基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式在船體結(jié)構(gòu)有限元分析中的應(yīng)用

謝 心，吳嘉蒙,3，王德禹

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240；3. 中國船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海 200011)

基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式在船體結(jié)構(gòu)有限元分析中的應(yīng)用

謝 心1,2，吳嘉蒙1,2,3，王德禹1,2

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240；3. 中國船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海 200011)

船體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度評估是船舶建造與設(shè)計(jì)過程中的重要環(huán)節(jié)。本文在總結(jié)研究現(xiàn)有的船體結(jié)構(gòu)有限元分析加載方式的基礎(chǔ)上，提出基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式。對于為模擬船體梁載荷而在各剖面處施加的集中力以及為進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算需在各剖面處施加的調(diào)整載荷，使用本文方法將其離散至單元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處并于與加載，得到的結(jié)果符合船體梁彎曲時(shí)的應(yīng)力分布規(guī)律，這對于正確進(jìn)行船體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度評估具有重要意義。給出適用于計(jì)算機(jī)實(shí)施的規(guī)格化加載過程，以實(shí)現(xiàn)船體結(jié)構(gòu)有限元分析的自動(dòng)加載過程。

船體結(jié)構(gòu)；有限元；剪流分布；加載方式

0 引 言

船體強(qiáng)度是研究船體結(jié)構(gòu)安全性的科學(xué)。在進(jìn)行船體強(qiáng)度有限元分析時(shí)，除了正確進(jìn)行三維有限元模型的建模外，還要考慮正確的載荷施加方式和與之相匹配的應(yīng)力衡準(zhǔn)。通常，應(yīng)力衡準(zhǔn)需綜合考慮船體梁應(yīng)力和局部應(yīng)力，在強(qiáng)度評估過程中可采用直接法或疊加法來得到相應(yīng)的合成應(yīng)力。隨著計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)的發(fā)展，直接法在船體結(jié)構(gòu)計(jì)算中得到了廣泛應(yīng)用，即在三維有限元模型中施加實(shí)際的局部載荷，同時(shí)準(zhǔn)確模擬出船體梁彎矩或剪力。

現(xiàn)階段船體強(qiáng)度評估過程中，船體承受的載荷主要包括空船質(zhì)量、海水浮力、波浪載荷以及貨物壓力等。各載荷根據(jù)實(shí)船結(jié)構(gòu)、裝載情況和航行區(qū)域等條件確定。陳慶強(qiáng)等[1–3]采用有限元方法對集裝箱船等諸多船型進(jìn)行了強(qiáng)度校核分析和相關(guān)技術(shù)的研究。其中船體梁載荷（彎矩或剪力）的施加方法不盡相同，鄭雷[4]在進(jìn)行 VLGC 全船結(jié)構(gòu)有限元分析研究時(shí)，為保證三艙段分析中目標(biāo)艙中間位置的彎矩值以及全船有限元分析中各個(gè)位置的彎矩值與設(shè)計(jì)彎矩一致，在船體結(jié)構(gòu)各個(gè)肋位的甲板邊線處施加集中力來實(shí)現(xiàn)彎矩調(diào)整；朱勝昌等[5]在大型集裝箱船的總縱強(qiáng)度計(jì)算方法研究中，則直接將船體設(shè)計(jì)載荷施加于實(shí)肋位處左右對稱分布的質(zhì)量點(diǎn)上。

綜合上述文獻(xiàn)可發(fā)現(xiàn)，船體梁載荷的模擬通常在各剖面處施加集中力來實(shí)現(xiàn)。因此剖面集中力不同的加載方式將可能影響該剖面臨近結(jié)構(gòu)最終的應(yīng)力和變形結(jié)果。如取剖面少數(shù)幾個(gè)節(jié)點(diǎn)施加集中力的方法會(huì)導(dǎo)致局部產(chǎn)生較大的應(yīng)力集中現(xiàn)象；如將剖面等效集中力平均分配到各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的做法則忽略了船體不同位置處構(gòu)件受力的差異性。這些加載方式都會(huì)對船體結(jié)構(gòu)的直接強(qiáng)度評估產(chǎn)生影響。本文根據(jù)薄壁結(jié)構(gòu)力學(xué)理論提出基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式，并給出適用于計(jì)算機(jī)實(shí)施的規(guī)格化加載流程，實(shí)現(xiàn)了節(jié)點(diǎn)力的自動(dòng)加載，以此獲得更加準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

