構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉浙江省紹興市上虞區(qū)豐惠中學(xué) 王東芬

構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉浙江省紹興市上虞區(qū)豐惠中學(xué) 王東芬

解題的過(guò)程實(shí)際上就是利用已有知識(shí)和條件來(lái)求解未知參數(shù)的過(guò)程，但是在實(shí)際的數(shù)學(xué)解題過(guò)程中不可避免地會(huì)遇到缺乏解題條件或者解題條件不合理等問(wèn)題，此時(shí)如果合理應(yīng)用構(gòu)造法，那么可以快速達(dá)到求解的目的.因此，如何才能有效地將構(gòu)造法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題值得深入探討.

一、構(gòu)造法的基本原理

顧名思義，構(gòu)造法就是按照已知方式或者經(jīng)過(guò)一些步驟將某些比較抽象的問(wèn)題直觀化、形象化，進(jìn)而再按照一般方式進(jìn)行求解的過(guò)程.通常而言，我們?cè)诮忸}時(shí)常常伴隨著一種內(nèi)在的思維定式情況，即按照正面思考順序，結(jié)合已知條件來(lái)探討問(wèn)題的求解思路，數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解也不例外.但是在實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程中卻常常會(huì)因該種思維定式而無(wú)法順利解題，此時(shí)如果可以合理采用逆向思維來(lái)思考和求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么往往可以達(dá)到“絕處逢生”的目的，構(gòu)造法實(shí)際上就是基于該種思想的一種方法.而就構(gòu)造法在數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中的具體應(yīng)用而言，其主要是要求我們?cè)跓o(wú)法按照傳統(tǒng)求解思路和理念解決問(wèn)題的情況下，去換個(gè)角度來(lái)探討已知條件和問(wèn)題以及未知參數(shù)等之間的關(guān)系，進(jìn)而借此來(lái)建立一種新型問(wèn)題來(lái)快速求解問(wèn)題.從根本上來(lái)講，構(gòu)造法具有創(chuàng)造性、不固定性、多樣性和靈活性等特性，關(guān)鍵在于“構(gòu)造”二字.

二、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用范圍比較廣，涉及到高中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)、數(shù)列知識(shí)、函數(shù)知識(shí)以及不等式知識(shí)等諸多方面.而就構(gòu)造法在解題中的具體應(yīng)用而言，其主要包括如下幾個(gè)方面.

1.構(gòu)造方程法

構(gòu)造方程法是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一種解題方法，是大多數(shù)高中生比較熟悉的一種解題方法.實(shí)際上，函數(shù)和方程二者之間本身具有很強(qiáng)聯(lián)系性，其中構(gòu)造方程就是充分借助題干信息中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征等來(lái)假設(shè)構(gòu)成一個(gè)或者幾個(gè)等量方程關(guān)系式，進(jìn)而借助相應(yīng)等量方程關(guān)系式的構(gòu)建來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化解題思路的目的，同時(shí)也可以使學(xué)生在運(yùn)用構(gòu)造方程解題時(shí)培養(yǎng)和提升他們的思維能力與觀察能力.

例1已知（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，試求證m，n，x為等差數(shù)列.

分析：針對(duì)該道數(shù)學(xué)試題的求解，可以借助構(gòu)造方程法來(lái)將題干信息中的有關(guān)條件和結(jié)論進(jìn)行有效結(jié)合，這樣可以實(shí)現(xiàn)對(duì)題干信息簡(jiǎn)單化、形象化，有助于更好地構(gòu)建求解問(wèn)題的方程.而如果按照傳統(tǒng)的求解方法，那么不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，最終學(xué)生可能也無(wú)法達(dá)到求解問(wèn)題的目的.

解：構(gòu)建方程（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，①

令F（t）=（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）.

由題意可知，F(xiàn)（1）=0，則可知所構(gòu)建方程①中實(shí)數(shù)根相等，那么可由（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0解得t=1，這也意味著方程中兩個(gè)實(shí)數(shù)根取值均為1.然后由韋達(dá)定理即可求得m+n=2x，這樣即可證明m，n和x是等差數(shù)列.

