基于高斯過程回歸方法兩相對流換熱系數(shù)預測

任 婷，劉 廈，孫 楊，穆懷萍，劉 石

(1.華北電力大學 能源動力與機械工程學院，北京 102206;2. 華北電力大學 控制與計算機工程學院，北京 102206)

基于高斯過程回歸方法兩相對流換熱系數(shù)預測

任 婷1，劉 廈2，孫 楊1，穆懷萍1，劉 石1

(1.華北電力大學 能源動力與機械工程學院，北京 102206;2. 華北電力大學 控制與計算機工程學院，北京 102206)

兩相流經(jīng)常發(fā)生在換熱器中，其中氣液兩相流的換熱特性在換熱器的結構設計、材料選擇和優(yōu)化運行上起到了至關重要的作用。因此，在實際應用中需要獲得兩相對流換熱系數(shù)。不同于常規(guī)的實驗研究和數(shù)值計算方法，提出了一種利用實驗數(shù)據(jù)和高斯過程回歸(Gaussian Process Regression, GPR)相結合的方法快速預測兩相對流換熱系數(shù)。與其它方法的比較結果表明，GPR方法的預測精度高，預測結果與實驗數(shù)據(jù)吻合較好；而且，該方法有利于減少實驗次數(shù)和實驗成本，節(jié)省原材料以及縮短設計周期，從而為研究氣液兩相流的換熱特性提供一種有效方法。

氣液兩相流；預測方法；高斯過程回歸

0 引 言

兩相流經(jīng)常發(fā)生在熱能工程領域，例如換熱器中存在氣液、氣固以及液固兩相流。其中氣液兩相流在換熱器中的應用最為廣泛，包括單組分兩相流如水/水蒸氣和雙組分兩相流如空氣/水。對于換熱器來說，氣液兩相流的換熱特性直接影響了換熱器的結構設計、材料選擇和優(yōu)化運行。因此，在實際應用中，獲得氣液兩相流的對流換熱系數(shù)具有重要意義。

研究表明，兩相流型是兩相流的重要參數(shù)[1]，表示氣相和液相的流動結構分布。因此兩相流型影響了兩相流對流換熱系數(shù)。換熱器中垂直管和水平管內(nèi)的兩相流型由于重力的作用其分類有所不同。垂直管中的兩相流型主要有氣泡流，弾狀流，攪拌流，環(huán)狀流和彌散流。對于水平管流，由于液相受到重力以及氣相受到浮力的影響，兩相流型主要有氣泡流，層狀流，波狀流，塞狀流，弾狀流以及環(huán)狀流。

國內(nèi)外研究者對氣液兩相流的換熱特性進行了大量研究。Malhotra等[2]實驗研究了水平管、傾斜2°、5°、7°的圓形管中氣液兩相流的弾狀流的熱傳遞特性。Saisorn等[3]實驗研究了在平行矩形微通道里恒定熱流條件下非沸騰氣液兩相流的熱量傳遞和流動特性。Deen等[4]利用流體體積函數(shù)法建立了在壁面和離散氣液兩相流體之間傳熱的直接數(shù)值模擬模型，并且計算出在給定溫度條件下的壁面和流體之間的局部和表面平均換熱系數(shù)。利用計算流體動力學的方法，Azari等[5]研究了圓管內(nèi)Al2O3/水納米流的層流對流換熱系數(shù)。在數(shù)值計算中，采用兩相模型計算在均勻恒定的熱流量下圓管內(nèi)的納米流的對流換熱系數(shù)，其結果與實驗吻合較好。Barraza等[6]利用Granryd關聯(lián)式預測了小尺寸通道內(nèi)非共沸多成分混合物的熱傳遞系數(shù)，計算過程中考慮到熱流量、質量流量、壓力、管徑、混合物成分等因素，預測相對誤差低于25%。

以上文獻可看出，研究兩相對流換熱系數(shù)的方法主要有實驗研究和數(shù)值計算。但是，實驗方法和數(shù)值計算時間成本高，一個直接的問題是：有沒有一種方法可以快速的預測兩相對流換熱系數(shù)呢？為了實現(xiàn)這一目標，本文提出一種利用實驗數(shù)據(jù)和高斯過程回歸(GaussianProcessRegression,GPR)相結合的方法快速預測兩相對流換熱系數(shù)。本文研究內(nèi)容總結如下：

