“特殊的平行四邊形”易錯點(diǎn)剖析

徐永軍

“特殊的平行四邊形”易錯點(diǎn)剖析

徐永軍

特殊的平行四邊形作為平行四邊形的一部分，在歷年中考中也占有非常重要的地位，但是本塊內(nèi)容概念多，性質(zhì)定理和判定方法多樣化，同學(xué)們?nèi)菀谆煜稿e，所以下面就一些常見的錯誤舉例并加以分析.

一、不能正確理解特殊的平行四邊形的概念和識別方法

例1給出下列結(jié)論：

①有一組對邊平行，且兩個角是直角的四邊形是矩形；②兩條對角線相等的四邊形是矩形；③兩組對邊分別相等的四邊形是矩形；④有一個角是60°的平行四邊形是菱形；⑤有兩邊相等的平行四邊形是菱形；⑥有一組鄰邊相等的矩形是正方形；⑦有三邊相等，且有一個角是直角的四邊形是正方形；⑧對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形.其中正確的有（）.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【錯解】B或C.

【正解】A.

【錯解辨析】解決本題的關(guān)鍵是正確理解各種特殊的平行四邊形的概念和識別方法.①是錯誤的.如圖1-1所示，∠A=∠B=90°，AD∥BC，由圖形可知完全符合條件，但它不是矩形.②是錯誤的.對角線相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，因此，只有當(dāng)對角線相等且互相平分時，這個四邊形才是矩形.③是錯誤的.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，而矩形是特殊的平行四邊形，即有一個角是直角的平行四邊形.④是錯誤的.有一個角是60°的平行四邊形不能保證鄰邊相等.⑤是錯誤的.只有鄰邊相等的平行四邊形才是菱形.⑥是正確的.⑦是錯誤的.如圖1-2所示，AB=AD=BC，∠B=90°，由圖形可知四邊形ABCD并不是正方形.⑧是正確的.

圖1-1

圖1-2

二、在證明過程中忽視條件

例2如圖2，在平行四邊形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，OE=OF.為什么？

圖2

【錯解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，OA=OC.∵AD∥BC，∴∠3=∠4.

∵∠1=∠2，∴△AOE≌△COF（ASA）.

∴OE=OF.

【正解】證法1：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA=OC.

∵AD∥BC，∴∠3=∠4.

∵OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，

∴∠AEO=∠CFO=90°.

∴△AOE≌△COF（AAS）.∴OE=OF.

證法2：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.∵OE⊥AD，∴OE⊥BC.

又OF⊥BC，∴直線OE與OF重合，即E、O、F三點(diǎn)共線，∴∠1=∠2.

又∵OA=OC，∠AEO=∠CFO=90°，

∴△AOE≌△COF（AAS）.∴OE=OF.

【錯解辨析】本題容易出現(xiàn)的錯誤是直接使用∠1=∠2證明△AOE≌△COF，這樣就默認(rèn)了E、O、F三點(diǎn)共線，而已知條件中并沒有這個結(jié)論，因此E、O、F三點(diǎn)共線在證明過程中必須加以說明，否則就是錯誤的.

三、混淆特殊平行四邊形的對稱性

例3下列所述圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）.

A.矩形B.平行四邊形

C.菱形D.正方形

【錯解】A、C或D.

【正解】B.

【錯解辨析】錯解的原因是混淆特殊平行四邊形的對稱性.平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心是對角線交點(diǎn)，因為矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，所以它們都是中心對稱圖形.很多同學(xué)誤以為平行四邊形也是軸對稱圖形，對角線所在直線是其對稱軸，其實(shí)只要親自操作一次就不難發(fā)現(xiàn)平行四邊形并不是軸對稱圖形，而矩形、菱形、正方形都是軸對稱圖形，其中矩形、菱形有兩條對稱軸，正方形有四條對稱軸.

四、不能準(zhǔn)確識別中點(diǎn)四邊形形狀

例4順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（）.

A.矩形B.平行四邊形

C.菱形D.正方形

【錯解】B、C或D.

【正解】A.

【錯解辨析】許多同學(xué)搞不清楚中點(diǎn)四邊形如何判定，其實(shí)識別方法并不難，總結(jié)規(guī)律如下：①順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形；②順次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形；③順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；④順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；⑤順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；⑥順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形.由以上規(guī)律，我們還可以得出一般性結(jié)論：①當(dāng)原四邊形對角線相等時，順次連接四邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形；②當(dāng)原四邊形對角線互相垂直時，順次連接四邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；③當(dāng)原四邊形對角線既相等又垂直，則順次連接四邊中點(diǎn)所得四邊形既是菱形又是矩形，也就是正方形.

五、問題考慮不夠全面

例5長為30，寬為a的矩形紙片（15＜a＜30），如圖3-1那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖3-2那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去.若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止.當(dāng)n=3時，a的值為______.

圖3-2

圖3-1

【錯解】18.

【正解】18或22.5.

【錯解辨析】根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬.所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬.當(dāng)15＜a＜30時，矩形的長為30，寬為a，所以第一次操作時所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為30-a，a.由30-a＜a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為30-a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為30-a，a-（30-a）=2a-30.由于（30-a）-（2a-30）= 60-3a，所以（30-a）與（2a-30）的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論.又因為可以進(jìn)行三次操作，故分兩種情況：①30-a＞2a-30；②30-a＜2a-30.對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值.

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