一道復(fù)習(xí)題的講評(píng)引發(fā)的“波瀾”

☉江蘇連云港市羅陽中學(xué)邵長亮

一道復(fù)習(xí)題的講評(píng)引發(fā)的“波瀾”

☉江蘇連云港市羅陽中學(xué)邵長亮

一、問題緣起

執(zhí)教蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊第七章“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”時(shí)，評(píng)講這樣一道單元復(fù)習(xí)題：如圖1所示，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，求∠C、∠D、∠E的和.

圖1

題目并不復(fù)雜，思路也比較明顯：根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°，因?yàn)锳E∥BC，所以∠A+∠B=180°，因此∠C+∠D+∠E= 360°.

圖2

圖3

在筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)中，這道題目由學(xué)生獨(dú)立分析并進(jìn)行板演，之后筆者簡化題目條件，進(jìn)行變式訓(xùn)練：如圖2所示，AB∥CD，試說明∠A+∠E+∠C=360°.這個(gè)變式的意義在于引導(dǎo)學(xué)生通過連接BD構(gòu)造五邊形，從而將新問題轉(zhuǎn)化成曾經(jīng)解決的習(xí)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題解決中的轉(zhuǎn)化思想.除此之外，教師還將引導(dǎo)學(xué)生探究這樣一種思路：過E點(diǎn)作AB的平行線EF，將∠E分解成∠AEF與∠CEF的和，通過兩次運(yùn)用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，得到∠A+∠E+∠C=∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=180°+180°=360°，如圖3所示.這個(gè)思路也是基于對(duì)強(qiáng)化平行線性質(zhì)應(yīng)用的考慮.

二、狀況百出的課堂

1.設(shè)計(jì)的證明思路出現(xiàn)了瑕疵.

課堂教學(xué)看似一切順利，第一種思路得到了學(xué)生積極的回應(yīng)，反響也比較熱烈.隨后，筆者試圖引入第二種思路，提出：360°這個(gè)度數(shù)比較特殊，它可以看作兩個(gè)180°之和，而我們對(duì)180°很熟悉，例如兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這個(gè)問題是否可以利用這個(gè)性質(zhì)解決呢？學(xué)生此時(shí)反應(yīng)平平，筆者急于拋出第二種思路，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生：如果從E點(diǎn)作EF∥AB呢？這時(shí)候，大部分學(xué)生恍然大悟，沿著第二種思路順利解決問題.

正當(dāng)筆者準(zhǔn)備結(jié)束這個(gè)問題的評(píng)講，進(jìn)行方法和技巧的總結(jié)時(shí)，一個(gè)學(xué)生舉手提問：過E點(diǎn)作EF∥AB，為什么EF一定與CD平行？其他學(xué)生隨后發(fā)出一陣笑聲，認(rèn)為這個(gè)學(xué)生提出的根本算不上什么問題.但是筆者這時(shí)卻才猛然意識(shí)到犯了一個(gè)錯(cuò)誤：平行于同一條直線的兩條直線平行，這個(gè)命題要到第十二章“證明”中才出現(xiàn)，而筆者所設(shè)計(jì)的第二種思路中不自覺地使用了這個(gè)性質(zhì)！因此，筆者對(duì)提出這個(gè)問題的學(xué)生進(jìn)行了一番鼓勵(lì)后，提出了怎樣說明EF∥CD的問題，作為對(duì)這種證明的補(bǔ)充.學(xué)生很快找到了證明的方法，解決了這個(gè)疑問，總算為這個(gè)問題的解決畫了一個(gè)圓滿的句號(hào).

2.一波未平，一波又起.

這時(shí)，又有學(xué)生提出：老師，您剛才說180°很特殊，我們很熟悉，但是我們最先想到的并不是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，而是想到三角形內(nèi)角和為180°，您為什么不用三角形內(nèi)角和來解決這個(gè)題目呢？

這個(gè)學(xué)生的想法讓筆者始料未及！確實(shí)，三角形內(nèi)角和為180°是學(xué)生在小學(xué)時(shí)就已經(jīng)知道的結(jié)論，自然更容易想到，那么這個(gè)問題到底能不能運(yùn)用三角形內(nèi)角和來解決呢？筆者在毫無準(zhǔn)備的情況下，和學(xué)生一同分析：如果想用三角形內(nèi)角和來解決，首先需要有三角形，而題目所給的圖中沒有這樣的三角形，這就需要我們進(jìn)行構(gòu)造，問題是：怎樣構(gòu)造出含有∠A、∠E和∠C的三角形呢？

有學(xué)生立即想到：連接AC，如圖4所示.筆者就這種方法一起和學(xué)生進(jìn)行了探究：連接AC后，∠E成為△ACE的一個(gè)內(nèi)角，而∠A和∠C各自的一部分成為△ACE的另外兩個(gè)內(nèi)角.根據(jù)三角形內(nèi)角和，可知∠EAC+∠E+∠ACE=180°.由AB∥CD，得∠BAC+∠ACD=180°.于是∠BAE+∠E+∠ECD=∠BAC+∠EAC+∠E+∠ACE+∠ACD=180°+180°=360°.這可以看作解決這個(gè)問題的第三種方法.

