基于速度反饋控制的自激振動特性研究

馮 偉， 宋漢文

(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092)

基于速度反饋控制的自激振動特性研究

馮 偉， 宋漢文

(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092)

工程中自激振動常被作為不利因素而加以抑制，然而在振動能量捕獲等振動利用研究中，自激振動也有振幅響應(yīng)大、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點，利用自激振動作為振動驅(qū)動將具有極大的優(yōu)勢。以懸臂梁為研究對象，通過模態(tài)參數(shù)與測點組合條件，導(dǎo)出了基于速度反饋控制下各階模態(tài)的變化模式，得到了產(chǎn)生自激振動的數(shù)值判據(jù)，并對單模態(tài)進(jìn)入自激振動以后的非線性極限環(huán)現(xiàn)象進(jìn)行了討論。通過理論建模、數(shù)值仿真和控制實驗及數(shù)據(jù)處理，驗證了該研究的正確性。

自激振動；反饋控制；模態(tài)分析；極限環(huán)

經(jīng)典結(jié)構(gòu)動力學(xué)主動控制領(lǐng)域的研究始于20世紀(jì)50年代，取得了豐富的研究成果[1]，廣泛應(yīng)用在航空航天、高速鐵路、土木工程[2]等領(lǐng)域。主動控制的研究目的大多是基于減振降噪、使響應(yīng)過程快速衰減或增加系統(tǒng)穩(wěn)定性意義下的最優(yōu)控制律的構(gòu)造與實現(xiàn)問題。如通過對受電弓主動控制來抑制弓網(wǎng)耦合振動[3]，利用主動平衡解決高速轉(zhuǎn)子的同步振動問題[4]、抑制噪聲和振動提高可居住性、舒適性[5]等。而對于含控制結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性研究不多見。對于流固耦合、干摩擦、轉(zhuǎn)子動力學(xué)、氣動彈性及伺服控制等復(fù)雜環(huán)境載荷激勵下的一系列涉及自激振動的研究中，其數(shù)學(xué)、力學(xué)模型與主動控制是完全一致的，但其控制律卻是非人工主動構(gòu)建的、也是未知的。對于人為構(gòu)建的主動控制結(jié)構(gòu)，已有學(xué)者將主動控制應(yīng)用到諸多方面[6-8]。高志遠(yuǎn)等[9]提出一種結(jié)合前饋自適應(yīng)控制器和反饋自適應(yīng)控制器的混合自適應(yīng)振動主動控制方法；SERRAND等[10]提出了一種基于速度反饋的兩通道隔振器，通過改變系統(tǒng)有效阻尼從而調(diào)整隔振效果。

在主動結(jié)構(gòu)的研究過程中，張景繪等[11]針對主動結(jié)構(gòu)的理論研究、定義概念和數(shù)值計算進(jìn)行了奠基性的工作。MALAS等[12]進(jìn)行了基于繼電反饋的自激振動系統(tǒng)的理論建模與優(yōu)化控制，劉海標(biāo)等[13]研究了主動結(jié)構(gòu)的控制律辨識，對基于非特定目的的主動控制行為，辨識來自環(huán)境控制的未知控制律。為自激振動的形成機(jī)理、參數(shù)辨識等研究提供支持。WARMINSKI等[14]研究了在自激振動和外部激勵下非線性梁的主動振動控制，給出了負(fù)阻尼對結(jié)構(gòu)的影響以及控制結(jié)構(gòu)的參數(shù)。鄭兆昌提出了關(guān)于線性和非線性系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，揭示了高自由度線性振動和非線性振動都是以線性主模態(tài)呈現(xiàn)其運動規(guī)律。

本文研究基于速度反饋控制的自激振動特性。在自激振動系統(tǒng)中，激振力為系統(tǒng)動力學(xué)(位移、速度、加速度及應(yīng)力應(yīng)變等)的函數(shù)。通過對多自由度理論建模，探究自激振動產(chǎn)生的條件與控制方法，為自激振動利用與控制提供理論依據(jù)。

1 動力學(xué)模型

多自由度線性系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(1)

(2)

(3)

1.1 動力學(xué)模型分析

設(shè)系統(tǒng)依質(zhì)量歸一化后的振型矩陣為[Φ]

{x(t)}=[Φ]{q(t)}

(4)

采用實模態(tài)假定，解耦后的動力學(xué)方程為

(5)

對于速度反饋增益矩陣[D]，不同測量點和控制點的選取會導(dǎo)致[D]中元素位置和大小的變化。一般地，討論單測量點、單激勵點模式，將系統(tǒng)中第j個測點上的速度響應(yīng)反饋到第i個測點上。則

代入后，式(5)變?yōu)?/p>

對于系統(tǒng)中任一階(第r階)模態(tài)，其動力學(xué)方程為

(6)

由此，得到了模態(tài)方程， 右端為由系統(tǒng)各階模態(tài)速度疊加而成的廣義力。將右端激勵中的第r項

移項至左端合并同類項。若fr取值合適，則會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)負(fù)阻尼，引起系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)散。整理后第r階模態(tài)方程為

