多元建模，巧解數(shù)學(xué)應(yīng)用題

劉清

【內(nèi)容摘要】什么是數(shù)學(xué)建模？其實(shí)質(zhì)就是利用掌握的數(shù)學(xué)工具，將問(wèn)題數(shù)字化，構(gòu)建出模型，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解答。學(xué)生所掌握的各種定理、公式、方程式等都是具體的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)就是將這些模型教授給學(xué)生，并引導(dǎo)學(xué)生如何建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模意識(shí)的滲透，對(duì)于學(xué)生來(lái)講，未嘗不是觀察、分析、綜合能力的一種拓展。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 實(shí)際問(wèn)題 能力拓展

中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組分就是應(yīng)用題。應(yīng)用題作為考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力的一種題型，與實(shí)際生活、生產(chǎn)又密切相關(guān)，也正是中考命題的重點(diǎn)所在。應(yīng)用題的直接求解難度一般較大，但是如果能夠通透題意，巧妙構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，就比較簡(jiǎn)單快捷。也一定程度上可以鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)并不高，也很容易掌握，同時(shí)也具備一定的趣味性。在實(shí)際教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生多思考，運(yùn)用多種數(shù)學(xué)形式進(jìn)行表達(dá)，多元建模，靈活運(yùn)用，才能高效的解題。

一、函數(shù)模型，考慮變量

有些應(yīng)用題可以通過(guò)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型加以定量分析，把應(yīng)用題進(jìn)行數(shù)學(xué)化。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，最為熟悉的現(xiàn)成的一種數(shù)學(xué)模型無(wú)疑就是函數(shù)模型。聯(lián)系題目中給出的信息和已經(jīng)掌握的函數(shù)知識(shí)，充分考慮變量，便不難解出題目，得出答案。

例題1：甲城有300噸肥料，乙城有200噸肥料，而C、D兩鄉(xiāng)剛好需要500 噸肥料，從甲運(yùn)往C地一噸20元、D地一噸25元，從乙運(yùn)往C地一噸15元、D地一噸24元?，F(xiàn)在要運(yùn)往C地240噸，剩下的260噸則全部運(yùn)往D地，為了將運(yùn)費(fèi)降到最低，請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)一個(gè)合理的方案？顯而易見(jiàn)，這道題目實(shí)質(zhì)上是對(duì)一次函數(shù)最小值的求解。設(shè)從甲運(yùn)x噸到C，那么乙就運(yùn)（240-x）到C，從甲運(yùn)（300-x）到D，從乙運(yùn)[200-（240-x）]到D，可以得出函數(shù)：運(yùn)費(fèi)y=20x+ 25（300-x）+15（240-x）+24[200-（240- x）]=4x+10140。既然要使運(yùn)費(fèi)最少，則x取值為0，此時(shí)函數(shù)有最小值y=10140。將函數(shù)最小值10140代入原函數(shù)式，就不難得出答案了。

這一類題目比較簡(jiǎn)單，學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，具備一定的數(shù)學(xué)思維就不難建立起正確的函數(shù)模型。而模型一旦建立，得出結(jié)果也就順理成章。

二、方程模型，找出變量

在生活中，有著多種多樣的等量關(guān)系，自然也有不等關(guān)系，對(duì)于這一類型的實(shí)際應(yīng)用題，建立方程模型無(wú)疑是最為簡(jiǎn)便的。理清楚題目給出的條件，找出題目中的變量，明確好未知量與已知量之間的關(guān)系，就可以把模型很容易的建立起來(lái)。

很簡(jiǎn)單的一道題目，某一個(gè)車站運(yùn)來(lái)了三車?yán)苯泛土嚩菇?，總重?580千克，其中，一車?yán)苯返闹亓繛?60千克，那么，一車豆角有多重？首先，總重量與辣椒的單位重量是已知的，題目也給出了各自的數(shù)量，按照所求未知量與已知量的等量關(guān)系，設(shè)每車豆角重量為xkg，可以得出方程2580= 3×260+6x，得出一車豆角重300千克。再比如，有一個(gè)人得了感冒，兩輪傳染之后發(fā)現(xiàn)有121人得病了，那么，在每一輪的感染過(guò)程中，一個(gè)人平均傳染給了幾個(gè)人？這道題的難點(diǎn)在于變量是第二輪的基數(shù)，不能忽略掉最初的感染源，找出變量之后，方程就不難建立了，設(shè)該變量為（1+x），根據(jù)題意建立起方程1+x+x（1+x）=121，最后得出結(jié)果平均一個(gè)人傳染給了10個(gè)人。

在建立方程模型的過(guò)程中，尋找變量也是對(duì)學(xué)生思維能力的鍛煉，是對(duì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析解決能力的有效提升。方程在絕大多數(shù)應(yīng)用題中都與其他數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，這就要求學(xué)生學(xué)會(huì)靈活審題，多元建模。

三、統(tǒng)計(jì)模型，估計(jì)整體

概率統(tǒng)計(jì)作為初中數(shù)學(xué)的一大知識(shí)板塊，經(jīng)濟(jì)發(fā)展的今天，統(tǒng)計(jì)愈來(lái)愈顯示出其重要性，掌握好統(tǒng)計(jì)模型，對(duì)解決應(yīng)用題無(wú)疑有著極大的幫助。這類題目的難點(diǎn)在于學(xué)生往往不清楚什么時(shí)候應(yīng)該建立統(tǒng)計(jì)模型。

例題：某個(gè)公司的銷售部有十五名銷售人員，經(jīng)理計(jì)劃制定一種商品的月銷售量，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)這十五名銷售人員的月銷售量之后，得出下表：

假如銷售部的經(jīng)理額定每個(gè)銷售人員每月的銷售額為320件，你覺(jué)得是否合理？

這是一道典型的統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題，乍一看沒(méi)頭沒(méi)腦的320讓很多學(xué)生都不知如何下手，實(shí)則只要要從整體進(jìn)行估計(jì)，建立起統(tǒng)計(jì)模型就十分簡(jiǎn)單了。銷售補(bǔ)的額定應(yīng)該是大多數(shù)人都可以達(dá)到的。計(jì)算了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)之后，可得出結(jié)果分別為320、210、210。然而因?yàn)?800明顯比其他銷售員的銷售量高出太多，所以得出的平均數(shù)并不具有客觀性，根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)可以得出這個(gè)額定并不合理，210無(wú)疑更為合適。

統(tǒng)計(jì)題看似簡(jiǎn)單，但必須學(xué)會(huì)從整體出發(fā)，建立起完整的數(shù)學(xué)模型，綜合題目所給出的多方條件，整合有效信息，才能得出正確答案。

總而言之，初中階段的應(yīng)用題解答中，老師要逐步將多元建模的解題思路滲透給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生因題而異，靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)模型將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問(wèn)題，力求做到高效而簡(jiǎn)潔的解答。對(duì)數(shù)學(xué)模型的巧用、活用是保證應(yīng)用題拿到高分的不二法寶。

（作者單位：江蘇省高郵市城北中學(xué)）