圖4

圖5

隨即學(xué)生像受到了鼓舞一樣，提出延長AE和DC交于點(diǎn)F，如圖5，也可以構(gòu)造三角形.其實(shí)這種構(gòu)造方法在第三種方法的探究過程中，筆者已經(jīng)注意到了，但是卻沒有把握一定能將問題解決.既然學(xué)生提出了這樣的構(gòu)造方法，那就和學(xué)生一起探究.筆者作出圖形后，學(xué)生立即開始發(fā)表意見：因?yàn)锳B∥CD，所以∠A+∠F=180°.根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠F+∠FEC+∠FCE=180°，即∠F= 180°-∠FEC-∠FCE.又∠FEC=180°-∠AEC，∠FCE= 180°-∠ECD，因此∠F=∠AEC+∠ECD-180°，也就可得∠A+∠AEC+∠ECD=360°.這成為了第四種解法.

3.再起波瀾.

經(jīng)過上面的探究后，筆者認(rèn)為這個(gè)問題的解決已經(jīng)取得了意想不到的效果，再次準(zhǔn)備進(jìn)行總結(jié)時(shí)，又有學(xué)生提出了新的問題：老師說360°可以看成兩個(gè)180°的和，為什么要看成兩個(gè)180°的和呢？360°本身就很特殊啊，比如說它是四邊形的內(nèi)角和，也是一個(gè)周角的度數(shù).

學(xué)生的這個(gè)問題再次出乎筆者的意料，筆者已經(jīng)敏銳地感覺到學(xué)生似乎對(duì)這個(gè)問題背后的東西有了更深層次的領(lǐng)悟，這樣的機(jī)會(huì)豈容錯(cuò)過！于是再次投入到和學(xué)生的探究中.依著學(xué)生的問題，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：如果將360°看成一個(gè)四邊形的內(nèi)角和，那就必須將∠A、∠E和∠C轉(zhuǎn)化到同一個(gè)四邊形中，而原圖中并沒有四邊形，需要我們構(gòu)造！學(xué)生很快形成了第五種解決思路：在CD上取一點(diǎn)F，連接AF，如圖6所示.此時(shí)，有∠EAF+∠E+∠C+∠CFA=360°.根據(jù)AB∥CD，可得∠FAB=∠CFA.立即就可以得出∠BAE+∠E+∠C=360°.

圖6

圖7

還有第六種方法，將360°看成是一個(gè)周角，學(xué)生也很快探究出了構(gòu)造方法：從E點(diǎn)向左作EF∥AB，如圖7所示.根據(jù)前面的探究，可知EF與CD也是平行的，所以可得∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，于是∠A+∠AEC+∠C=∠AEF+∠AEC+∠CEF=360°.

三、回顧與思考

縱觀本節(jié)課，從一個(gè)簡單的題目出發(fā)，引出了多種多樣的解決方法.這些方法雖然不盡相同，但是其背后的內(nèi)涵是一致的，就是將新問題向著已有知識(shí)轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的途徑則依賴于不同形式的構(gòu)造.這在一定程度上體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的一般思維方法.這節(jié)課出乎教者的意料之外，卻又在數(shù)學(xué)教育的“情理”之中，有很多值得反思的地方.

1.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)滲透數(shù)學(xué)思想.

以前看來，這句話有點(diǎn)兒近似于套話，然而本節(jié)課的教學(xué)卻使得筆者重新審視這個(gè)論述.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在實(shí)驗(yàn)版“雙基”的基礎(chǔ)上增加了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想，并非無跡可尋，而是有的放矢.數(shù)學(xué)思想并非空穴來風(fēng)，而是深刻地蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)內(nèi)容之中.基本數(shù)學(xué)思想具有隱性的特點(diǎn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中更多的是滲透在具體問題的解決過程之中，而滲透數(shù)學(xué)思想則需要對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行反復(fù)分析.本節(jié)課在設(shè)計(jì)之初有這樣的考慮，通過將360°轉(zhuǎn)化為兩個(gè)180°之和，將三個(gè)表面上看起來并沒有過多聯(lián)系的三個(gè)角轉(zhuǎn)化為容易探求的平行線所截而成的互補(bǔ)的角的和；學(xué)生后來的探究也很大程度上受到了筆者原先所設(shè)計(jì)的滲透轉(zhuǎn)化思想的影響.