1 薄壁承彎構(gòu)件的剪流分布

1.1 薄壁承彎構(gòu)件的剪流分布規(guī)律

船體結(jié)構(gòu)主要由薄板構(gòu)成，其長度遠(yuǎn)大于斷面尺寸，船體本身可看成一個(gè)大型的、復(fù)雜的變斷面薄壁桿件。薄壁桿件在受到彎曲作用時(shí)，薄壁斷面會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的彎曲剪應(yīng)力來平衡鄰近截面的彎曲正應(yīng)力，可以認(rèn)為剪應(yīng)力的大小沿壁室厚度均勻分布，剪應(yīng)力的方向沿薄壁的切線方向，將剪應(yīng)力 τ 和應(yīng)力所處壁室厚度 t 的乘積稱之為剪流或者剪應(yīng)力流 f，即

由力的平衡方程式可得薄壁桿件在平面內(nèi)受到彎曲作用下的剪流計(jì)算公式：

式中：Ny為該剖面上的剪力；Sx為該剖面上長度 s 的面積對 x 軸的靜矩；Ix為該剖面對 x 軸的慣性矩。

船體結(jié)構(gòu)在受到彎曲作用時(shí)，截面的剪應(yīng)力分布符合上述薄壁桿件剪流分布規(guī)律。

1.2 基于圖論的薄壁承彎構(gòu)件剪流計(jì)算

船體結(jié)構(gòu)剖面多連通，拓?fù)潢P(guān)系復(fù)雜，直接用薄壁桿件理論計(jì)算會(huì)遇到困難，結(jié)合現(xiàn)代組合數(shù)學(xué)利用圖論作為工具，建立薄壁剖面的圖模型，利用圖論的定義、表達(dá)方式及若干重要結(jié)論即可求得船體結(jié)構(gòu)剖面剪應(yīng)力流分布[6]。

1.2.1 船體剖面圖模型

把船體剖面看成一個(gè)由若干頂點(diǎn)和邊形成的線圖，用 G（V，E）表示，其中 V 為所有頂點(diǎn)的集合，E 為所有邊的集合。頂點(diǎn)與邊之間的關(guān)系可用關(guān)聯(lián)矩陣 B 描述，并定義為：

式中： Inc+(vi) 為以 vi為始端的所有有向邊的集合；Inc?(vi) 為以 vi為末端的所有有向邊的集合。

基于船體剖面特性，船體剖面的圖模型為連通圖，所以連通圖 G 的關(guān)聯(lián)矩陣 B 的秩等于 Nv–1。在B 中劃去對應(yīng)于 vk頂點(diǎn)的行，則得到 (Nv?1)×Ne的矩陣 Bf，稱之為對應(yīng)于該頂點(diǎn) vk的基本關(guān)聯(lián)矩陣。

當(dāng)船體有雙層底或?yàn)殡p舷側(cè)結(jié)構(gòu)時(shí)，船體結(jié)構(gòu)剖面會(huì)形成閉室，閉室就形成了圖模型中的基本回路。所有基本回路的集合用 C 表示，圖中基本回路的個(gè)數(shù)用 Nc表示，定義為：

1.2.2 船體結(jié)構(gòu)剖面剪應(yīng)力流的計(jì)算

對于船體結(jié)構(gòu)剖面可類比于電路網(wǎng)絡(luò)，其中的剪流可類比于電流。

1）基于克希荷夫（Kirchhoff）電流定律：對于每一結(jié)點(diǎn)，流入該點(diǎn)的電流代數(shù)和為 0；在船體結(jié)構(gòu)剖面圖模型，對于每一個(gè)頂點(diǎn)，流入該點(diǎn)的剪流代數(shù)和為 0，即有：

