一道“網研”幾何難題的思路探求與教學思考

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校許瑩潔

一道“網研”幾何難題的思路探求與教學思考

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校許瑩潔

隨著網絡信息技術的普及，各地試題資源往往能借助于自媒體第一時間在一些QQ群、微信平臺上傳播，特別是一些設計精巧的較難平面幾何題往往能吸引很多同行的研究興趣，面對復雜的構造，嘗試作輔助線但思路受阻的解題心得、柳暗花明貫通思路后的悠然神會，總是較難幾何題帶給我們的心理體驗.本文記錄最近在某QQ群里一道幾何難題的思路突破，同類鏈接，并跟進教學思考，供分享.

一、考題及思路突破

考題1：在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，2），點P、Q分別是x軸正半軸、y軸正半軸上的動點，以AP為直徑作⊙M，與x軸交于另一點B.

（1）如圖1，若OQ=2OP，設線段PQ與線段OA交于點C，求證點C在⊙M上；

（2）若OQ=2OP，連接AQ，當AQ與⊙M相切時，求點P的坐標；

（3）如圖2，若OQ=2OP-4，當點P在點B左側時，連接BQ交⊙M于D，小南同學經過演算，發(fā)現(xiàn)BD·BQ的值不會發(fā)生變化！請判斷小南同學的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.思路突破：

圖1

圖2

圖3

（1）這一小問的關鍵是證出AO⊥PQ，這樣就有∠ACP= 90°，從而90°圓周角所對的弦AP是直徑，于是點C在圓M上！有了明確的目標（證AO⊥PQ）之后，就容易想到證△AOB∽△POQ，從而實現(xiàn)問題的突破.

（2）如圖3，當QA與⊙M相切時，設P（m，0）、Q（0，2m），作AD⊥y軸于點D，則容易證出△ADQ∽△ABP.于是，代入數(shù)據(jù)與參數(shù)得，從而得出m=.故點P的坐標，0）.

（3）猜想BD·BQ的值不會發(fā)生變化，理由如下：

圖4

圖5

由乘積式的形式，我們可聯(lián)想到過D點作DG⊥BQ，交BO于G，這樣構造出△BDG∽△BOQ，可得比例式=，化為乘積式BD·BQ=BO·BG，顯然，要想乘積式BD·BQ為定值，只要BG為定值即可，接下就是重點攻克BG是否為定值.連接AD、AB，可以根據(jù)互余的性質，轉換出兩組銳角相等，即∠BDA=∠PDG，∠ABD=∠PGD，于是△ABD∽△PGD，可得比例式.而前面的△BDG∽△BOQ會帶來.可設P（m，0），則Q（0，2m-4）.代入比例式，解出PG=m-2.于是OG=OP-PG=m-（m-2）=2，至此柳暗花明、思路貫通：G為OB的中點！即BD·BQ=2×4= 8.

方法二：由上面方法的分析，解題的關鍵是求證G為OB的中點.向著這一目標，我們還可構造直徑BF（延長BM交圓于F），再連接FD交OB于G點，連接FP.我們可以得出PF=AB=2，∠GDB=∠FDB=90°，可以證出△FPG∽△BOQ，可得比例式所以PG=OQ.設 P（m，0），則Q（0，2m-4），PG=m-2.于是OG=OP-PG=m-（m-2）=2.再由△BDG∽△BOQ，可得比例式則BD·BQ=BO·BG=2×4=8.問題獲解.

二、解后反思、易錯分析與同類鏈接

易錯分析：這道較難幾何題主要難在第（3）問的思路突破.不但前兩問不能啟發(fā)思路，反而前兩問的求解會干擾思路.比如，筆者最初就是思考將第（3）問轉向上一問的模式進行求解，考慮到OQ=2OP-4，由于4與OB的長相等，故在Q點上方4個單位取點E，恰好此時OE= 2OP，從而構造出圖6進行分析，但是思路受阻.還有一個易錯點是：在圖6中，連接OA，容易誤認為A、O、D三點共線，也會造成思考走偏方向，導出矛盾.

圖6

從后來成功求解的圖4、圖5來看，過點D作DG⊥BQ是十分重要的，因為如此一來目標就可明確為證G為OB的中點，從而實現(xiàn)問題突破.

同類鏈接：在思考上面考題的思路時，筆者曾網絡檢索，有一些同類題，最早的貌似出自以下一道考題，這里不妨鏈接如下，供有興趣的同行對比、研習.

考題2：（2002年湖北武漢中考題）如圖7，在直角坐標系中.點E從O點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，點F從O點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿y軸正方向運動.B（4，2），以BE為直徑作⊙O1.

圖7

圖8

（1）若點E、F同時出發(fā)，設線段EF與線段OB交于點G，試判斷點G與⊙O1的位置關系，并證明你的結論.