2.數(shù)學(xué)思想需要學(xué)生在過程中感悟.

正是因?yàn)閿?shù)學(xué)思想的隱性特點(diǎn)，所以初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想“只可意會(huì)，不可言傳”，需要學(xué)生的“頓悟”，而學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟往往是在對(duì)問題的分析與解決過程中完成的.在筆者所設(shè)計(jì)的第一種、第二種方法之后，學(xué)生提出的疑問已經(jīng)可以明顯感受到問題解決的思維方式了，也就是體會(huì)到了轉(zhuǎn)化思想.到了第五種、第六種方法的最終確立，在本質(zhì)上學(xué)生已經(jīng)對(duì)轉(zhuǎn)化思想有所頓悟，所提出的“將360°看成四邊形的內(nèi)角和或一個(gè)周角”就是這種頓悟的外在體現(xiàn).

3.數(shù)學(xué)的問題解決過程就是對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不斷進(jìn)行總結(jié)反思和探索的過程.

教師在學(xué)生的問題解決過程中，應(yīng)展示運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和基本技巧的方法，更要展示怎樣將這些知識(shí)、技巧進(jìn)行不同組合來應(yīng)對(duì)不同問題的思維過程.也就是說，教師不能僅僅告訴學(xué)生怎樣進(jìn)行解答，更重要的是告訴學(xué)生：我是怎么想的，我是怎樣去實(shí)現(xiàn)這個(gè)想法的.同時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我調(diào)控和反思，鼓勵(lì)學(xué)生將自己的觀點(diǎn)說出來，與同學(xué)進(jìn)行交流，碰撞出思維的火花.在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者面對(duì)學(xué)生提出的始料未及的問題，不是消極回避，而是積極引導(dǎo)并參與學(xué)生的交流與討論，毫無保留地展現(xiàn)自己的思維過程，這也是本節(jié)課在“失敗”的設(shè)計(jì)下，一點(diǎn)值得保留的“成功”經(jīng)驗(yàn).

江蘇師范大學(xué)黃曉學(xué)教授基于發(fā)生認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)提出了“誘惑、導(dǎo)學(xué)、啟知、發(fā)識(shí)”四環(huán)節(jié)教學(xué)論和“生惑、積學(xué)、致知、增識(shí)”四環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)論，主張我們的數(shù)學(xué)教育應(yīng)建立“才、學(xué)、識(shí)”兼?zhèn)涞膹V義的數(shù)學(xué)教育.這個(gè)觀點(diǎn)可以看作是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》“四基”“兩能”的實(shí)踐性的、具有操作意義的解讀.本節(jié)課在設(shè)計(jì)之初，雖然有很多不完善的地方，但是整個(gè)課堂的發(fā)展與學(xué)生的探究交流卻暗暗契合了黃曉學(xué)教授的四環(huán)節(jié)教學(xué)與學(xué)習(xí)論，無意中成了培養(yǎng)學(xué)生“才、學(xué)、識(shí)”兼?zhèn)涞臄?shù)學(xué)教育的一次有益嘗試.

愛因斯坦說過：當(dāng)一個(gè)人把他在學(xué)校學(xué)到的所有知識(shí)全部忘掉后，剩下的東西就是教育.如果我們把這句話代入到數(shù)學(xué)教育中，就是當(dāng)學(xué)生忘掉了坐標(biāo)、函數(shù)、方程等具體的數(shù)學(xué)知識(shí)之后，剩下的就是數(shù)學(xué)教育.從這個(gè)意義上來看，數(shù)學(xué)教育很大程度上就是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)與發(fā)展.大詩人王國維說做學(xué)問須經(jīng)三個(gè)境界，第一境界是“昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望斷天涯路”；第二境界是“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”；第三境界是“眾里尋他千百度，暮然回首，那人卻在燈火闌珊處”.數(shù)學(xué)的思想方法，正是經(jīng)歷“望斷天涯路”的困惑和“衣帶漸寬”的孜孜探究后，“燈火闌珊處”的頓悟，也正是愛因斯坦所說的“剩下的東西”！

1.楊裕前，董林偉.義務(wù)教育教科書：數(shù)學(xué)（七年級(jí)下冊）［M］.南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

2.黃曉學(xué).從惑到識(shí)——數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生認(rèn)識(shí)的發(fā)生原理［M］.徐州：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2008.

3.李鐵安主編.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀（初中數(shù)學(xué)）［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2012.

4.史寧中主編.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

5.［美］R·柯朗，著.左平，譯.什么是數(shù)學(xué)——對(duì)思想和方法的基本研究（增訂本）［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

6.邵長亮.以數(shù)學(xué)寫作推進(jìn)數(shù)學(xué)尚“識(shí)”教育［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（12）.