(1) 不同于常規(guī)的實驗研究和數(shù)值方法，本文提出利用GPR方法快速預測兩相對流換熱系數(shù)，為換熱器的優(yōu)化設計、材料選擇提供依據(jù)。

(2) 數(shù)值比較了極限學習機、BP神經(jīng)網(wǎng)絡、Elman神經(jīng)網(wǎng)絡、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法以及GPR方法對兩相對流換熱系數(shù)的預測性能，結果證明了GPR方法的可行性與有效性。

1 高斯過程回歸

根據(jù)上述討論可知，獲得氣液兩相對流換熱系數(shù)在實際應用中具有重要意義。不同于常規(guī)的數(shù)值計算和實驗方法，本文提出一種利用實驗數(shù)據(jù)和GPR模型快速預測兩相對流換熱系數(shù)的方法。

在應用GPR方法預測兩相對流換熱系數(shù)之前，首先要確定模型的輸入和輸出樣本。研究表明，管內(nèi)氣液兩相流的重要參數(shù)包括氣體和液體的質量流量比、氣體和液體的雷諾數(shù)、流型、管壁表面的熱流量、管子的傾斜角度、壓降等決定了氣液兩相對流換熱系數(shù)。其中氣體和液體的雷諾數(shù)決定了兩相流型，因此直接影響了氣液兩相對流換熱系數(shù)。兩相流所在管子的傾斜角度也對兩相對流換熱系數(shù)有影響。根據(jù)上述討論和參考文獻[7]的研究，本文選取氣體和液體的雷諾數(shù)，管子的傾斜角度為GPR模型的輸入樣本，兩相對流換熱系數(shù)為輸出樣本。在實際應用中，管內(nèi)氣液兩相流的其他重要參數(shù)包括氣體和液體的質量流量比、管壁表面的熱流量、壓降等也會影響氣液兩相對流換熱系數(shù)。在本文中，采用GPR方法預測兩相對流換熱系數(shù)時，輸入樣本的維度不受限制，也可在預測過程中包含上述參數(shù)。在未來研究中，我們將增加氣體和液體的質量流量比等參數(shù)作為輸入樣本來預測兩相流對流換熱系數(shù)，并深入研究這些參數(shù)對預測結果的影響機制。

1.1 預測

(1)

式中：m(x)為均值函數(shù)、K(x,x′)為協(xié)方差函數(shù)如下式：

考慮到實際中測量目標常常包含噪聲，即高斯噪聲模型為

(2)

(3)

式中：I為n階單位矩陣。

由式(3)得出訓練樣本輸出值y和預測樣本輸出值y*的聯(lián)合先驗分布為

(4)

式中：K(X,X)=Kn=(kij)為n×n階對稱正定的協(xié)方差矩陣，其任意項kij=k(xi,xj)度量xi和xj之間的相關性；K(X,x*)=K(x*,X)T為預測樣本x*與訓練樣本X之間的n×1 階協(xié)方差矩陣；K(x*,x*)為預測樣本x*自身的協(xié)方差；I為n階單位矩陣。

在給定預測樣本x*和訓練集D的條件下，計算出預測樣本y*的后驗概率分布為

(5)

1.2 訓練

GPR方法中協(xié)方差函數(shù)K是正定的，且是一個必須滿足Mercer條件的對稱函數(shù)，故協(xié)方差函數(shù)等價于核函數(shù)。常用的協(xié)方差函數(shù)為平方指數(shù)函數(shù)，考慮有噪聲的形式為

(6)

(7)

式(7)對超參數(shù)θ求偏導，可得

(8)

從上述的討論可看出，在實際的應用中，采用恰當?shù)淖顑?yōu)化方法求解方程(7)即可獲得最優(yōu)超參數(shù)θ，然后利用式(5)得到預測樣本x*相應的預測值y*的均值和方差。

