回到數(shù)學本身：讓兒童在思考中學習（上）

劉瑋

【摘要】數(shù)學是面向“思”的學科，思維是數(shù)學的靈魂。在小學數(shù)學教學中，營設發(fā)散思維空間，整體建構(gòu)思維過程，呈現(xiàn)問題思辨經(jīng)歷，養(yǎng)成思疑證惑的習慣，是數(shù)學學科教學的本質(zhì)要求，也是在學科教學中培養(yǎng)理性思維、批判質(zhì)疑等核心素養(yǎng)的應然選擇。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學思考 核心素養(yǎng) 思維 教學策略

一道數(shù)學題教學的憂思

這是一道圖表題，其要求是讓學生根據(jù)圖表中蘊含的信息，分析出三位工人師傅工作效率的高低。在實際教學中，我們發(fā)現(xiàn)學生們多采用筆算的方式去解答這道題，甚至有好多人大聲喊起來：“除不盡，這道題沒法做！”這道題真的沒法做嗎？這道題真的需要計算才能解答嗎？

答案自然不是這樣的。如果兒童養(yǎng)成了良好的思維品質(zhì)，解答這樣的題是比較容易的。在這種教學場景背后，我們需要反思我們的數(shù)學教學：是什么原因讓學生們在遇到問題時忘卻了思考？是什么禁錮了他們思想的大腦？是什么遮蔽了他們發(fā)現(xiàn)的眼睛？正如蘇霍姆林斯基所說，我們的教學正處在一種可怕的危險之中——這就是學生在學習中已不會思考，他們坐在教室里日復一日，月復一月，年復一年，卻無所思索。數(shù)學思考的缺失，已使我們的數(shù)學教學失去了數(shù)學學科的本質(zhì)特征。

一、偏離與缺?。簝和瘮?shù)學思考的教學現(xiàn)狀

1.教學方式簡單化——偏重于“告訴”，缺省了知識形成的過程經(jīng)歷

以“圓的面積”教學為例，一些教師通常認為只要讓學生知道求圓的面積公式即完成了本節(jié)課的教學目標。于是在學生認識了圓的各部分名稱的基礎(chǔ)上，便采用“告訴”的方式，讓學生知曉并熟記求圓的面積計算公式，進而讓學生直接運用公式去求一些圓的面積。

這樣的教學過程，看似在快捷中完成了教學任務，學生掌握了圓的面積計算公式，并能運用公式去解答一些問題。但究其本質(zhì)，學生們沒有經(jīng)歷把一個圓平均分成若干份后，進而轉(zhuǎn)化成一個相似的長方形的過程，學生缺少了一個“轉(zhuǎn)化”思想的經(jīng)歷，缺少了動手操作活動中圓的周長與長方形周長轉(zhuǎn)化的體驗。在看似高效快捷的教學中，學生多了“固化”結(jié)論的提前習得，卻少了知識形成過程的思考與發(fā)現(xiàn)。

2.教學過程碎片化——偏見于“樹木”，缺省了之于“森林”的整體認知

在小學數(shù)學教材中，知識編排雖然是用分散的方式散布在各個級段中，但分散的教學內(nèi)容之間往往存在著結(jié)構(gòu)性的關(guān)聯(lián)。在實際教學中，一些沒有經(jīng)歷小學階段教學循環(huán)的教師大多缺乏對小學階段數(shù)學教學內(nèi)容的整體把握，知識點教學往往以相互割裂的方式“碎片化”地進行，兒童的數(shù)學思維也就只能在老師割裂于整體知識的教學中片面而狹隘地生長。長此以往，缺乏對數(shù)學知識形成、層遞與發(fā)展整體性的了解和經(jīng)歷，必將導致兒童結(jié)構(gòu)性數(shù)學思考的缺省與不足。

以“異分母分數(shù)加減法”的教學為例：常見的教學范例是，教師用一組題目讓學生計算，題目中前幾題是同分母分數(shù)加減法，而后一題或兩題是異分母分數(shù)加減法。教師在學生們計算遇到困難時，讓學生觀察兩類題目的異同，并引導學生通分后再計算。

這樣的教學只是關(guān)聯(lián)了同分母分數(shù)加減法和通分知識，而其實學習異分母分數(shù)加減法時，我們已經(jīng)學習了整數(shù)、小數(shù)加減法的知識，或者說兒童已接近完成了小學階段整個加減法的學習。盡管兒童學習整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)加減法分散在不同的學期，計算過程也有各自的特點，但其運算的實質(zhì)是相通的。我們需要讓分數(shù)加減法順應到加減法的運算體系中，從而讓學生在整體化的理解中明白更為普遍的原理，促進有深度的數(shù)學思考的形成。