（2）在（1）的條件下，連接FB，幾秒時FB與⊙O1相切？

（3）如圖8，若點E提前2秒出發(fā)，點F再出發(fā)，當點F出發(fā)后，點E在A點的左側時，設BA⊥x軸于點A，連接AF交⊙O1于點P，試問：AP·AF的值是否會發(fā)生變化？若不變，請說明理由并求其值；若變化，請求其值的變化范圍.

說明：限于篇幅，這里不再給出這道考題的解析，思路完全同考題1.

三、教學預設與變式再練

以下我們主要圍繞該題第（3）問在解題教學時如何突破解題難點設計一些教學環(huán)節(jié).

先讓我們把第（3）問重新表述如下：

考題3：如圖2，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，2），點P、Q分別是x軸正半軸、y軸正半軸上的動點，且OQ=2OP-4.以AP為直徑作⊙M，與x軸交于另一點B.當點P在點B左側時，連接BQ交⊙M于D，求證BD·BQ的值不會發(fā)生變化.

輔助問題1：過點D作DG⊥BQ交x軸于G，求證：△BDG∽△BOQ.

輔助問題2：連接AD、AB、PD，求證：△PDG∽△ADB.

輔助問題3：求證

輔助問題4：設P（m，0），用含m的式子表示點Q的坐標.

輔助問題5：求證G是OB的中點；

輔助問題6：BD·BQ的值可以轉化為哪兩條線段之積？

設計說明：上述6個輔助問題其實就是解題的系列步驟，輔助問題就是問題鋪墊，學生拾級而上，就可獲得問題最終的突破.

在講評之后，還可跟進如下的變式改編、鞏固再練.

變式再練：在平面直角坐標系中，點A的坐標為（6，3），點M、N分別是x軸正半軸、y軸正半軸上的動點，以AM為直徑作⊙P，與x軸交于另一點B.

（1）如圖9，若ON=2OM，設線段MN與線段OA交于點C，求證點C在⊙P上；

（2）若ON=2OM，連接AN，當AN與⊙P相切時，求點N的坐標；

圖9

圖10

（3）如圖10，若ON=2OM-4，當點M在點B左側時，連接BN交⊙P于D.

①連接AD、DM，作DH⊥BN，交OB于H點，求點H的坐標；

②求證BD·BN是一個定值.

四、兩點思考

1.難題求解重在思路突破，回到基本概念去尋找自然的解法.

難題之難常常在于讀不懂題意，或由于某些信息的干擾，導致解題方向走偏，耗時費力.上面在考題1解后的易錯分析中已指出筆者探求思路過程中一些“白勞”.而從最后成功求解的經驗來看，回到基本概念，構造相似三角形是成功突破的關鍵.這也啟發(fā)我們解題時要善于回到基本概念去尋找自然而然的解題念頭，而不是鉆在一個模式之中跳不出思維定式.特別是像考題1這樣的前兩問與第三問并沒有多大關聯(lián)的試題，往往容易干擾我們的有效思考，值得警惕.當然，這里也需要從命題角度展開思辨，對于惜時如金的考場試題，如果把幾個無甚關聯(lián)的小問拼湊在一起，看似有形式上的聯(lián)系，但解題思路卻無甚聯(lián)系，這種題建議慎用.

2.命題檢測慎用平面幾何難題，平時教學時可通過輔助問題分解難點.

根據(jù)我們的命題研究、解題經歷，在各級重大考試中，一旦出現(xiàn)一道較難的平面幾何題，則常常是學生失分的“重災區(qū)”，究其原因，并不一定是學生幾何能力下降，而是很多較難的平面幾何題往往都需要復雜的、技巧較高的構造、轉化，這對于限時答題、大容量試卷來說，顯然學生沒有足夠的時間來深入思考，故命題檢測時建議慎用較難幾何題.現(xiàn)在想來，國家課程標準一再降低平面幾何的教學要求，也是有道理的，值得每一個命題者思考.這里也不得不評說目前個別地區(qū)的命題風格，過分傾向于繁雜幾何題的考查，有些中考幾何題需要構造3條輔助線才能順利解決，有的幾何題需要技巧極高的相似構造，并且需要連續(xù)使用2~3次相似三角形（像上面考題1的第（3）問）才能貫通思路.而這些超高要求，在國家課程標準中都是不作考試要求的.當然，在平時教學中，我們也可傾聽著名特級教師李庾南老師所指出的“下要保底，上不封頂”的教學要求，即可以利用數(shù)學習題課、活動課或課外安排優(yōu)秀學生深入探究一些有挑戰(zhàn)的幾何難題.在開展較難幾何題講評時，我們在上面設置輔助問題的做法，對引導學生自主理解難題有較好的效果.

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3.付小飛.明辨并列與遞進，引導分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學思考［J］.中學數(shù)學（下），2016（7）.

4.章建躍.“題型+技巧”的危害［J］.中小學數(shù)學（高中版），2010（11）.