2 基于高斯過程回歸的對流換熱系數(shù)預測

不同于常規(guī)的數(shù)值計算和實驗方法，本文提出一種利用實驗數(shù)據(jù)和GPR模型相結合的快速預測兩相對流換熱系數(shù)的方法。根據(jù)上述的討論可知，采用GPR方法預測兩相對流換熱系數(shù)的過程可總結為圖1。

圖1 流程圖Fig.1 Flow chart

相比于常規(guī)的實驗和數(shù)值模擬方法，采用GPR方法預測對流換熱系數(shù)具有如下的特點：

(1) 不同于常規(guī)的實驗方法需要較高的實驗成本和時間，GPR方法能夠有效地減少實驗次數(shù)，降低實驗成本，減少實驗周期；

(2) 不同于常規(guī)的數(shù)值模擬方法需要求解復雜的控制方程，GPR方法的計算復雜性相對較低，求解速度較快，有利于實際的工程應用；

(3)GPR方法能夠有效地利用過去的測量結果與數(shù)值模擬信息。而且，GPR方法具有處理高維數(shù)、小樣本和非線性等復雜回歸問題的能力，非常適合于兩相對流換熱系數(shù)的預測。

3 數(shù)值實驗

由以上討論可知，由于實驗研究和數(shù)值計算時間成本高，實際應用中需要快速獲得換熱器中兩相對流換熱系數(shù)。本文利用GPR方法實現(xiàn)這一目標，分別研究水平管以及管子傾斜角度為2°，5°和7°的弾狀流型和弾狀流/氣泡流/環(huán)狀流型下的對流換熱系數(shù)。其中，氣體雷諾數(shù)、液體雷諾數(shù)和管子的傾斜角度影響了兩相流的換熱特性。因此，上述三個因素為本文輸入變量，兩相對流換熱系數(shù)為輸出變量。

同時，本節(jié)采用極限學習機、BP神經(jīng)網(wǎng)絡、Elman神經(jīng)網(wǎng)絡以及RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的方法預測兩相對流換熱系數(shù)，并將其結果與GPR方法獲得的結果進行對比。在利用上述方法預測換熱器中兩相對流換熱系數(shù)時，本文首先對數(shù)據(jù)進行歸一化處理。本文采用平均相對誤差(Meanrelativeerror,MRE)作為評價這5種方法的準則，其可具體表達為[12]

(9)

式中：n是預測樣本的個數(shù)；Tt為實驗數(shù)據(jù)；Tp為預測值。

在預測之前，首先介紹上述4種方法的基本原理。極限學習機為單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡，網(wǎng)絡輸入層到隱層的連接權值和隱層單元的閾值隨機確定，并且在訓練過程中無需調整，只需確定隱層單元數(shù)即可[13]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(ArtificialNeuralNetwork,ANN)在一定程度上模仿了復雜的人腦神經(jīng)系統(tǒng)對信息儲存、處理等功能[14]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡、Elman神經(jīng)網(wǎng)絡以及RBF神經(jīng)網(wǎng)絡都屬于人工神經(jīng)網(wǎng)絡。其中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡的學習過程由數(shù)據(jù)的正向傳播和誤差的反向傳播兩個過程組成。信號的傳播過程也是各層權值調整過程，訓練一直進行到實際輸出誤差在精度范圍以內(nèi)，或網(wǎng)絡訓練達到預先設定的學習次數(shù)，則建模結束[15，16]。與BP神經(jīng)網(wǎng)絡不同，Elman神經(jīng)網(wǎng)絡是一種從輸出到輸入具有反饋連接的網(wǎng)絡，其具有關聯(lián)層，即將上一個時刻的隱層狀態(tài)連同當前時刻的網(wǎng)絡輸入一起作為隱層的輸入，實現(xiàn)狀態(tài)反饋[17]。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡包括輸入層，隱含層和輸出層。其中隱含層是RBF網(wǎng)絡中最重要的一層，其轉換函數(shù)是局部響應的高斯函數(shù)[18，19]。本文采用MATLAB軟件執(zhí)行所有的算法。

3.1 算例一

本節(jié)的訓練樣本和預測樣本來源于參考文獻[2]中的實驗數(shù)據(jù)。圖2列出水平管以及管子傾斜角度為2°，5°和7°的弾狀流型中128個實驗數(shù)據(jù)，其中98個實驗數(shù)據(jù)為訓練樣本，其余30個實驗數(shù)據(jù)為預測樣本。