3.教學活動淺顯化——偏囿于表層，缺省了深思冥想的頓悟體驗

如教學“圓錐的體積”時，我們常見的教學設計是教師把學生分成四人一組做實驗，每組的桌上放了等底等高的圓柱與圓錐容器各一個，學生通過操作得出圓錐的體積公式。但這一教學過程之后，學生在做求圓錐體積的題目時卻出現(xiàn)很多錯誤。深究其因，是教師課始就為學生提供了等底等高的實驗器具，以此遮蔽了新舊知識的分化點，教師回避、遮掩了學生學習可能暴露錯誤的過程，學生沒有經(jīng)歷看似“混亂無序”的真實的動手探究過程，缺省了對實驗條件的辨別及信息的批判，而這正是新知教學的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。如果我們提供給學生的是四組不同的圓錐、圓柱容器，有的是等底等高，有的不是等底等高，學生的學習是否會經(jīng)歷深入的觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、合作、創(chuàng)新等過程？是否會在推導出圓錐體積公式的基礎(chǔ)上，又促進實踐能力和批判意識的發(fā)展？而這些目標的達成需要我們給學習者提供更富有挑戰(zhàn)性的學習資源，開展深層次的探究學習活動，從而促進學習者深度思考的發(fā)生。

4.教學程序線性化——偏向于縱貫，缺省了融通聯(lián)結(jié)的開放空間

在教學中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，兒童在解答一些教師原本講過的習題時駕輕就熟，但是一旦遇到?jīng)]有見過的題，即使是運用已有的知識結(jié)構(gòu)就能解決的問題，也總是顯得一籌莫展。通過實踐研究我們知道，傳統(tǒng)的教學大都是以“小步子、低坡度、分散難點”的方式展開問題教學，兒童是在教師設計好的“支離破碎”的問題鏈上進行學習的，并呈現(xiàn)出鮮明的線性方式。在一個個封閉的問題串中，兒童的發(fā)散性思維被緊緊地束縛在狹小的空間中。

以《乘加乘減》的教學為例：

教師先出示問題情境：5個魚缸，分別有5條、5條、5條、5條、4條金魚。

師：想知道5個魚缸共有多少條金魚用什么方法呢？

生：加法。

師：怎么加呢？我們今天學的可是乘加乘減啊。

生：就是先乘再加。

師：你說得真好，你能列個式子嗎？

生：能。5×4+4。

師：對的。當我們遇到這樣的題目時，我們首先要去看有幾個幾，再與另一個數(shù)相加減。我們一起來讀一下好嗎？

生齊讀：先算幾個幾，再加減。

從上述教學過程可見，教師圍繞“乘加乘減”的教學任務，把“共有多少條金魚”的問題分解成一個個細碎的問題。在線性的問答中，學生的思維始終被牽引前行，最終在“先乘后加減”的齊讀中完成新知的學習，而那些在開放情境中“5×5-1”“6×4+0”等有可能出現(xiàn)的思維火花因為思考空間的封閉而熄滅。其實，教師用線性的思維方式在把一個富有開放性的問題切割成一個個細碎的小問題時，也就封閉了兒童發(fā)散性思維的空間，有深度和廣度的思維品質(zhì)就這樣困厄在思維的窠臼中。

二、此岸與彼岸：兒童數(shù)學思考的教學旨歸

思維是數(shù)學的靈魂。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，引發(fā)學生的數(shù)學思考，掌握數(shù)學的基本思想和思維方式?！吨袊鴮W生發(fā)展核心素養(yǎng)》也明確把科學精神列為六個核心素養(yǎng)之一，并提出了細化的具體要點，即理性精神、批判質(zhì)疑和勇于探究。由此可知，當下的兒童數(shù)學教學亟須拷問數(shù)學教育的價值，厘清數(shù)學教學的方向，從而促進核心素養(yǎng)在數(shù)學教學中的“落地”與“生根”。

1.從學科教學走向?qū)W科教育

學生發(fā)展核心素養(yǎng)雖說是一個嶄新的詞匯，但其蘊含的思想?yún)s早就存在于不同社會發(fā)展階段的教育價值追求中。從蘇格拉底的“美德即知識”，到加德納的“多元智能理論”，都是社會發(fā)展的不同時期人們對“教育要培養(yǎng)什么人”的追問與期冀。隨著社會發(fā)展全球化、信息化時代的到來，我們亟須超越于傳統(tǒng)知識、智能與技能等認識要求，建構(gòu)適應于當代社會背景、促進自我可持續(xù)發(fā)展和社會和諧發(fā)展的關(guān)鍵素養(yǎng)，即“核心素養(yǎng)”。從核心素養(yǎng)的內(nèi)涵來看，它是學生在接受教育的過程中，漸趨形成的能促進個體發(fā)展和社會發(fā)展的必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力。在傳統(tǒng)的學科教學中，根深蒂固的學科知識立場，對學科價值的認識往往停留于知識的掌握上，忽視了學科的“育人”價值（米山國藏）。老師更多的是關(guān)注如何把固化的知識傳遞給學生，遮蔽了人們在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題中的那種知識創(chuàng)造和發(fā)明的實踐過程，遮蔽了人在大量事實性材料的基礎(chǔ)上經(jīng)歷知識的歸納概括、提煉抽象的形成過程。當固化的知識成為數(shù)學教學的全部時，作為一個個鮮活個體的人的存在性就被遮蔽，其在認知過程中的創(chuàng)造性及其他素養(yǎng)的養(yǎng)成就沒有了落實的可能。作為六個核心素養(yǎng)之一——科學精神的培育，需要我們跳出單一學科教學的束縛，在學科教育的大視野中促進理性思維、批判質(zhì)疑和勇于探究等品質(zhì)的養(yǎng)成。

