一類無理不等式的簡(jiǎn)證、推廣與猜想

☉四川省成都市彭州中學(xué) 劉大華 黃秦安

一類無理不等式的簡(jiǎn)證、推廣與猜想

☉四川省成都市彭州中學(xué) 劉大華 黃秦安

一、問題

文［2］又給出了一道多重根式不等式征解問題：

兩道多重根式型不等式屬于同一類無理不等式，它們?cè)谛问缴鲜謨?yōu)美，在本質(zhì)上問題1顯然是問題2的加強(qiáng)，即證明了問題1，問題2也就隨之得證.然而無理不等式證明渠道多，技巧性強(qiáng)，如換元法、待定系數(shù)法、柯西不等式法、放縮發(fā)等.對(duì)于此類無理不等式，原文給出的證法是先構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，再根據(jù)數(shù)列的增減性放縮證明，過程十分繁雜，且構(gòu)造和放縮本身都具有很大的思維推進(jìn)障礙.

二、簡(jiǎn)證

分析：將根號(hào)去掉，化無理式為有理式是該題證明的核心，要實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)需經(jīng)兩次放縮過程，第一次運(yùn)用簡(jiǎn)單不等式“n≤4n-1，n∈Z+”予以放縮，第二次看似“無中生有”地加“1”，實(shí)則將無理式“4n-2+”配成了完全平方式“

即問題1得證.

評(píng)注：上述簡(jiǎn)證干凈、利落，當(dāng)最里層的被開放部分放縮成完全平方式后，產(chǎn)生層層開方的連鎖效應(yīng)，不等式便獲證.

三、推廣

羅增儒教授說過：“問題一旦獲解，就立刻產(chǎn)生感情上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯(cuò)過了提高的機(jī)會(huì)，無異于‘入寶山而空返’.”受此教導(dǎo)，筆者在將問題解決后習(xí)慣性地嘗試多角度展開思緒，以求擴(kuò)大戰(zhàn)果.

思考1：在問題1、2中，層層被開方數(shù)“1，2，3，…，n”顯然是公差為“1”的很簡(jiǎn)單等差數(shù)列形式，能否弱化條件，將其推廣為公差為任意實(shí)數(shù)“a”的等差數(shù)列“ka，（k+ 1）a，（k+2）a，…”的形式？

證明：當(dāng)n=k時(shí)，上式顯然成立.

綜上所述，推廣1對(duì)一切k（1≤k≤n）都成立.

思考2：推廣1將公差為“1”的簡(jiǎn)單等差數(shù)列擴(kuò)充為公差為“a”的等差數(shù)列“ka，（k+1）a，（k+2）a，…”形式，若在層層根號(hào)前引入?yún)?shù)“m”，能否將其推廣為更一般的任意等差數(shù)列｛an｝呢？

推廣2已知n是大于等于2的整數(shù)，數(shù)列｛an｝是公差d≥0的正項(xiàng)等差數(shù)列，m＞0，則

分析：由于上述不等式與推廣1不等式形式類似，故繼續(xù)運(yùn)用反向數(shù)學(xué)歸納法予以證明.然成立.

綜上所述，推廣2得證.

思考3：推廣1、2都是處于洞悉了層層被開方數(shù)“1，2，3，…，n”是公差為“1”的簡(jiǎn)單等差數(shù)列后的思緒延續(xù)，若層層被開方數(shù)“1，2，3，…，n”不變，而改變其開方次數(shù)，還能夠得到優(yōu)美的推廣結(jié)論嗎？

要證推廣3，需借助文［3］中關(guān)于一個(gè)加權(quán)冪平均單調(diào)性的引理.

下面結(jié)合引理對(duì)推廣3實(shí)施證明.

綜上所述，推廣3得證.

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家P.R.Halmos說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”是的！有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題往往是數(shù)學(xué)思維得以發(fā)展的橋梁.本文所涉及的無理不等式問題在其形式與內(nèi)涵上具有雙重美，其魅力在不斷思考與火熱探究的過程中光彩綻放.

四、猜想

最后，筆者提出一些待解決的類似無理不等式猜想，請(qǐng)讀者否定或證明.

1.尚生陳.數(shù)學(xué)問題與解答2250［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（6）.

2.宋慶.數(shù)學(xué)問題與解答2162［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（1）.

3.匡繼昌.常用不等式（第四版）［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2010.

4.劉再平.從一道多重根式不等式趣題談起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（上半月），2015（1）.

5.馬乾凱，李明.一個(gè)根式不等式的推廣［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬刊），2011（4）.

6.安振平.一道IMO預(yù)選題加強(qiáng)的再探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（10）.