2）基于克希荷夫（Kirchhoff）回路定律：沿任一回路 C 電壓降的代數(shù)和為 0；在船體結(jié)構(gòu)受彎矩作用時(shí)，繞任一閉室一周剪切變形為 0，即有：

3）基于廣義歐姆定律：運(yùn)算電壓等于運(yùn)算阻抗與運(yùn)算電流的乘積；根據(jù)剪切變形與剪應(yīng)力之間的物理方程有：

上述求解方程中共有 Ne個(gè)未知數(shù)，有 Nv+ Nc個(gè)方程，其中方程（6）中的 Nv個(gè)方程是線性相關(guān)的，任選一參考點(diǎn)可得到以下 Nv–1 個(gè)線性無關(guān)的方程：

聯(lián)立方程（6）～ 方程（8），圖論證明在連通圖中存在下列關(guān)系[7]：

求解出船體剖面各單元的剪流 q。對于實(shí)際剖面，弧形邊可用若干直線代替，不會(huì)引起顯著誤差[6]。

2 基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式

目前，整船有限元分析的目的之一是進(jìn)行總縱強(qiáng)度的直接計(jì)算。其載荷的處理通常有 2 種方法：一是把船體的外載荷和內(nèi)載荷都施加到有限元模型上，在這些局部載荷的作用下有時(shí)仍需要施加剖面節(jié)點(diǎn)力以達(dá)到所要求的沿船長分布的船體梁設(shè)計(jì)彎矩或剪力；二是不考慮船體的外載荷和內(nèi)載荷分布，只在各個(gè)剖面上構(gòu)造相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力以模擬沿船長分布的船體梁設(shè)計(jì)彎矩或剪力。

在船體艙段結(jié)構(gòu)有限元分析中，當(dāng)局部載荷在中間艙段引起的垂向和水平船體梁彎矩和剪力未達(dá)到船體梁載荷目標(biāo)值時(shí)，需要在橫向強(qiáng)框架位置處施加載荷予以調(diào)整。

整船有限元分析 2 種處理方式中在剖面上施加的作用力、艙段有限元分析過程中的剖面調(diào)整載荷均可通過基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式施加，即按剪流分布規(guī)律將等效集中載荷離散至各強(qiáng)框剖面處承剪構(gòu)件的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上。橫向強(qiáng)框架取船體結(jié)構(gòu)實(shí)肋位處以及橫艙壁處；承剪構(gòu)件即為船體縱向連續(xù)板，如舷側(cè)外板、內(nèi)殼縱艙壁、船底板、內(nèi)底板、甲板及縱艙壁等。

2.1 船體結(jié)構(gòu)各強(qiáng)框剖面處的集中力

將船體結(jié)構(gòu)的垂向彎矩和水平彎矩分布曲線微分可得到對應(yīng)的剪力分布曲線。以垂向彎矩為例，現(xiàn)假定船體梁承受的垂向總彎矩已經(jīng)給定，船體結(jié)構(gòu)中有m 個(gè)強(qiáng)框位置，包括橫艙壁。為了確定各強(qiáng)框剖面位置處的垂向集中力 FV?bending(x)，把船體結(jié)構(gòu)沿長度方向分為 m 段，根據(jù)彎矩分布可獲得每段端點(diǎn)處的彎矩MV(x1) 和 MV(x2)。如圖 1 所示，則可列出每一段的平衡方程：

其中 MV為沿船長分布的船體梁承受的垂向總彎矩（包括靜水彎矩和波浪彎矩），kNm。

式中：Saft為計(jì)算點(diǎn)所在強(qiáng)框與后 1 檔相鄰強(qiáng)框之間的縱向距離，m；Sfore為計(jì)算點(diǎn)所在強(qiáng)框與前 1 檔相鄰強(qiáng)框之間的縱向距離，m；x 為計(jì)算點(diǎn)所在強(qiáng)框距離尾垂線的縱向距離，即縱向坐標(biāo)，m。

