復(fù)合材料基準(zhǔn)值計(jì)算程序及其與可靠性關(guān)系

劉艷紅，王曉強(qiáng)

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) a.計(jì)財(cái)處，b.航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136)

復(fù)合材料基準(zhǔn)值計(jì)算程序及其與可靠性關(guān)系

劉艷紅a，王曉強(qiáng)b

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) a.計(jì)財(cái)處，b.航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136)

通過(guò)MATLAB軟件編寫(xiě)復(fù)合材料力學(xué)性能A、B基準(zhǔn)值的計(jì)算程序，該計(jì)算程序采用Excel表格進(jìn)行輸入和輸出，操作簡(jiǎn)單。通過(guò)數(shù)值驗(yàn)證可知：該計(jì)算程序結(jié)果正確，可以提高試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的效率?；诮o定的安全系數(shù)，給出基準(zhǔn)值與結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)之間的關(guān)系表達(dá)式，明確了基準(zhǔn)值與結(jié)構(gòu)可靠性之間的內(nèi)在關(guān)系。算例結(jié)果表明，基于B基準(zhǔn)值的設(shè)計(jì)方法是可以滿足結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)要求的，但結(jié)構(gòu)可靠性過(guò)高、偏于保守。

復(fù)合材料；基準(zhǔn)值；計(jì)算程序；可靠性；安全系數(shù)

大量采用復(fù)合材料是飛機(jī)機(jī)身、機(jī)翼等結(jié)構(gòu)減重的主要技術(shù)措施之一[1-3]。但是，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的使用也引入了許多新的問(wèn)題，其中之一就是復(fù)合材料的力學(xué)性能與金屬材料相比，具有更大的分散性[4-5]。因此，在飛機(jī)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，如何確保飛機(jī)結(jié)構(gòu)的安全性即如何經(jīng)濟(jì)合理地確定復(fù)合材料力學(xué)性能的基準(zhǔn)值，是一個(gè)現(xiàn)實(shí)且非常重要的問(wèn)題[6-7]。美國(guó)航空領(lǐng)域，基于統(tǒng)計(jì)分析方法，在MIL-HDBK-17-1F手冊(cè)中給出了復(fù)合材料A、B基準(zhǔn)值的計(jì)算方法。在此之后，美國(guó)FAA(Federal Aviation Administration)基于長(zhǎng)期使用經(jīng)驗(yàn)，對(duì)MIL-HDBK-17-1F手冊(cè)中的計(jì)算方法進(jìn)行了修訂。在國(guó)外手冊(cè)的研究成果基礎(chǔ)之上，我國(guó)制定了航空行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)HB 7618-2009。采用復(fù)合材料基準(zhǔn)值的設(shè)計(jì)方法主要是考慮復(fù)合材料力學(xué)性能具有一定的分散性，經(jīng)濟(jì)合理地選取復(fù)合材料力學(xué)性能在實(shí)際設(shè)計(jì)中的取值問(wèn)題?；诓牧匣鶞?zhǔn)值的設(shè)計(jì)方法是利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)材料力學(xué)性能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析確定其概率分布形式，然后在給定置信度下，將指定的下分位數(shù)做為基準(zhǔn)值，即基準(zhǔn)值是基于統(tǒng)計(jì)意義下的確定值?；诳煽啃缘脑O(shè)計(jì)方法也是利用統(tǒng)計(jì)方法確定各不確定量的概率分布形式[8-10]，但與基準(zhǔn)值設(shè)計(jì)方法不同的是“可靠性設(shè)計(jì)方法直接利用不確定量的概率分布進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，可以充分考慮復(fù)合材料力學(xué)性能的分散性”。綜上，基準(zhǔn)值設(shè)計(jì)方法是利用力學(xué)性能概率分布的下分位數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，而可靠性是利用力學(xué)性能的概率分布進(jìn)行復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[11-14]，兩種設(shè)計(jì)方法必然存在一定的內(nèi)在關(guān)系。在目前的飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中，復(fù)合材料力學(xué)性能的設(shè)計(jì)值一般采用B基準(zhǔn)值[15-16]。同時(shí)，結(jié)構(gòu)可靠性要求必須滿足設(shè)計(jì)手冊(cè)、規(guī)范中的相關(guān)要求。因此，需要明確采用基準(zhǔn)值的設(shè)計(jì)方法與結(jié)構(gòu)可靠性之間的內(nèi)在關(guān)系，探討復(fù)合材料基準(zhǔn)值對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)可靠性對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是必要的。

