探究考題研發(fā)課例，切實提升復習效益
——以2016年廣東廣州第24題教學為例

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心陳莉

探究考題研發(fā)課例，切實提升復習效益
——以2016年廣東廣州第24題教學為例

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心陳莉

中考復習階段的備課，重在選題，支持入選例題講評的理由可以有很多，比如，貼近某知識點選題，或依據(jù)某數(shù)學方法或解題策略選題，或嘗試由一道題關聯(lián)多個知識點、數(shù)學思想方法，以達到精選精練，通過解題教學發(fā)揮例題的價值.本文擬結(jié)合近期筆者在中考二輪復習期間一道例題的備課、教學經(jīng)歷，闡釋中考復習時例題預設的一些思考，供研討.

一、考題及思路突破

考題：（2016廣東廣州中考卷，第24題）已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B.

（1）求m的取值范圍.

（2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點P，并求出點P的坐標.

思路簡述：

（1）需要考慮兩個方面.第一，由二次函數(shù)的定義知二次項不為0，所以m≠0.第二，根據(jù)拋物線與x軸相交于不同的兩點，得對應的一元二次方程mx2+（1-2m）x+1-3m=0的根的判別式為正數(shù)！所以Δ=（1-2m）2-4m（1-3m）= 16m2-8m+1=（4m-1）2＞0，故4m-1≠0，解得m≠.綜上可知，m的取值范圍是m≠0且m≠.

（2）首先要理解待證的方向，即開展目標解析，這是一個過定點問題，也就是無論x取何值，都與參數(shù)m無關，那就需要將二次函數(shù)重新變形、整理，y=mx2+（1-2m）x+ 1-3m=mx2+x-2mx+1-3m=（x2-2x-3）m+x+1，這一步變形十分關鍵，因為此時m是否發(fā)揮作用，與（x2-2x-3）有關，只要x2-2x-3=0，那么y的值便與m的取值無關，也就是說拋物線必過定點.解方程x2-2x-3=0，得x1=3，x2=-1.

當x=3時，y=9m+3-6m+1-3m=4，即P（3，4）；

當x=-1時，y=m-1+2m+1-3m=0，點（-1，0）是x軸上的點，不合題意，舍去.

故該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的點P（3，4）.

（3）由于上一問中已確定了點P的坐標為（3，4），則△ABP的面積就由邊AB的長決定，我們的目標就是設法用含m的式子表示AB的長，這樣S△ABP=×AB×yP=2AB.接下來就是要求出點A、B的坐標（用含m的式子表示）.一元二次方程mx2+（1-2m）x+1-3m=0中，由求根公式，得所以x1=，可判定可判定于是S△ABP=

第（3）問另解思考：

首先，求方程mx2+（1-2m）x+1-3m=0的根時，可以使用十字相乘法繞開求根公式；

其次，A、B兩點的距離可以利用根與系數(shù)的關系進行簡化運算（繞開求根公式），即使用|x1-x2|=

圖1

二、考題的教學記錄

教學環(huán)節(jié)（一）基礎熱身.

例1已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B.

（1）當m=1時，求點A、B的坐標；

（2）求m的取值范圍；

（3）小成同學發(fā)現(xiàn)，該拋物線一定經(jīng)過x軸上一個定點，請判斷“小成發(fā)現(xiàn)”是否正確，并說明理由.

教學記錄：引導學生由特殊值出發(fā)，感受點A、B的坐標，并計算根的判別式，練習了原考題的前兩問，第（3）問要求學生運用求根公式或十字相乘法，獲得發(fā)現(xiàn)，對于后面難題的突破有所鋪墊.

教學環(huán)節(jié)（二）拾級而上.

例2已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m.（1）當x=-1時，求y的值.（2）當x=3時，求y的值.

（3）小南演練上述兩題之后，猜想：該拋物線一定經(jīng)過兩個定點.你覺得“小南發(fā)現(xiàn)”是否正確？如果正確，請證明他的發(fā)現(xiàn)；如果不正確，舉出反例.