圖2 實驗數(shù)據(jù)Fig.2 Experimental data

在預測兩相對流換熱系數(shù)過程中，為使得上述5種方法預測結果滿意，本文采用算法的參數(shù)設置如下：在GPR方法中，基于訓練樣本，超參數(shù)θ通過求解式(7)而獲得，具體為0.339 8，0.596 1，0.011 2。極限學習機為單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡，隱層單元個數(shù)是38，激活函數(shù)為sigmoid函數(shù)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡采用三層網(wǎng)絡結構，隱層單元數(shù)為8，訓練算法為Levenberg-Marquardt算法。Elman神經(jīng)網(wǎng)絡的網(wǎng)絡結構為三層，其中隱層單元數(shù)為20，采用Levenberg-Marquardt算法訓練網(wǎng)絡結構。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的擴展速度設為1。圖3～7是GPR、極限學習機、BP神經(jīng)網(wǎng)絡、Elman神經(jīng)網(wǎng)絡和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測結果。為便于比較，表1列出了5種方法的MRE。

圖3 GPR預測結果Fig.3 Prediction results of the GPR method

圖4 極限學習機預測結果Fig.4 Prediction results of the extreme learning machine method

圖5 BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果Fig.5 Prediction results of the BP neural network method

圖6 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果Fig.6 Prediction results of the Elman neural network method

圖7 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果Fig.7 Prediction results of the RBF neural network method

表1 預測結果對比

圖3～7列出GPR、極限學習機、BP神經(jīng)網(wǎng)絡、Elman神經(jīng)網(wǎng)絡和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡對于30個預測樣本的預測結果。在表一中，我們可以看出，5種預測方法的預測結果不同。這主要是因為，上述5種方法在預測兩相對流換熱系數(shù)過程中，實質是建立了輸入樣本和輸出樣本的復雜數(shù)學關系，因此不同的算法以及算法參數(shù)的設置直接了這種復雜的數(shù)學關系，進一步影響計算結果。從表1可看出，GPR方法的預測結果最好，即平均相對誤差為1.18%。因此可得出，基于實驗數(shù)據(jù)和GPR方法預測兩相對流換熱系數(shù)的方法可以獲得滿意的結果。

3.2 算例二

本算例采用參考文獻[7]中的實驗數(shù)據(jù)作為訓練樣本和預測樣本。圖8列出水平管以及傾斜角度為2°、5°和7°的換熱管中弾狀流/氣泡流/環(huán)狀流型的所有實驗數(shù)據(jù)。所有的實驗數(shù)據(jù)共計95個，其中69個實驗數(shù)據(jù)是訓練樣本，其余26個實驗數(shù)據(jù)是預測樣本。

圖8 實驗數(shù)據(jù)Fig.8 Experimental data

在預測兩相對流換熱系數(shù)時，各方法的參數(shù)設置介紹如下：在GPR方法中，基于訓練樣本，超參數(shù)θ通過求解式(7)而獲得，具體為1.292 8，3.041 5，0.035 1。極限學習機的隱層單元個數(shù)是20，選取sigmoid函數(shù)為激活函數(shù)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡采用一個隱層的網(wǎng)絡結構，其中隱層單元數(shù)為7，訓練算法為Levenberg-Marquardt算法。Elman神經(jīng)網(wǎng)絡的網(wǎng)絡結構與BP神經(jīng)網(wǎng)絡結構一樣，其中隱層單元數(shù)為23，訓練算法是Levenberg-Marquardt算法。對于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡，設置其擴展速度為50。圖9～13列出了GPR、極限學習機、BP神經(jīng)網(wǎng)絡、Elman神經(jīng)網(wǎng)絡和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測結果。表2列出了5種方法的平均相對誤差的對比結果。

圖9 GPR預測結果Fig.9 Prediction results of the GPR method

圖10 極限學習機預測結果Fig.10 Prediction results of the extreme learning machine method

圖11 BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果Fig.11 Prediction results of the BP neural network method

圖12 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果Fig.12 Prediction results of the Elman neural network method

圖13 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果Fig.13 Prediction results of the RBF neural network method