(7)

1.2 等效模態(tài)阻尼的取值區(qū)間與系統(tǒng)響應(yīng)特征的關(guān)系

第r階方程中的等效模態(tài)阻尼模態(tài)為

討論系統(tǒng)僅有第r階模態(tài)發(fā)散的情況。文獻(xiàn)[15]指出，對于任一多自由度系統(tǒng)，在共振狀態(tài)下，可以用起主導(dǎo)作用的各階線性模態(tài)化為單自由度非線性系統(tǒng)，從而實施定性與定量分析。

本文采用單模態(tài)自激振動判據(jù)，系統(tǒng)中只有第r階模態(tài)阻尼為負(fù)，系統(tǒng)將在第r階模態(tài)發(fā)生發(fā)散性自激振動。同時其它階模態(tài)都將是小阻尼的非共振受迫振動，其貢獻(xiàn)相對第r階可忽略不計。此時，第r階模態(tài)起主導(dǎo)作用，系統(tǒng)振動可以簡化為等效模態(tài)單自由度系統(tǒng)進(jìn)行定性與定量分析。

1.3 系統(tǒng)單模態(tài)發(fā)散后的非線性響應(yīng)特性

對于真實系統(tǒng)，一旦產(chǎn)生自激振動，系統(tǒng)將由于響應(yīng)的逐漸增大而導(dǎo)致崩潰。但是，在隨后的實驗中觀察到，當(dāng)滿足上述單模態(tài)自激振動判據(jù)2ξpωp/φipφjp>dij>2ξrωr/φirφjr時，系統(tǒng)響應(yīng)增大到一定數(shù)值后，趨于一個穩(wěn)定的極限環(huán)。在負(fù)阻尼條件下，隨著系統(tǒng)響應(yīng)的不斷增大，此時系統(tǒng)以不再遵守微振動假設(shè)，其幾何非線性特性不可忽略?？紤]系統(tǒng)幾何非線性阻尼，將該階模態(tài)的動力學(xué)方程修正為

(8)

式中，b>0為三次非線性阻尼的系數(shù)，具體數(shù)值可由實驗數(shù)據(jù)中擬合得到。

2 實驗研究

考慮一個具有集中質(zhì)量的不銹鋼懸臂梁(見圖1)。參數(shù)設(shè)置為：長l=30 cm、寬b=2.7 cm、厚度h=0.1 cm。密度ρ=7.9 g/cm3，E=209 GPa，均勻梁質(zhì)量為0.064 kg，實驗原理見圖2。

圖1 實驗裝置圖Fig.1 Diagram of experimental setup

圖2 實驗原理圖Fig.2 Diagram of experimental schematic

3.1 系統(tǒng)建模

將系統(tǒng)離散為6自由度模型，在3號測點布置一個集中質(zhì)量30 g，同時將6個加速度傳感器也視為集中質(zhì)量考慮。剛度矩陣[K]由柔度矩陣求逆獲得，阻尼矩陣[C]通過實測各階模態(tài)阻尼比、固有頻率和模態(tài)振型重構(gòu)。求得系統(tǒng)的質(zhì)量歸一化陣型矩陣為[Φ]。

將上述系統(tǒng)及參數(shù)進(jìn)行仿真計算，獲得系統(tǒng)各階固有頻率、阻尼比(見表1)，特征向量矩陣等參數(shù)，模態(tài)振型見圖3，由上述判據(jù)計算2ξrωr/φirφjr的數(shù)值匯于表2。

通過表2，獲得了所有控制點與反饋點完備組合下的速度反饋控制規(guī)律，可以找到使任意一階模態(tài)發(fā)散或收斂的最優(yōu)控制位置；也可以在任意指定的控制及反饋測點下，預(yù)測每一階模態(tài)的控制效果。值得特別指出的是，若取增益系數(shù)dij<0，上述發(fā)散和收斂特性將可互換，于是，表2中，取絕對值最小的組合配合dij的正負(fù)選擇，將是最優(yōu)的控制組合。

表1 仿真系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)

本文選擇第2點控制、第6點反饋展開仿真和實驗研究，取增益系數(shù)dij<0的負(fù)反饋控制模式，此時各階2ξrωr/φirφjr見表3。仿真結(jié)果顯示，第1階、3階、6階模態(tài)阻尼將比控制前增大；取0>dij>-0.613 9，第2階、4階、5階模態(tài)阻尼將比控制前模態(tài)阻尼為小(但尚保持正數(shù))；若-0.631 9>dij>-3.506 0，可實現(xiàn)僅使第2階模態(tài)響應(yīng)發(fā)散，其余模態(tài)保持穩(wěn)定。取dij=-1.5，僅對第2階模態(tài)進(jìn)行仿真，若取非線性阻尼系數(shù)b=0，系統(tǒng)將發(fā)散，經(jīng)嘗試，取非線性阻尼系數(shù)b=5.7。