2.從思維訓練走向理性思考

傳統(tǒng)的小學數(shù)學教學，往往重視學生形象思維和邏輯思維能力的培養(yǎng)。其實，數(shù)學教學中理性思維的含義遠遠不止于此，理性思維還需要我們在教學中有意識地對學生進行非邏輯思維、系統(tǒng)思維、批判性思維、辯證思維和圖構(gòu)思維等思維方式的培育，使學生養(yǎng)成實事求是、客觀分析、一分為二、多角度思考等思維品質(zhì)，促進兒童對數(shù)學概念、數(shù)學問題進行全面、深入的理解和分析，在深遠的思考空間里發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律、掌握數(shù)學方法、習得數(shù)學思想，從而多方面不同渠道地提升兒童的數(shù)學素養(yǎng)。

3.從經(jīng)歷過程走向經(jīng)驗積累

杜威認為，教育的出發(fā)點應該是兒童。一切教育教學活動的設計和組織都應確立兒童立場，并在此中引領(lǐng)兒童主動積極地建構(gòu)，“做中學”。《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》指出，培育學生理性思維的重點是使學生養(yǎng)成崇尚真知的價值追求，理解和掌握基本的科學原理和思維方法；擁有尊重事實和證據(jù)的意識和嚴謹?shù)那笾獞B(tài)度，具有問題意識，能獨立思考，自主判斷；思維縝密，能多角度、辯證地分析問題，做出選擇和決定等，即以科學的思維方式認識事物、解決問題、指導行為等。從這個要求來看，我們必須讓兒童從自己的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，經(jīng)歷數(shù)學知識“再創(chuàng)造”的過程，在“做”中學，在“問”中學，在“思”中學，不斷積累和豐富數(shù)學活動經(jīng)驗，在經(jīng)歷的基礎(chǔ)上建構(gòu)新的數(shù)學現(xiàn)實。

三、回到數(shù)學本身：兒童數(shù)學思考教學的實踐建構(gòu)

1.營設發(fā)散思維空間，激活兒童的數(shù)學思考

克萊茵說：“數(shù)學是一種精神，一種理性精神?！睌?shù)學的理性精神蘊含著無限的智慧，有的表現(xiàn)著規(guī)定的理性，有的表現(xiàn)著變化的理性。數(shù)學教學中，我們需要培育學生思考問題的有序性，也要培育學生解決問題的靈活性。從有序的“規(guī)定”到看似無序的“變化”，往往能構(gòu)造出學生的認知沖突和解決問題的心向。學生在這種“心求通而不能，口欲言而弗達”的“憤悱”之中，思維的火花被點燃，兒童主動意義下的積極思考方成為一種可能。

特級教師周衛(wèi)東在教學《三角形的三邊關(guān)系》一課時，他出示了這樣一道探究題：“有兩根小棒，一根是9厘米，一根是7厘米，可以把其中一根小棒剪成兩段，你能將它們圍成三角形嗎？有幾種可能？”

學生探究后回答有4和5、3和6、2和7時，教師又變換問題，你能把這三種情況的圖形畫出來嗎？學生畫出三種圖形。

接著，周衛(wèi)東老師又提出變化的條件：“如果考慮小棒的長度是小數(shù)，可能有多少種三角形呢？”學生的思維開始彌散，得出4.1和4.9、3.1和5.9、2.1和6.9等無限多種情況。

此后，教師再次激發(fā)學生在想象的基礎(chǔ)上畫出這些圖形的景象，學生畫出圖示，如圖：

一個又一個變化的問題，激活了學生的數(shù)學思維。在這個一層深過一層的追問中，學生在加深對三角形三邊關(guān)系的理解的同時，更在潛移默化中接受到了極限、對應、函數(shù)等數(shù)學思想方法的浸潤。正是因為有了這種不斷逼近數(shù)學本質(zhì)的追問，學生的思維走向了更遠的地方。

在這個教學過程中，教師沒有止步于一定的三種邊長為整數(shù)的圖形可能，而是在從整數(shù)變小數(shù)、從數(shù)字變圖形的多層次變式中，引導兒童對問題進行積極的思考，并在逐步深入的探究活動中，激活兒童的數(shù)學思考，引領(lǐng)兒童經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、知識發(fā)生、思維發(fā)展的全過程。即便是在此課教學后的第二天，兒童仍沉浸在探究與思考的氛圍中，從而自然而然地引出了對橢圓軌跡圖示的前認識。從定到變，兒童深化理解的不僅是三角形三邊關(guān)系的認識，還多了一回科學精神理性思考的深度體驗。（未完待續(xù)）