依照上述類似方法，當(dāng)單獨(dú)考慮船體梁承受的水平總剪力時(shí)，依據(jù)其沿船長的分布可直接得到各強(qiáng)框剖面的集中力大小。如同時(shí)考慮船體梁承受的垂向總彎矩和總剪力，則在各個(gè)強(qiáng)框剖面位置處施加垂向集中力時(shí)需綜合考慮并構(gòu)造兩類集中力，一類用于模擬垂向彎矩，一類用于模擬垂向剪力，同時(shí)在模型兩端施加一附加彎矩（可通過在模型端部剖面內(nèi)所有船體梁縱向有效抗彎單元上施加縱向軸向節(jié)點(diǎn)力來實(shí)現(xiàn)）予以平衡。

2.2 強(qiáng)框剖面處集中力的離散化

各強(qiáng)框剖面處的集中力按照剪流分布規(guī)律，離散至船體結(jié)構(gòu)承剪構(gòu)件的節(jié)點(diǎn)上。以垂向集中力為例，船體結(jié)構(gòu)某強(qiáng)框剖面處第 k 個(gè)單元中點(diǎn)處的剪流為：

式中：Iy為船體梁截面垂向剖面慣性矩，mm4；Skv為第 k 個(gè)單元繞水平中和軸的靜矩，mm3。

求得剪流后，強(qiáng)框剖面處船體結(jié)構(gòu)承剪構(gòu)件中，第 j 個(gè)單元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的分布剪力為：

式中：lk為強(qiáng)框剖面上連接到節(jié)點(diǎn) j 的第 k 個(gè)單元的長度，mm；n 為連接到節(jié)點(diǎn)j的船體梁承剪構(gòu)件單元總數(shù)。

船體結(jié)構(gòu)各強(qiáng)框剖面位置處的等效水平集中力可按類似方法離散至船體結(jié)構(gòu)承剪構(gòu)件的單元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處，節(jié)點(diǎn)力大小利用船體梁剖面特性和剪流理論計(jì)算求得。

3 基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力自動(dòng)加載程序及算例

3.1 基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力自動(dòng)加載程序

本文設(shè)計(jì)了基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力自動(dòng)加載程序。該程序首先需設(shè)定強(qiáng)框剖面縱向位置（共 m 道強(qiáng)框剖面）、船體結(jié)構(gòu)承剪構(gòu)件單元、船體梁載荷目標(biāo)值等參數(shù)；然后按照有限元模型的空間關(guān)系找到加載的相關(guān)單元；用有限元模型的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值信息和單元節(jié)點(diǎn)關(guān)系信息構(gòu)成船體強(qiáng)框剖面圖形模型，用圖論建立求解方程組，計(jì)算船體剖面各承力構(gòu)件所分擔(dān)的載荷值，最后等效至承力構(gòu)件網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行加載。自動(dòng)加載程序流程如圖 2 所示。

在自動(dòng)加載程序中，為了找到某一橫艙壁上的承剪構(gòu)件，首先根據(jù)橫艙壁的幾何位置，在已獲取的整船承剪構(gòu)件中對所有單元長度方向的單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值進(jìn)行判別，繼而獲得與該橫艙壁相關(guān)的承剪構(gòu)件[9]。程序中為獲取船體剖面閉室，采用至上而下對船體剖面進(jìn)行掃描以獲得所有節(jié)點(diǎn)事件點(diǎn)的方法。在船體剖面中，節(jié)點(diǎn)事件為該剖面上所有承剪構(gòu)件的單元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)。依次查找所有事件點(diǎn)所圍成的閉室[10]，如果閉室存在則將與該閉室有關(guān)的結(jié)構(gòu)單元記錄到結(jié)果中，然后搜索下一個(gè)節(jié)點(diǎn)事件。

