借“題”發(fā)揮以“變”促學(xué)
——初中數(shù)學(xué)課本習(xí)題的變式與拓展例談

☉江蘇東臺市教育局教研室周玉俊

借“題”發(fā)揮以“變”促學(xué)
——初中數(shù)學(xué)課本習(xí)題的變式與拓展例談

☉江蘇東臺市教育局教研室周玉俊

“變形計(jì)”是湖南衛(wèi)視精心打造的一檔生活類角色互換節(jié)目，旨在通過人物的角色變換，體驗(yàn)對方的不同生活，實(shí)現(xiàn)思想觀念上的徹底改變.在數(shù)學(xué)上，一類源于課本的例題、習(xí)題，也可以經(jīng)過“變形”，蛻變自己，從而更好地發(fā)揮其潛在價(jià)值，讓學(xué)生接受一次思維上的洗禮與提升.

一、變形背景

2016年11月，東臺市舉行了一次全市初中數(shù)學(xué)命題比賽，在僅提供初中數(shù)學(xué)課本的前提下，參賽者在半天時(shí)間內(nèi)原創(chuàng)主觀題，要求突出考查學(xué)生的思維能力和學(xué)科素養(yǎng)，體現(xiàn)新課程要求，提供試題答案和命題意圖.筆者有幸參與了活動的組織和評委工作，受益匪淺.現(xiàn)呈現(xiàn)三道變形題，與大家共賞.

二、變形內(nèi)容

1.變形1.

（1）原題回放.

（蘇科版教材九年級下冊第90頁復(fù)習(xí)題11）如圖1，△ABC與△DEA是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分別與AD、AE相交于點(diǎn)F、G.圖中有哪幾對相似三角形？請把它們表示出來，并說明理由.

圖1

圖2

（2）新題賞玩.

如圖1，△ABC與△DEA是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，把兩個三角形放在同一平面內(nèi)，使△DEA繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，直線BC分別與直線AD、AE相交于點(diǎn)F、G.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F、G在線段BC上時(shí)，求證：△ABG∽△FCA.

（2）如圖2，把△DEA旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，使點(diǎn)F在線段BC上，點(diǎn)G在線段BC的延長線上，設(shè)AB=AC=DE= DA=1，F(xiàn)C的長為x，BG的長為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并指出x的取值范圍.

（3）把△DEA旋轉(zhuǎn)至圖3所在位置，試補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，此時(shí)（2）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系是否仍然成立？試說明理由.

圖3

圖4

（3）變題意圖.

原題中相似三角形對數(shù)較多，且有些說明方法雷同，知識點(diǎn)的考查比較單一.改編題第（1）小題是在原題的基礎(chǔ)上，選取了其中一對加以證明，對原題進(jìn)行了簡化；第（2）小題是以圖1為基礎(chǔ)，通過旋轉(zhuǎn)變換將G點(diǎn)放在了BC的延長線上，此時(shí)，圖形的位置發(fā)生了改變，但△ABG∽△FCA的數(shù)學(xué)本質(zhì)沒有變化，考查學(xué)生類比遷移知識的能力，為了增加題目的探究性和綜合性，題目又增加了對邊長之間關(guān)系的探究，綜合了反比例函數(shù)的知識，其中，對x的取值范圍的探究體現(xiàn)了較高的能力要求；第（3）小題以旋轉(zhuǎn)為主線，考查學(xué)生動手畫圖的能力和不同位置條件下遷移和運(yùn)用知識的能力.題目注重能力立意，小題的設(shè)置有梯度，有一定難度，考查學(xué)生思維的嚴(yán)密性和靈活性.

2.變形2.

（1）原題回放.

原題1：（蘇科版初中數(shù)學(xué)教材八年級下冊第58頁習(xí)題2）如圖4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別在BC、AB上，△ABE經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到△ADF.

（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？

（2）旋轉(zhuǎn)角為多少度？

（3）在圖中畫出點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)G′.

原題2：（蘇科版初中數(shù)學(xué)教材九年級上冊第19頁練習(xí)）已知：如圖5，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，∠FAE=∠BAE.求證：AF=BC+FC.

圖5

圖6

（2）新題賞玩.

如圖6，在正方形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)，G是CB的延長線上一點(diǎn)，且AE=AG.

（1）求證：DE=BG.

（2）若點(diǎn)F在BC邊上，且∠EAF=45°，連接EF，求證：EF=BF+DE.

（3）如圖7，將正方形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，使頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)B、C落在第三象限，直線y=x交BC于點(diǎn)F，CD交y軸于點(diǎn)E.若BF=4，EF=10：

①求正方形ABCD的邊長.

②在直線y=x上是否存在一點(diǎn)M，使得△OME是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖7

圖8

（3）變題意圖.

改編題第（1）、（2）小題遵循原題中的知識和方法，考查學(xué)生對正方形性質(zhì)和直角三角形、一般三角形全等判定的掌握情況及旋轉(zhuǎn)變換的思想；為了增加題目的探究性，在第（2）小題結(jié)論的基礎(chǔ)上，第（3）小題增加了求正方形ABCD的邊長，考查勾股定理及一元二次方程等知識，第（3）小題的第②題，又將整個圖形放置在直角坐標(biāo)系中，結(jié)合一次函數(shù)和圖形的相似考查學(xué)生對知識的遷移能力和解決問題的能力，滲透了轉(zhuǎn)化、分類、方程（模型）等思想.本題設(shè)置的三個問題層次分明，步步深入，兼顧基礎(chǔ)和能力，讓學(xué)生既不能輕易“得手”，又不覺得無計(jì)可施.使不同水平的考生在拾階而上的過程中，思維和能力得到充分釋放.

