問題導(dǎo)學(xué)，探究生成，自然構(gòu)建*
——兩角和與差的正余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)

☉陜西省三原縣北城中學(xué) 廉萬朝

☉陜西省涇干中學(xué) 吳清軍

問題導(dǎo)學(xué)，探究生成，自然構(gòu)建*
——兩角和與差的正余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)

☉陜西省三原縣北城中學(xué) 廉萬朝

☉陜西省涇干中學(xué) 吳清軍

一、教材分析

本節(jié)選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（北師大版），第三章《三角恒等變換》的第二節(jié)“兩角和與差的正、余弦公式”（第一課時(shí)）.本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)、平面向量及解析幾何初步等知識(shí)后來進(jìn)行的，主要是學(xué)習(xí)兩角和與差余弦公式的推導(dǎo)及公式的簡單應(yīng)用.本節(jié)課的設(shè)計(jì)基于以下考慮：一是兩角和與差的三角函數(shù)公式是誘導(dǎo)公式的進(jìn)一步擴(kuò)充，即將cos（π-β）中的角π擴(kuò)充為任意角α，因此可利用誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)思路，表示出相應(yīng)的角，角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，尋求角的終邊之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式.類比這種發(fā)現(xiàn)思路，探索兩角和與差的三角函數(shù)公式.二是兩角和與差的正、余弦公式也是學(xué)生學(xué)習(xí)二倍角公式、半角公式、輔助角公式的前提與依據(jù)，因此兩角和與差的三角函數(shù)公式是三角變換中“公式”之本，起著承上啟下的作用，既是之前所學(xué)公式的推廣，又是之后要學(xué)公式的延伸，所以兩角和與差的三角函數(shù)公式的推導(dǎo)直接影響著本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，顯得至關(guān)重要.三是從學(xué)生的認(rèn)知與思維構(gòu)建的角度來看，符合“類比歸納”、“由特殊到一般”的認(rèn)知規(guī)律.教材之所以將本節(jié)課放在平面向量和解析幾何初步之后學(xué)習(xí)，一方面在兩角差的余弦公式推導(dǎo)時(shí)，入口更寬廣，方法更靈活，如平面向量的數(shù)量積、兩向量相等、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離等；另一方面讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系，并體現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合的思想方法，分類討論的思想方法，類比推理的方法等.

二、學(xué)情分析

本節(jié)課是在高一第二學(xué)期進(jìn)行的，之前學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式、解析幾何初步及平面向量，但由于教材設(shè)置的模塊化，學(xué)生往往忽略了知識(shí)之間的聯(lián)系.在平時(shí)的教學(xué)中，經(jīng)常有教師反映學(xué)生的知識(shí)遷移能力差，前學(xué)后忘的情況.其原因就是學(xué)生沒有充分經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，沒有認(rèn)識(shí)到知識(shí)之間的聯(lián)系，因此本節(jié)課對兩角差的余弦公式推導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)，就是讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)知識(shí)之間、方法之間的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

三、教學(xué)目標(biāo)

結(jié)合本節(jié)課在教材中的地位及學(xué)生的學(xué)情，可將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位如下：

1.通過角的表示、角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)與三角函數(shù)定義之間的關(guān)系、角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的關(guān)系、圖形幾何性質(zhì)與相應(yīng)的坐標(biāo)之間的關(guān)系等，讓學(xué)生能說出它們之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言加以表示.

2.依據(jù)角的表示、圖形中的幾何性質(zhì)、向量關(guān)系，能推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.

3.通過類比、遷移等思想方法，建立圖形語言與數(shù)學(xué)語言的關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類討論的思想.

依據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)可將本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)定為：

重點(diǎn)：圖形語言與數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)化，兩角差的余弦公式的推導(dǎo).

難點(diǎn)：用向量推導(dǎo)兩角和與差公式.

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）提出一個(gè)既熟悉又具有啟發(fā)性的問題，激發(fā)學(xué)生探索的欲望

前面學(xué)習(xí)了任意角的表示及三角函數(shù)的定義，根據(jù)角的表示，認(rèn)識(shí)到α，-α，π±α，2π-α等角的終邊之間的關(guān)系，再結(jié)合三角函數(shù)的定義得到相應(yīng)的誘導(dǎo)公式.

問題1：類比上述思路，我們能否建立角α，β與α-β，α+β之間的關(guān)系，進(jìn)而得到相應(yīng)的公式呢？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生既熟悉，又具啟發(fā)性的問題，運(yùn)用類比的方法，按照誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)思路去尋找它們之間的聯(lián)系.問題設(shè)計(jì)很開放，思路很開闊，既體現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，又能激發(fā)學(xué)生的思維，也是目標(biāo)1的體現(xiàn).

師：請同學(xué)們在同一直角坐標(biāo)系中，作出角α，β，αβ，且α，β∈（0，π），α＞β，并標(biāo)出它們與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo).