本文首先對(duì)MIL-HDBK-17-1F手冊(cè)中給出的基準(zhǔn)值計(jì)算方法進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹；然后采用MATLAB軟件編寫(xiě)復(fù)合材料基準(zhǔn)值計(jì)算程序，并對(duì)自編程序進(jìn)行驗(yàn)證；最后給出基準(zhǔn)值與結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)之間的關(guān)系表達(dá)式，進(jìn)而明確了基準(zhǔn)值設(shè)計(jì)方法與結(jié)構(gòu)可靠性之間的內(nèi)在關(guān)系。

1 基準(zhǔn)值計(jì)算方法簡(jiǎn)介

在MIL-HDBK-17-1F復(fù)合材料設(shè)計(jì)手冊(cè)中，給出了復(fù)合材料力學(xué)性能A、B基準(zhǔn)值的定義。A基準(zhǔn)值：基于統(tǒng)計(jì)的材料性能，在95%的置信度下99%的性能數(shù)值群不低于其值；B基準(zhǔn)值：基于統(tǒng)計(jì)的材料性能，在95%的置信度下90%的性能數(shù)值群的值不低于其值。

用于計(jì)算基準(zhǔn)值的方法取決于數(shù)據(jù)的特定，即數(shù)據(jù)是否為結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)。結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)是可以自然分組的數(shù)據(jù)，或其重要影響能隨已知參數(shù)系統(tǒng)地變化的數(shù)據(jù)；非結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)是所有有關(guān)的信息全包含在響應(yīng)測(cè)量值本身的數(shù)據(jù)。簡(jiǎn)而言之，組間差異可以忽略的數(shù)據(jù)、各批次數(shù)據(jù)可以合并的數(shù)據(jù)稱為非結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，否則稱為結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)。

對(duì)于非結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)，合并各批次數(shù)據(jù)，依次進(jìn)行Weibull分布、正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。若觀測(cè)顯著性水平(Observed Significance Level-OSL)大于0.05，則表明擬合成功；反之若OSL小于0.05，則表明擬合不成功。當(dāng)以上3種分布的OSL沒(méi)有一個(gè)大于0.05時(shí)，則需使用非參數(shù)基準(zhǔn)值的計(jì)算方法。

對(duì)于結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)，根據(jù)確定性影響與隨機(jī)性影響對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，利用Levene檢驗(yàn)判斷數(shù)據(jù)來(lái)自幾個(gè)批次。若數(shù)據(jù)來(lái)自同一批次，則按照非結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)計(jì)算基準(zhǔn)值；若數(shù)據(jù)來(lái)自兩批次，分別計(jì)算每個(gè)批次對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)值，然后取二者較小值；若數(shù)據(jù)來(lái)自3批次或多批次，采用ANOVA(Analysis of Variance)方法計(jì)算基準(zhǔn)值。復(fù)合材料力學(xué)性能的A、B基準(zhǔn)值的計(jì)算流程如圖1所示。

2 基準(zhǔn)值計(jì)算程序

2.1 主要計(jì)算公式

(1)K樣本AD檢驗(yàn)

K樣本Anderson-Darling檢驗(yàn)被用于檢查數(shù)據(jù)組間的差異，以確定差異是明顯或是可忽略，進(jìn)而確定數(shù)據(jù)是結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)還是非結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)。

假設(shè)數(shù)據(jù)用xij表示，i=1,…,k和j=1,…,ni，其中i表示組號(hào)，j表示該組內(nèi)觀測(cè)值序號(hào)，則總觀測(cè)值數(shù)量為n=n1+n2+…nk。將合并后的數(shù)據(jù)集合中的不同數(shù)值，按從小到大排序，記為z(1),z(2),…,z(L),其中L在存在相同值時(shí)小于n。

(1)

式(1)中：hj為合并樣本中等于z(j)值的個(gè)數(shù)，Hj為合并樣本中小于z(j)值的個(gè)數(shù)加上等于z(j)值的個(gè)數(shù)的一半，F(xiàn)ij為第i組中小于z(j)值的個(gè)數(shù)加上等于z(j)值的個(gè)數(shù)的一半。