圖3 模態(tài)振型曲線Fig.3 Curve of mode shape

表2 2ξrωr/φirφjr的數(shù)值分布Tab.2 Value of 2ξrωr/φirφjr

表3 2ξrωr/φirφjr的數(shù)值分布

2.2 實驗過程

首先通過模態(tài)分析測得的懸臂梁模態(tài)參數(shù)見表4。

表4 實驗系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)

反饋作動器為壓電陶瓷片，利用第6測點加速度響應(yīng)通過積分方法其轉(zhuǎn)換為速度信號，經(jīng)功率放大后施加到第2測點位置進(jìn)行作動。逐漸增大反饋信號的增益，使系統(tǒng)出現(xiàn)負(fù)阻尼導(dǎo)致發(fā)散的自激振動。

反饋點的實驗與仿真見圖4和圖5，控制點實驗響應(yīng)見圖6。

圖4 反饋點實驗響應(yīng)圖Fig.4 Response diagram of feedback point in experiment

圖5 反饋點仿真響應(yīng)圖Fig.5 Response diagram of feedback point in simulation

圖6 控制點仿真響應(yīng)圖Fig.6 Response diagram of control point in experiment

實驗使用壓電陶瓷片作動器，目前的技術(shù)無法測得其對系統(tǒng)的激勵力(矩)信號，信號放大器及功率放大器的增益系數(shù)也無法精確獲得。選取的仿真參數(shù)dij=-1.5,b=5.7，是經(jīng)由實驗數(shù)據(jù)多次試算匹配得到的。

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的自激振動狀態(tài)時，測取系統(tǒng)加速度信號。在實驗中觀測到系統(tǒng)從微幅振動開始到系統(tǒng)穩(wěn)定，有如下特征(實驗與仿真的振型對比見圖7)：

1) 控制回路閉環(huán)時，施加初擾動，反饋增益較小時，系統(tǒng)在初始擾動下響應(yīng)逐漸衰減，系統(tǒng)仍為正阻尼振動系統(tǒng)。

2) 逐次增大反饋增益，系統(tǒng)在初始擾動下振動響應(yīng)逐漸增大；增益達(dá)到某一臨界值后的一段區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)趨于穩(wěn)定，我們認(rèn)為接近極限環(huán)，其振動波形與簡諧力激勵下的受迫振動相似。

3) 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動時，其振動頻率為30.85 Hz，接近系統(tǒng)第二階固有頻率32.75 Hz。

4) 系統(tǒng)穩(wěn)定振動時，與第二階固有振型相似。

圖7 實驗與仿真振型對比圖Fig.7 Comparison diagram of experiment and simulation modes

5) 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)極限環(huán)振動時，用外力強(qiáng)行阻止響應(yīng)后再松開，在較短的時間內(nèi)，系統(tǒng)可自動回到穩(wěn)定運動狀態(tài)，說明自激振動具有較強(qiáng)抗干擾能力和魯棒性。

6) 繼續(xù)增大反饋增益，系統(tǒng)響應(yīng)增大較快，導(dǎo)致傳感器脫落，實驗中斷。

3 結(jié) 論

本文研究了基于速度信號控制下系統(tǒng)響應(yīng)模式和自激振動產(chǎn)生的條件，給出了反饋控制系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)特征與反饋參數(shù)(參考點、激勵點、增益)及系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)(固有頻率、阻尼比、振型系數(shù))的關(guān)系與判據(jù)。利用該判據(jù)，在已知系統(tǒng)各階模態(tài)參數(shù)的前提下，可以通過反饋控制來調(diào)整原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)計并實現(xiàn)使原系統(tǒng)任意階模態(tài)響應(yīng)加速收斂或加速發(fā)散的最優(yōu)控制位置和最佳增益?；蛘叻催^來，可以預(yù)測任意可行的參考點、激勵點及增益組合下系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)特性。通過仿真和實驗對所提出的理論進(jìn)行了驗證。

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Characteristics of self-excited vibration based on speed feedback control

FENG Wei，SONG Hanwen

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Self-excited vibration is often suppressed as an unfavorable factor in many engineering fields. However, some special characteristics of self-exited vibration, such as, large amplitude response and strong anti-disturbances capability make it be an ideal driver for vibration utilization study, specifically, vibration energy harvesting. Herer, varying patterns of each mode and numerical criteria of self-excited vibration under control of velocity feedback were derived in studying cantilever beams with constraints of modal parameters and test points. One phenomenon, i.e., the nonlinear limit-cycle produced by a single mode self-exited vibration was discussed as well. The correctness of this study was verified with theoretical modeling, numerical simulation, control tests and data processing.

self-excited vibration; feedback control; modal analysis; limit cycle

國家自然科學(xué)基金面上項目(11272235)

2015-07-22 修改稿收到日期： 2016-02-14

馮偉 男，本科，1993年生

宋漢文 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1961年生

TB53；O323；TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.013