教學啟示：安排兩個特殊值引路，讓學生感受該拋物線會經(jīng)過兩個定點，并且需要證明，針對原考題的第（2）問進行訓練.

教學環(huán)節(jié)（三）挑戰(zhàn)難題.

例3已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B，且經(jīng)過第一象限內(nèi)一個定點P.

（1）求定點P的坐標.

（2）求AB的長（用含m的式子表示）.

教學記錄：第（1）問是延續(xù)考題的一個問題，然后求出AB的長（注意需要含絕對值符號表示），有了鋪墊之后，有利于第（3）問的思路獲取，這樣就可把第（3）問的教學重點用在分析取值范圍上，并且安排學生從不同角度思考.

教學環(huán)節(jié)（四）變式再練.

變式檢測題：已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+2-8m與x軸相交于不同的兩點A、B.

（1）求m的取值范圍.

（2）求線段AB的長（用含m的式子表示）.

（3）小潔發(fā)現(xiàn)：該拋物線會經(jīng)過兩個定點！請判斷“小潔發(fā)現(xiàn)”的真假，并說明理由.

（4）該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點M，直接寫出點M的坐標.

（5）當1≤m≤4時，由（4）求出的點M和點A、B構成的△ABM的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應的m值.

變式意圖：這里主要變式了拋物線解析式的系數(shù)，并且在第（5）問增設了一個最值，原題只有最大值，因為所給的m只是半開半閉區(qū)間，但這里給的是閉區(qū)間，所以既有最大值也有最小值.

三、教學思考

1.深刻理解考題，從不同角度貫通思路.

面對有難度的中考綜合題，教師要在貫通思路的基礎上，深刻理解考題的考查意圖，并在回顧反思時，從不同角度貫通思路，看清問題結(jié)構.如上面“考題”的思路簡述時，我們在突破考題第（3）問時，在不同的解題路徑中都預設不同的方法，滿足不同學生的思維風格，便于學生尋找思路切入點.

2.理解班情學情，精心預設教學環(huán)節(jié).

在教師對問題有深刻理解的基礎上，結(jié)合本班學生的班情學情，圍繞考題精心預設教學環(huán)節(jié)，通過增設一些鋪墊式問題，讓學生經(jīng)過熱身練習，拾級而上，挑戰(zhàn)難題，在這個過程中，既解決了一個問題，同時也收獲了難題突破的思維方法或解題策略，即學會以退為進、各個突破、目標解析等解題策略.

3.加強效果反饋，變式改編鞏固再練.

開展較難問題的變式再練是《中學數(shù)學（下）》近年來多篇課例研究倡導的教學要求，我們深受啟發(fā)，也在日常的解題教學中進行嘗試.特別是針對一些較難題通過增設小問，使得較難題的小問擴充到5個小問左右，每個小問20分，也便于百分制的評分，又能調(diào)控學生的基礎得分，并能鼓勵優(yōu)秀學生挑戰(zhàn)難題、向上生長，使得解題教學的效果得到反饋、鞏固和拓展.

四、寫在后面

將近一個學期的中考復習有很大的精力都在解題教學、試題講評上，如何開展這類課型研究，值得我們認真對待和思考.筆者認為，近年來《中學數(shù)學（下）》刊發(fā)的大量的考題教學的“一題一課”教學設計研究是值得廣大一線教師深入開展的，一方面這類課例豐富起來，可以讓教師直接“拿來”，稍加改編、制作PPT后就可運用到自己的課堂上；另一方面，這類課例中有不少改編題、變式題，也為命題研究提供了豐富的素材和視角，值得學習.

1.朱金祥，劉東升.數(shù)學教學中例題變式的策略——基于教學追問的視角［J］.教育研究與評論（中學教育教學版），2016（9）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.許燕.從解題賞析走向教學研究——以2016年無錫卷第27題為例［J］.中學數(shù)學（下），2016（10）.

4.孫莉.思路生成貴在自然，一題一課追求簡約——一道考題的思路突破與習題課設計［J］.中學數(shù)學（下），2016（9）.

5.吳忠妙.一道考題的思路、難點與教學設計［J］.中學數(shù)學（下），2016（9）.