生1：如圖1，角α，β，α-β的始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cos（α-β），sin（α-β））.

圖1

圖2

生2：如圖2，角α，β的始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），則∠P1OP2=α-β.

師：誘導(dǎo)公式中，通過作出相應(yīng)的角，發(fā)現(xiàn)角的終邊有對稱關(guān)系，從而得到誘導(dǎo)公式，那么，上述圖形中，你能發(fā)現(xiàn)怎樣的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：通過作出相應(yīng)的圖形，從圖形中發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，問題具有發(fā)散性，又有探索性，也是目標(biāo)1、2的具體體現(xiàn).

生1：∠P1OP2=∠P3OP0=α-β.

生2：只有∠P1OP2=α-β，沒發(fā)現(xiàn)什么等量關(guān)系.

（二）依據(jù)圖形特點(diǎn)，建立等量關(guān)系

上述兩個(gè)圖形中，都體現(xiàn)了角α，β以及α-β，這是我們發(fā)現(xiàn)其中存在等量關(guān)系的基礎(chǔ)，類似于生1的思路，若能尋找出它們之間的等量關(guān)系，就可將圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，從而實(shí)現(xiàn)這些角之間的聯(lián)系.

問題2：結(jié)合我們學(xué)習(xí)過的解析幾何中的相關(guān)知識(shí)以及平面向量的知識(shí)，如何將圖1中的∠P1OP2=∠P3OP0用相應(yīng)的坐標(biāo)表示？圖2中真的找不到等量關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在“解析幾何中的相關(guān)知識(shí)以及平面向量的知識(shí)”的提示下，如何用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫∠P1OP2=∠P3OP0，就是問題的突破口.目的是讓學(xué)生盡可能想到更多的方法，同時(shí)挖掘圖2中的等量關(guān)系，也是目標(biāo)1、2、3的體現(xiàn).

生1：因?yàn)椤螾1OP2=∠P3OP0，所以|P1P2|=|P3P0|.

整理得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

生3：因?yàn)椤螾1OP2=∠P3OP0，

所以cos∠P1OP2=cos∠P3OP0.

即1×cos（α-β）+0×sin（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

故cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：這兩個(gè)思路都很好，只要能建立其中的等量關(guān)系，并坐標(biāo)化，都可得到角α-β的三角函數(shù)值與角α、β的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.圖2中真的不能建立等量關(guān)系嗎？

即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：圖2中除了利用向量建立關(guān)系外，能否類似于生1的方法，通過距離建立關(guān)系？

生4：若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP2為x軸建立新的坐標(biāo)系x′Oy′，在新坐標(biāo)系中，P2（1，0），P1（cos（α-β），sin（α-β）），無論是在原坐標(biāo)系還是在新坐標(biāo)系中，|P1P2|保持不變，

即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：在這兩個(gè)圖形中，是否還有其他的解決途徑？請同學(xué)們課后繼續(xù)探索.

設(shè)計(jì)意圖：還可以通過平面向量基本定理建立其中的聯(lián)系.

（三）角的推廣，兩角和與差的正、余弦公式的形成

問題3：上面兩個(gè)圖形所畫的角都在（0，π）內(nèi)，而且α＞β，那么對于任意的角α，β，上述公式是否成立？

設(shè)計(jì)意圖：對所涉及的角進(jìn)行推廣，使公式的得出具備一般性.（目標(biāo)3的體現(xiàn)）

生5：當(dāng)α＜β時(shí)，因?yàn)閏os（α-β）=cos（β-α），所以，當(dāng)α，β都在［0，π］范圍內(nèi)時(shí)，公式也成立.

師：結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，當(dāng)角α，β在（π，2π］時(shí)又怎么辦？

設(shè)計(jì)意圖：問題很具體，就是通過誘導(dǎo)公式對所得公式中的角進(jìn)行推廣，也是目標(biāo)2的體現(xiàn).

生6：當(dāng)α∈（π，2π］，β∈（0，π］時(shí)，2π-α∈（0，π］，由誘導(dǎo)公式可得cos（α-β）=cos［2π-（α-β）］=cos［（2π-α）-（-β）］=cos（2π-α）cos（-β）+sin（2π-α）sin（-β）= cosαcosβ+sinαsinβ，即公式也成立.

同樣地，β∈（π，2π］，α∈（0，π］時(shí)也成立.

生7：當(dāng)α∈（π，2π］，β∈（π，2π］時(shí)，2π-α∈（0，π］，2π-β∈（0，π］，于是cos（α-β）=cos（β-α）=cos［（2π-α）-（2π-β）］，再結(jié)合誘導(dǎo)公式可得

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：我們還得驗(yàn)證當(dāng)α，β大于2π時(shí)，公式是否成立？

生8：由于cos（2kπ+α）=cosα，sin（2kπ+α）=sinα，k∈Z，所以對于α，β大于2π時(shí)，公式也成立.