3.變形3.

（1）原題回放.

（蘇科版教材九年級上冊第97頁的思考與探索題）如圖8，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，問：幾秒時(shí)ΔPBQ的面積等于8cm2？

（2）新題賞玩.

如圖8，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動（不包括起點(diǎn)和終點(diǎn)），設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為x，△DPQ的面積為y.

（1）經(jīng)過多長時(shí)間DQ⊥PQ？

（2）在運(yùn)動的過程中，△DPQ能否成為等腰三角形？若能，請求出運(yùn)動時(shí)間x的值；若不能，請說明理由.

（3）①試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明是否存在x，使得y的值等于10.若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.

②若點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)后繼續(xù)沿邊BC向終點(diǎn)C移動，點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)后繼續(xù)沿邊CD、DA向終點(diǎn)A移動，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，問：在繼續(xù)運(yùn)動的過程中，y的值能否等于10？若能，請求出x的值；若不能，請說明理由.

（3）變題意圖.

原題考查的知識點(diǎn)單一，方法簡單.為了擴(kuò)大試題的開放性和綜合度，本題以矩形為載體，以點(diǎn)的運(yùn)動為主線，在課本習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展、延伸.第（1）小題設(shè)置了經(jīng)過多長時(shí)間DQ⊥PQ，此問可以借助相似或勾股定理列方程加以解決；第（2）小題增加了△DPQ能否成為等腰三角形的探究，可考慮分三種不同情況列方程加以解決，其中不符合條件的解還必須舍去；第（3）小題增加了對△DPQ的面積能否等于10的探究，同時(shí)還擴(kuò)大了點(diǎn)運(yùn)動的范圍，增加了點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動、點(diǎn)Q在CD或DA邊上運(yùn)動兩種情形.改編題注重對基礎(chǔ)知識、基本能力的考查和數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類等數(shù)學(xué)思想的滲透，考查運(yùn)用方程、函數(shù)（模型）思想分析、解決問題的能力.

三、變形感悟

1.要善于借“題”發(fā)揮，以“變”促學(xué).

課本是知識的根本，是經(jīng)典的結(jié)晶，也是問題的源泉.課本提供的例、習(xí)題作為教材的有機(jī)組成部分，是教學(xué)中不可忽視的重要內(nèi)容，它對幫助學(xué)生理解基礎(chǔ)知識、形成基本技能、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)和提高思維能力等各方面都起著重要的作用.因此，如何深入挖掘課本典型題目的潛在價(jià)值，以求舉一反三、融會貫通，為學(xué)生的思維發(fā)展架梯搭橋，是我們在教學(xué)中值得重視和探討的問題.日常教學(xué)中，我們要注重加強(qiáng)對課本習(xí)題的研究，對于一些好的題源，教者要能“明察秋毫”，洞察教材的編排意圖，在此基礎(chǔ)上借“題”發(fā)揮，以“變”促學(xué)，創(chuàng)造機(jī)會，讓學(xué)生經(jīng)歷從解題到編題，再到解題的全過程，更大限度地發(fā)揮習(xí)題的應(yīng)有教學(xué)價(jià)值.

2.要善于“讓學(xué)引思”，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的問題意識.

愛因斯坦曾經(jīng)說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要.”在原題的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)和改編新的問題是一項(xiàng)很有意義的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動.在設(shè)計(jì)問題過程中，要善于“讓學(xué)引思”，給學(xué)生足夠的思考時(shí)間和互動空間，使學(xué)生的思維得以發(fā)展，能力得到提升.在教師的組織和引導(dǎo)下，隨著學(xué)生身份從答題者到編題者、變題者的悄然變化，學(xué)生的主體地位得到充分發(fā)揮，問題意識和解題的經(jīng)驗(yàn)和能力得到提升，最終效果體現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)上的事半功倍.在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力呢？解決這個問題，首先要采用多種手段讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感興趣，要善于構(gòu)建以“問題設(shè)計(jì)”為中心的學(xué)習(xí)模式，引導(dǎo)學(xué)生由好奇到好問，逐步滲透問題意識，進(jìn)而上升到勤思善問，追求問題的質(zhì)量，再到提出有價(jià)值的問題.

3.要善于釋放話語權(quán)，努力讓變式教學(xué)成為常態(tài).

傳統(tǒng)習(xí)題課的教學(xué)是由教師提出問題學(xué)生進(jìn)行解答或由教師安排學(xué)生解答教科書中提出的現(xiàn)成的問題，這種模式的弊端是學(xué)生的學(xué)習(xí)是消極被動的，課堂的話語權(quán)和主宰權(quán)在于教師，學(xué)生的學(xué)習(xí)缺乏動力和活力.變式教學(xué)提倡以課本探索題為源頭，在學(xué)生力所能及的知識儲備范圍內(nèi)，讓學(xué)生充分參與課本習(xí)題的變式與拓展，經(jīng)歷師生交流、生生合作的思維碰撞和智慧生成.教學(xué)中，教者要尊重每一位學(xué)生的思維，讓不同層次的學(xué)生都能學(xué)有所獲.值得我們思考的是，除了對題目所提問題進(jìn)行變式，我們還可以在解題方法、結(jié)論探索、題組學(xué)習(xí)等方面做一些類似的變式教學(xué)的嘗試，使學(xué)生的靈感得以激發(fā)，個性得以張揚(yáng)，不斷提升學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造力，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ).

1.章建躍.發(fā)展數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長期利益［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）.

2.羅增儒.試題編擬的技術(shù)性建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2008（3）.

3.夏盛亮.引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放教學(xué)——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.