ADK的臨界值A(chǔ)DC(Critical Value of ADK)為

圖1 基準(zhǔn)值計(jì)算流程圖

(2)

式中：σn為ADK的標(biāo)準(zhǔn)差。

如果臨界值小于式(1)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，則可斷定各組是從不同母體中抽取的；否則接受各組來(lái)自同一母體的假設(shè)，即該數(shù)據(jù)可看成非結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)。

(2)Anderson-Darling檢驗(yàn)

(3)

式(4)中：AD*為Anderson-Darling統(tǒng)計(jì)量的轉(zhuǎn)換值，a，b和c為常數(shù)。

對(duì)于不同的分布，AD*具有不同的表達(dá)式、a，b和c也具有不同的值，詳見(jiàn)MIL-HDBK-17-1F手冊(cè)。

(3)Levene檢驗(yàn)

Levene檢驗(yàn)是用來(lái)確定k組的樣本方差是否明顯不同，該檢驗(yàn)是非參數(shù)的，即它對(duì)關(guān)于潛在母體形式的假設(shè)要求不高。要進(jìn)行該檢驗(yàn)，首先要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，如下

(4)

然后對(duì)轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行F檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量大于或等于F分布的分位數(shù)，那么可以斷定方差明顯不同。如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于F分布的分位數(shù)，那么接受方差相等的假設(shè)。如果檢驗(yàn)拒絕了方差相等的檢驗(yàn)，一般需要進(jìn)行方差不等的原因調(diào)查。

復(fù)合材料基準(zhǔn)值計(jì)算需要大量計(jì)算公式，這里只給出了幾個(gè)主要公式，其它公式可參見(jiàn)MIL-HDBK-17-1F手冊(cè)，這里不再贅述。

2.2 計(jì)算程序簡(jiǎn)介

本文根據(jù)MIL-HDBK-17-1F手冊(cè)中給出的復(fù)合材料力學(xué)性能A、B基準(zhǔn)值的計(jì)算方法，利用MATLAB軟件編寫(xiě)相關(guān)計(jì)算程序。為便于工程使用，該程序輸入和輸出均采用Excel表格的形式，程序的輸入和輸出見(jiàn)圖2。

2.3 計(jì)算程序驗(yàn)證

為驗(yàn)證自編程序的準(zhǔn)確性，本文取MIL-HDBK-17-1F手冊(cè)中的兩個(gè)算例進(jìn)行驗(yàn)證。算例1為非結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)，算例2為結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)，已知輸入數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

對(duì)于算例1，由于ADK小于ADC，因此該數(shù)據(jù)屬于非結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)。由于Weibull和正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的OSL均小于0.05，而對(duì)數(shù)正態(tài)分布的OSL大于0.05，因此認(rèn)為利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合是合適的。對(duì)于算例2，由于ADK大于ADC，因此該數(shù)據(jù)屬于結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù)。經(jīng)計(jì)算F分布的統(tǒng)計(jì)量小于F分布的分位數(shù)，可以接受方差相等的假設(shè)。算例1和2的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2和表3。由表2和表3可以看出：自編程序與MIL-HDBK-17-1F手冊(cè)中給出的計(jì)算結(jié)果幾乎是完全一樣的，這說(shuō)明自編程序是正確的。

圖2 輸入與輸出

算例1(非結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù))批次數(shù)據(jù)/MPa算例2(結(jié)構(gòu)型數(shù)據(jù))批次數(shù)據(jù)/MPa185.391328.1174197.121334.7674192.661347.7833196.431346.2661190.721338.7314195.842297.0387297.32293.45952109.472308.04192101.352326.4864298.012318.1297286.182309.04872100.913337.093396.053317.7319392.23321.4292390.863317.26523101.273291.88813101.234297.6943393.154327.39734114.324303.86294100.144313.0984491.244323.2769486.115312.9743493.425324.5192492.655334.5965597.585314.9458597.755322.7194597.956291.12155112.496309.7852595.756304.84995110.536288.01846294.1995

表2 計(jì)算結(jié)果(算例1)

表3 計(jì)算結(jié)果(算例2)