師：綜上所述，對于任意的α，β，都有cos（α-β）= cosαcosβ+sinαsinβ成立，這就是兩角差的余弦公式.

（四）搭建平臺(tái)，建立聯(lián)系

問題4：有了兩角差的余弦公式，能否由此出發(fā)得到兩角和的余弦、兩角和與差的正弦等公式？

設(shè)計(jì)意圖：有了上面對兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，以及通過誘導(dǎo)公式對其進(jìn)行一般化推廣，得到其他公式已經(jīng)不存在問題，讓學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)，一方面進(jìn)一步熟悉公式之間的聯(lián)系，另一方面也是記憶公式的一個(gè)好方法.

學(xué)生通過自主推導(dǎo)，或者小組合作，得到兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式.

問題5：利用兩角和與差的正、余弦公式來驗(yàn)證誘導(dǎo)公式.

如sin（π+α）=-sinα，cos（π-α）=-cosα等.

由此可見，兩角和與差的正、余弦公式以及誘導(dǎo)公式之間都存在著必然的聯(lián)系，誘導(dǎo)公式是兩角和與差的三角函數(shù)公式的特例，兩角和與差的三角函數(shù)公式都可以由兩角差的余弦公式變化而得.

（五）練習(xí)鞏固，熟悉公式

問題6：兩角和與差的三角函數(shù)公式都可以解決哪些問題？

設(shè)計(jì)意圖：通過公式的應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)公式的特點(diǎn)，明確公式所能解決的問題.先讓學(xué)生說出所能解決的問題，這樣在解決問題時(shí)，應(yīng)用公式就得心應(yīng)手.

設(shè)計(jì)意圖：第①題是讓學(xué)生能直接應(yīng)用公式解決問題，第②題是公式的逆向應(yīng)用，第③題是考慮如何選擇公式，是對公式的進(jìn)一步應(yīng)用.

（六）歸納小結(jié)，形成體系

問題7：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你是怎樣發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式的？學(xué)會(huì)了什么思想方法？

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)回顧，要得到兩角差的余弦公式，就必須先表示出相應(yīng)的角，尋找這些“量”之間的關(guān)系，才能發(fā)現(xiàn)關(guān)系，得出公式，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步熟知公式發(fā)現(xiàn)的過程和所采用的思想方法.

問題8：通過兩角和與差的三角函數(shù)公式能解決哪些問題？

設(shè)計(jì)意圖：對于公式、定理的學(xué)習(xí)，其目的就是為了解決問題，只有讓學(xué)生熟知所能解決的問題，應(yīng)用公式才能更直接，更快捷.

五、教學(xué)反思

本節(jié)課針對教材內(nèi)容設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題”的過程.通過學(xué)生熟知的誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)思路，采用類比的方法，“我們能否建立角α，β，α-β之間的關(guān)系，進(jìn)而得到相應(yīng)的公式？”學(xué)生表述出角α，β，α-β以及角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，就為發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系奠定了基礎(chǔ)，這是發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵，只有發(fā)現(xiàn)問題，才能在此基礎(chǔ)上，結(jié)合已有知識(shí)去探索問題，尋求解決問題的方法，如生1～4的方法，而且這些方法的得出既自然，又易于掌握.更重要的是教給學(xué)生一種探索問題的方法，表示出相應(yīng)的“量”，尋找“量”之間的關(guān)系，并進(jìn)行數(shù)學(xué)化，即可得到公式.如圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的得出，正弦、余弦定理的得出都是這種思路的體現(xiàn).同時(shí)，在對公式中的角進(jìn)行推廣的過程中，通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的問題串，結(jié)合學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，一步步使公式得以完善.整個(gè)過程看似學(xué)生在探索，其實(shí)是問題引導(dǎo)下的結(jié)果，有問題才有發(fā)現(xiàn)，有思考才有創(chuàng)新，正是這種以問題引導(dǎo)的思維課堂，才使公式的得出自然和諧，學(xué)生應(yīng)用公式解決問題也才會(huì)得心應(yīng)手.但本節(jié)中教師干預(yù)依然太多，學(xué)生的主體地位體現(xiàn)還不夠，課堂中問題設(shè)計(jì)還不夠緊密，要不斷在課堂中尋找學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過程中所存在的問題，不斷優(yōu)化問題，只有這樣才能更好的發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，讓課堂的效率更高.

1.廉萬朝.高中概念教學(xué)中“問題導(dǎo)學(xué)”的案例研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（3）.

2.廉萬朝，崔莉.“問題導(dǎo)學(xué)”讓課堂更生動(dòng)［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（9）.

*本文系咸陽市名師科研課題“高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“問題導(dǎo)學(xué)”的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：XYXMKT16004）的研究成果之一.