如此一來(lái)，通過(guò)借助構(gòu)造方程法，有助于將相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，可以快速解答有關(guān)的數(shù)學(xué)題目，增強(qiáng)解題效果.

2.構(gòu)造函數(shù)法

同構(gòu)造方程法類似，高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)知識(shí)和方程之間具有緊密聯(lián)系.構(gòu)造函數(shù)法的合理應(yīng)用，可以培養(yǎng)和提升學(xué)生的解題能力，尤其適用于幾何類型和代數(shù)類型數(shù)學(xué)題干信息的求解中來(lái).在實(shí)際的數(shù)學(xué)題目求解過(guò)程中，可以將某些數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一些形式比較簡(jiǎn)單的函數(shù)形式，有助于達(dá)到簡(jiǎn)化求解過(guò)程，提高解題準(zhǔn)確度的目的，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

3.構(gòu)造向量法

向量作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是高考數(shù)學(xué)學(xué)科考查的重點(diǎn)內(nèi)容.實(shí)際上，向量既可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算也可以進(jìn)行幾何運(yùn)算.借助構(gòu)造向量法的合理應(yīng)用，可以把有關(guān)問(wèn)題從數(shù)過(guò)渡到形，有助于增強(qiáng)某些問(wèn)題的直觀性和形象性，幫助學(xué)生更好地解決有關(guān)的向量問(wèn)題.特別是針對(duì)不等式的結(jié)構(gòu)特征，如m1m2+n1n2，此時(shí)借助向量數(shù)量積即可來(lái)表示相應(yīng)的數(shù)學(xué)題干信息，從而可以將原來(lái)的不等式適當(dāng)變形為原不等式的證明提供新的方法.這樣學(xué)生不必再進(jìn)行煩瑣的計(jì)算和復(fù)雜的論證，只需要簡(jiǎn)單論證即可.

分析：該題是一道典型的函數(shù)題，采用傳統(tǒng)解題方法需要進(jìn)行分類討論，計(jì)算煩瑣性比較大，但是如果引入向量方面的知識(shí)，構(gòu)造向量方面的有關(guān)式子，那么可以達(dá)到簡(jiǎn)化該題，降低解題難度的效果.

4.構(gòu)造圖形法

縱觀高中數(shù)學(xué)學(xué)科中的知識(shí)，數(shù)形結(jié)合法是常見(jiàn)的一種解題方法，構(gòu)造符合題意的圖形，可以將某些文本描述過(guò)于煩瑣、復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)精簡(jiǎn)化、直觀化，有助于增強(qiáng)問(wèn)題求解的形象化，可以使我們更加便捷地求解有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)也可以使我們?cè)诖诉^(guò)程中了解、學(xué)習(xí)和掌握數(shù)形結(jié)合方面的重要解題思想和能力.而構(gòu)造圖形法的最直觀體現(xiàn)就是數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，其是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中至關(guān)重要的一種解題思想，往往可以使某些抽象、繁雜的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化，從而有助于我們更好地求解有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例4已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是（）.

解析：如圖1所示，記拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，則F（1，0），注意到直線l2：x=-1是拋物線y2=4x的準(zhǔn)線，于是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l2的距離等于|PF|，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l1：4x-3y+6=0的距離與它到焦點(diǎn)F（1，0）的距離之和的最小值，結(jié)合圖形可知，該最小值等于焦點(diǎn)F（1，0）到直線l：4x-3y+6=0的距離d==2.故選A.

1

圖1

由此可知，作出相應(yīng)的直線圖形，可以使我們直觀地確定待求問(wèn)題的解題關(guān)鍵所在，不僅有助于加快解題速度，同時(shí)也可以培養(yǎng)我們邏輯思維能力.

例5已知點(diǎn)M（3，5），在y軸和直線y=x上分別找一點(diǎn)P和N，使得△MNP的周長(zhǎng)最小.

分析：作點(diǎn)M（3，5）關(guān)于y軸和直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)M1，M2，則|MP|=|M1P|，|MN|=|M2N|，所以△MNP的周長(zhǎng)等于|M1P|+|PN|+|M2N|，當(dāng)且僅當(dāng)M1，M2，P三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，所以點(diǎn)P，N應(yīng)為直線M1M2和y軸與直線y=x的交點(diǎn).