3 基準(zhǔn)值與結(jié)構(gòu)可靠性的關(guān)系

3.1 基本公式

在結(jié)構(gòu)應(yīng)力的基準(zhǔn)值取值時(shí)，一般要保證99%的應(yīng)力值低于該值[17]，即概率分布的上分位數(shù)；在強(qiáng)度基準(zhǔn)值取值時(shí)，一般要保證95%的強(qiáng)度值高于該值，即B基準(zhǔn)值。當(dāng)材料強(qiáng)度R與結(jié)構(gòu)應(yīng)力S均為正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，強(qiáng)度與應(yīng)力的基準(zhǔn)值和其均值之間關(guān)系如下

(5)

式(5)中：Rk和Sk為強(qiáng)度和應(yīng)力的基準(zhǔn)值，μR和μS為強(qiáng)度和應(yīng)力的均值，σR和σS為強(qiáng)度和應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差，λR和λS為強(qiáng)度和應(yīng)力的保證系數(shù)，VR和VS為強(qiáng)度和應(yīng)力變異系數(shù)。

若應(yīng)力S服從正態(tài)分布，此時(shí)λS=2.326 3；若強(qiáng)度R服從正態(tài)分布，對(duì)于B基準(zhǔn)值λR=1.644 9，對(duì)于A基準(zhǔn)值λR=2.326 3。當(dāng)材料強(qiáng)度R與結(jié)構(gòu)應(yīng)力S不服從正態(tài)隨機(jī)分布時(shí)，其基準(zhǔn)值可采取統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行計(jì)算。

基于結(jié)構(gòu)可靠性理論，結(jié)構(gòu)可靠度Pr的一般表達(dá)式為

(6)

式(6)中：fS,R(s,r)為強(qiáng)度和應(yīng)力的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

當(dāng)材料強(qiáng)度R與結(jié)構(gòu)應(yīng)力S相互獨(dú)立時(shí)，有

(7)

式(7)中：fR(r)和fS(s)為強(qiáng)度和應(yīng)力的概率密度函數(shù)。

當(dāng)材料強(qiáng)度R與結(jié)構(gòu)應(yīng)力S均服從正態(tài)隨機(jī)分布時(shí)，有

Pr=Φ(β)

(8)

式(8)中：Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，β為可靠性指標(biāo)。

(9)

可靠性安全系數(shù)γk的定義為

(10)

(11)

3.2 算例

以圖2給出的數(shù)據(jù)作為復(fù)合材料的力學(xué)性能數(shù)據(jù)，即可靠性分析中的材料強(qiáng)度R。由圖2中的計(jì)算結(jié)果可知：Weibull分布對(duì)應(yīng)的OSL小于0.05，而正態(tài)分布的OSL大于0.05，因此認(rèn)為材料強(qiáng)度R服從正態(tài)分布，其均值和變異系數(shù)分別為103.055 MPa和0.059 2。

在結(jié)構(gòu)可靠性分析過(guò)程中，這里取結(jié)構(gòu)應(yīng)力S也服從正態(tài)分布，其均值μs通過(guò)給定一系列γk，然后通過(guò)式(10)進(jìn)行求解，結(jié)構(gòu)應(yīng)力S的變異系數(shù)取為0.1，0.2和0.3。在γk的計(jì)算過(guò)程中，相關(guān)參數(shù)取值如下：λs=2.326 3，即99%的應(yīng)力值低于應(yīng)力基準(zhǔn)值；λR= 1.644 9，即材料強(qiáng)度取B基準(zhǔn)值。

當(dāng)強(qiáng)度變異系數(shù)VR=0.059 2時(shí)的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4，表4中0.9m表示小數(shù)點(diǎn)后有m個(gè)9，例如0.9425=0.999 925。由表4可以看出：(1)隨著安全系數(shù)γk的增加，結(jié)構(gòu)可靠度Pr在增加，即安全系數(shù)γk越大結(jié)構(gòu)可靠性越高；(2)不同的變異系數(shù)Vs對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)可靠度是不同的，隨著Vs的增加，結(jié)構(gòu)可靠度減小，即結(jié)構(gòu)應(yīng)力的變異性越大，結(jié)構(gòu)的可靠度越低；(3)對(duì)應(yīng)不同的安全系數(shù)γk，結(jié)構(gòu)可靠性均較高，最小的可靠度值(γk=1.25和Vs=0.3時(shí))為0.94，對(duì)應(yīng)的失效概率為1-0.999 9=1.0×10-4，即結(jié)構(gòu)失效概率為萬(wàn)分之一。