表2 預測結果對比

圖9～13中列出了GPR方法、極限學習機、BP神經(jīng)網(wǎng)絡、Elman神經(jīng)網(wǎng)絡和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡預測26個樣本時的相對誤差。同時，表2列出了5種方法預測26個樣本時的平均相對誤差，其結果分別為1.32%、1.66%、2.24%、16.53%、1.72%。由此可看出，與其他方法相比，GPR方法的預測結果最好。主要是因為利用神經(jīng)網(wǎng)絡方法預測兩相流對流換熱系數(shù)時，網(wǎng)絡結構直接影響了計算結果，而實際應用中，最佳網(wǎng)絡結構不容易確定。為了在訓練集上降低模型誤差提高回歸精度，預測時常常導致過擬合，并且泛化能力不佳。為了避免過擬合提升泛化性能，GPR方法以貝葉斯理論和統(tǒng)計學習理論為基礎，對處理高維數(shù)、小樣本、非線性等復雜的問題具有很好的適應性，且泛化能力強。與神經(jīng)網(wǎng)絡相比，GPR具有容易實現(xiàn)、超參數(shù)自適應獲取等優(yōu)點。上述比較結果表明，GPR方法可以用來預測兩相對流換熱系數(shù)。

4 結 論

熱能工程領域中廣泛存在著基于兩相流的傳熱技術，如換熱器中的氣液兩相流應用最為廣泛。準確預測兩相對流換熱系數(shù)具有重要的實際意義。因此，不同于常規(guī)的數(shù)值計算和實驗方法，為了縮短實驗時間、減少設計周期以及節(jié)省實驗成本，本文提出了利用實驗數(shù)據(jù)和GPR方法快速預測氣液兩相對流換熱系數(shù)，并將其預測結果與極限學習機、BP神經(jīng)網(wǎng)絡、Elman神經(jīng)網(wǎng)絡和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法的預測結果進行比較。數(shù)值實驗結果表明，在所有的比較工況中，GPR方法的平均相對誤差最低，分別為1.18%和1.32%；證明了GPR方法能夠用來預測兩相對流換熱系數(shù)，從而為計算氣液兩相對流換熱系數(shù)提供一種有效方法。

研究表明，每種預測方法都有其優(yōu)點和缺點。樣本的數(shù)量與質量、預測模型以及模型參數(shù)等因素將影響預測質量。在實際的應用中，我們將依據(jù)具體的問題而選擇相應的預測方法。我們的研究提供了一種預測氣液兩相對流換熱系數(shù)的方法，未來還需要用更多的案例驗證GPR方法的有效性與精度。

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Prediction of Two-phase Convective Heat Transfer Coefficient Based on Gaussian Process Regression Method

REN Ting1，LIU Sha2，SUN Yang1，MU Huaiping1，LIU Shi1

(1. School of Energy Power and Mechanical Engineering，North China Electric Power University, Beijing 102206, China；2. School of Control and Computer Engineering，North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

Two-phase flow occurs frequently in heat exchangers, and the heat transfer performances of gas-liquid two-phase flow play an important role in the structure design, material selection and optimization operation of heat exchangers. As a result, it is desired to obtain the convective heat transfer coefficient of two-phase flows in real-world applications. Different from the common experimental investigations and numerical computation approaches, a method combing experimental data with the Gaussian process regression (GPR) method was proposed to quickly predict the two-phase convective heat transfer coefficient. Compared with other methods, the results show that the prediction accuracy of the GPR method is higher, and the prediction results fit with the experimental data. Moreover, the proposed method can effectively reduce the number and cost of the experiment, save the materials and shorten the design period, which provides an effective method for investigating the heat transfer performances of the gas-liquid two-phase flow.

gas-liquid two-phase flow; prediction method; Gaussian process regression

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2017.02.14

2016-08-18.

國家自然科學基金資助項目(51206048, 51276059， 51576196)；高等學校學科創(chuàng)新引智計劃(“111計劃”)項目(B13009).

TK124

A

1007-2691(2017)02-0097-08

任婷(1985-)，女，博士研究生，主要從事太陽能光熱發(fā)電與熱工高性能數(shù)值模擬方面研究工作。