解：作點(diǎn)M（3，5）關(guān)于y軸和直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)M1，M2，則點(diǎn)M1，M2的坐標(biāo)分別為（-3，5），（5，3），具體如圖2所示.

圖2

由此可知，通過(guò)構(gòu)造圖形法的合理應(yīng)用，就可以利用對(duì)稱思想為線段找到了“替身”，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題，那么相應(yīng)的求解難度將大大降低.

除了應(yīng)用題計(jì)算之外，構(gòu)造圖形法也可以用于選擇題的求解.借助構(gòu)造圖形法的合理應(yīng)用，可以幫助我們快速求解某些選擇題，而不再需要煩瑣的大量計(jì)算，同時(shí)計(jì)算準(zhǔn)確率也比較高，具有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值.

例6已知0＜a＜1，則方程a|x|=|logax|的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）.

A.1B.2

C.3D.1或2或3

解析：判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷y= a|x|與y=|logax|圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖像（如圖3所示），易知兩圖像只有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程有2個(gè)實(shí)根，故選B.

圖3

例7函數(shù)f（x）=2x+x3-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3

解析：設(shè)y1=2x，y2=2-x3，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖像（如圖4所示），可知B正確.

圖4

如果針對(duì)例7采用常規(guī)的解題方法，相應(yīng)的步驟為：因?yàn)閒（0）=1+0-2=-1，f（1）=2+23-2=8，即f（0）·f（1）＜0且函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)連續(xù)不斷，故f（x）在（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.

由此可知，通過(guò)借助圖形，可以使我們無(wú)需繼續(xù)按照常規(guī)的函數(shù)對(duì)比來(lái)判斷最終結(jié)果，只需要借助繪制圖形即可得到我們想要的關(guān)鍵信息，可以快速幫助我們找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，提高我們解題能力.

5.構(gòu)造數(shù)列法

等差數(shù)列和等比數(shù)列均是高中數(shù)學(xué)中數(shù)列章節(jié)的重要內(nèi)容，本身包含著許多數(shù)學(xué)性質(zhì)，是高中數(shù)學(xué)教材中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容和高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.在解決相關(guān)高中數(shù)學(xué)方面數(shù)列問(wèn)題的過(guò)程中，可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合相應(yīng)的題設(shè)特征，借助替換和聯(lián)想等方式來(lái)虛構(gòu)一個(gè)等差數(shù)列或者等比數(shù)列，那么可以借助等差或者等比數(shù)列的合理應(yīng)用來(lái)明確相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解要點(diǎn)，這樣就可以起到化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體的作用.

分析：該題是一道典型的數(shù)列問(wèn)題，且已經(jīng)知道前n項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)an之間的關(guān)系，那么反推Sn的表達(dá)式.此時(shí)如果采用傳統(tǒng)的通項(xiàng)公式求解方法，那么不僅煩瑣，也無(wú)法直接套用公式，但是如果虛構(gòu)數(shù)列，那么可以建立一個(gè)新型的數(shù)列來(lái)達(dá)到求解的目的.

解：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，

6.構(gòu)造解析式法

所謂的構(gòu)造解析式法實(shí)際上就是通過(guò)合理構(gòu)建一個(gè)適當(dāng)?shù)年P(guān)系式來(lái)輔助題目求解，其在解題中的合理應(yīng)用，有助于大大簡(jiǎn)化解題思路.而構(gòu)造解析式法的具體應(yīng)用模式而言，其主要為結(jié)合實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征來(lái)合理構(gòu)建一個(gè)與之相關(guān)的關(guān)系式，然后可以替代原有題干信息中的問(wèn)題或者簡(jiǎn)化原有數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)徹底解決這些原有的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而達(dá)到求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的.

總之，構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用范圍比較廣，可以應(yīng)用于幾何知識(shí)、數(shù)列知識(shí)、函數(shù)知識(shí)以及不等式知識(shí)等諸多類型數(shù)學(xué)題目求解中.但是為了充分發(fā)揮構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)題目求解中的積極作用，必須要結(jié)合實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)合理選擇構(gòu)造法，借助數(shù)學(xué)求解條件的合理構(gòu)造來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化題目求解的目的.