表4中給出的數(shù)值結(jié)果是在VR=0.059 2下的計(jì)算結(jié)果，為了進(jìn)一步討論材料強(qiáng)度R的變異性VR對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，表5中給出了在Vs=0.3的情形下，不同VR對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。由表5可知：隨著安全系數(shù)γk的增加，結(jié)構(gòu)可靠度Pr在增加；隨著VR的增加，結(jié)構(gòu)可靠度減??；對(duì)應(yīng)不同的安全系數(shù)γk，結(jié)構(gòu)可靠性均較高，最小值為0.94，即結(jié)構(gòu)失效概率為萬(wàn)分之一。

在結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)手冊(cè)[18]上指出：對(duì)于軍用飛機(jī)機(jī)體結(jié)構(gòu)，其靜強(qiáng)度可靠度通常要在0.94以上。由以上分析結(jié)果可以看出：(1)即便是安全系數(shù)取為1.25，基于復(fù)合材料B基準(zhǔn)值的設(shè)計(jì)方法是可以滿足結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)要求的；(2)當(dāng)安全系數(shù)取1.5和2.0時(shí)，結(jié)構(gòu)可靠度分別在0.96和0.99以上，結(jié)構(gòu)可靠度明顯大于0.94，即明顯大于設(shè)計(jì)手冊(cè)中給出的可靠性要求。因此，采用復(fù)合材料B基準(zhǔn)值的設(shè)計(jì)方法從可靠性的角度來(lái)看，還是較為保守的，這對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)是不利的，難以充分發(fā)揮復(fù)合材料的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

本文通過(guò)MATLAB軟件編寫(xiě)了復(fù)合材料力學(xué)性能A、B基準(zhǔn)值的計(jì)算程序，該計(jì)算程序采用Excel表格進(jìn)行輸入和輸出。輸入文件按照格式要求進(jìn)行輸入即可，對(duì)工程技術(shù)人員沒(méi)有其它要求；輸出文件除了A、B基準(zhǔn)值外，還包含各統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的具體值，便于工程應(yīng)用。算例結(jié)果表明，該計(jì)算程序結(jié)果正確，能夠大幅提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的計(jì)算效率。

表4 不同安全系數(shù)下的結(jié)構(gòu)可靠度(VR=0.0592)

表5 不同安全系數(shù)下的結(jié)構(gòu)可靠度(Vs=0.3)

探討了當(dāng)采用B基準(zhǔn)值進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，基準(zhǔn)值與結(jié)構(gòu)可靠性的內(nèi)在關(guān)系。算例分析結(jié)果表明：

(1)隨著安全系數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)可靠度增加，即便是安全系數(shù)取為1.25，基于復(fù)合材料B基準(zhǔn)值的設(shè)計(jì)方法是可以滿足結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)要求的；

(2)當(dāng)安全系數(shù)取1.5和2.0時(shí)，結(jié)構(gòu)可靠度分別在0.96和0.99以上，結(jié)構(gòu)可靠度明顯大于設(shè)計(jì)手冊(cè)中給出的可靠性要求。因此，采用復(fù)合材料B基準(zhǔn)值的設(shè)計(jì)方法從可靠性的角度來(lái)看，還是較為保守的。

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(責(zé)任編輯：吳萍 英文審校：趙歡)

Calculation programming of basis value for composite material and its relationship with reliability

LIU Yan-honga,WANG Xiao-qiangb

(a.Finance Department,b.Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

A calculation programming of A and B basis values for mechanical properties of composite materials was compiled by MATLAB software.Input and output of the program was achieved by Excel,thus operation of the calculation programming was simple.Numerical examples show that the results of the calculation programming are correct.The program can improve the processing efficiency of experimental data.The relationship between the basis value and structural reliability index was obtained and clarified based on the given safety factor.The results show that the design method based on B basis value can meet the requirements of structural reliability design,but its structure reliability is too high and trend to be conservative.

composite materials;basis value;calculation programming;reliability;safety factor

2016-11-18

國(guó)家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：11602150)；遼寧省自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：201602579)

劉艷紅(1978-)，女，遼寧沈陽(yáng)人，會(huì)計(jì)師，主要研究方向：可靠性工程與統(tǒng)計(jì)學(xué)，E-mail:sau_lyh@163.com。

2095-1248(2017)01-0037-07

V215.7

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2017.01.006