的值；

（2）當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求y的值；

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）挑戰(zhàn)難題.

例3題干同上文“模考題”，當(dāng)△AGM與△ADF相似時(shí)，解決下列問題：

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，有人說只存在一種可能：△AGM∽△ADF，請(qǐng)分析“這種推定”是否正確；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，你覺得△AGM與△ADF相似時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系有幾種可能？為什么？

（3）求BE的長.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）變式再練.

變式題：如圖5，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線BA上一點(diǎn)，且DF⊥DE，射線EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)G，與射線DA交于點(diǎn)M.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求證：△DEF∽△DCA；

（2）在（1）的條件下，連接AG，設(shè)CE=x，tan∠MDG= y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

圖5

（3）當(dāng)△DGM與△DAF相似時(shí)，求CE的長.

變式意圖：為了檢驗(yàn)聽課效果，只是對(duì)模考題進(jìn)行圖形位置的變換，其余數(shù)據(jù)、設(shè)問方式都沒有改動(dòng)，但是學(xué)生已不可能照著原來的解答簡單改寫，而是需要另外構(gòu)圖并組織語句，能有效檢測聽課效果.

三、進(jìn)一步的思考

1.深入思考并解讀?？及殃P(guān)題的命題意圖.

各個(gè)地區(qū)的模考題往往都是命題組深入構(gòu)思，貼近本地區(qū)命題風(fēng)格的模擬題，所以講評(píng)前教師務(wù)必深入思考并解讀出這些?？及殃P(guān)題的命題意圖，不同小問之間的關(guān)系是遞進(jìn)亦或并列，有時(shí)第（1）小問解答是輕松的，但是如果沒有深入反思或進(jìn)行成果擴(kuò)大，則對(duì)后續(xù)問題求解是不利的，甚至難以獲得思路突破.上文在?？碱}第（1）問的解答之后，我們?cè)o出反思回顧，并反思出四點(diǎn)共圓的結(jié)構(gòu)，該四點(diǎn)共圓在后續(xù)問題的探究中都有體現(xiàn).

2.圍繞?？碱}開展“一題一課”教學(xué)微設(shè)計(jì).

近兩年來的《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）有大量涉及考題研究的案例文章，這些文章多數(shù)不滿足于解題思路的獲得、一題多解的探究、多解歸一的結(jié)構(gòu)揭示，而是從解題研究走向解題教學(xué)，設(shè)計(jì)了很多優(yōu)秀的教學(xué)微設(shè)計(jì)，對(duì)于教師讀者來說，很方便就可拿到課堂教學(xué)中去直接開展相關(guān)教學(xué).受此啟發(fā)，筆者在上面也實(shí)踐跟進(jìn)，給出“一題一課”教學(xué)微設(shè)計(jì)，試圖從簡單情形入手，將難點(diǎn)進(jìn)行分解，各個(gè)突破，最后迎難而上，挑戰(zhàn)難題.

3.將模考題簡單改編變式后反饋聽課效果.

對(duì)于難題講評(píng)來說，如果只是教師分析得詳實(shí)、變式豐富，常常是很多學(xué)生感嘆于教師對(duì)一道試題研究之深，但更多學(xué)生雖然聽懂了，獨(dú)立再做卻還是有很多障礙點(diǎn)難以通過，一個(gè)有效的反饋方式是開展變式再練，像上面我們只是把模考題的圖形位置進(jìn)行簡單變換，數(shù)據(jù)沒有變化，甚至對(duì)應(yīng)的字母也沒有改編，如果學(xué)生真正聽懂了，應(yīng)該可以獨(dú)立演算出來，可有效檢測和反饋教學(xué)效果.

1.孫莉.思路生成貴在自然，一題一課追求簡約——一道考題的思路突破與習(xí)題課設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

2.朱國生.反思考題難點(diǎn)，預(yù)設(shè)“一題一課”——以2016年江蘇南通中考卷第28題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

3.吳忠妙.一道考題的思路、難點(diǎn)與教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

4.付小飛.明辨并列與遞進(jìn)，引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.