3.2 算例

本文取 4250TEU 集裝箱整船模型為例，有限元模型如圖 3 所示。

本文分別采用 3 種加載方法加載沿船長分布的垂向彎矩值 MV，彎矩分布如圖 4 所示。

根據(jù)本文公式將垂向彎矩轉(zhuǎn)化為強(qiáng)剖面位置處的等效集中力。3 種節(jié)點(diǎn)力加載方式在船體結(jié)構(gòu)橫向強(qiáng)框剖面處的垂向集中力布置如表 1 所示。

對 3 種加載形式分別進(jìn)行船體結(jié)構(gòu)靜力分析，邊界條件設(shè)置如下：首垂線與底部外板的交點(diǎn)約束 X，Y和 Z 方向的線位移;尾垂線與底部外板的交點(diǎn)約束 Y 方向的線位移；尾垂線所在橫剖面內(nèi)，舷側(cè)外板與干舷甲板的 2 個(gè)交點(diǎn)約束 Z 方向的線位移[9]。

表 1 強(qiáng)框剖面處垂向彎矩的等效集中力Tab. 1 The equivalent concentrated force of vertical bending moment at web frame sections in 3 difference ways

1）分析 3 種加載方式所得到的整體有限元模型Von-Mises 應(yīng)力云圖如圖 5 所示。不同的加載方式下船體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布規(guī)律基本一致。目前大部分學(xué)者對基于少數(shù)節(jié)點(diǎn)施加集中力和基于平均分配原則的節(jié)點(diǎn)力加載方式都做了相應(yīng)的計(jì)算研究（圖 5（a） 和圖5（b）），因 3 種方式得到的船體結(jié)構(gòu)應(yīng)力、變形分布總體上一致，即本文提出基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式可行；

2）3 種加載方式在施力剖面處的應(yīng)力分布規(guī)律存在差異。

基于少數(shù)節(jié)點(diǎn)施加集中力的方法在施力節(jié)點(diǎn)附近（船尾外板與舵機(jī)艙平臺(tái)交點(diǎn)）會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。而基于平均分配原則的節(jié)點(diǎn)力加載方式和基于剪流分布規(guī)律的加載方式不會(huì)出現(xiàn)此類的現(xiàn)象（見圖 6）。

3 種加載方式在施力剖面及其附近區(qū)域上的剪應(yīng)力分布存在差異。取典型施力強(qiáng)框剖面及其前后各一檔強(qiáng)框范圍內(nèi)的模型（見圖 7）。基于少數(shù)節(jié)點(diǎn)施加集中力的加載方式（圖 7（a））和基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式（圖 7（c））在船體兩側(cè)的剪應(yīng)力較大，而船體結(jié)構(gòu)底部對稱軸附近的剪應(yīng)力較小。而基于平均分配原則的節(jié)點(diǎn)力加載方式（圖 7（b）），剪應(yīng)力最大值仍出現(xiàn)在船體結(jié)構(gòu)兩側(cè)的中和軸附近位置，但其底部的剪應(yīng)力較另外 2 種方法的結(jié)果偏大。其原因在于基于平均分配原則的加載方式在圖 8 中所示的底部節(jié)點(diǎn)上施加的節(jié)點(diǎn)力比基于剪流分布規(guī)律的加載方式施加的節(jié)點(diǎn)力大，其值如表 3 所示?；谏贁?shù)節(jié)點(diǎn)施集中力的方法所取施力點(diǎn)遠(yuǎn)離船底對稱位置，所以該方法對船底部對稱軸附近的剪應(yīng)力分布規(guī)律影響較小。依據(jù)船體梁受彎時(shí)剖面的剪應(yīng)力分布規(guī)律可知，遠(yuǎn)離中和軸的船底對稱位置處和剖面頂端艙口處的剪應(yīng)力最小，向船體中和軸位置剪應(yīng)力逐漸增大，由此得出基于少數(shù)節(jié)點(diǎn)施加集中力的加載方式和基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式產(chǎn)生的剪應(yīng)力結(jié)果更準(zhǔn)確。

表 2 模型雙層底部位的主要節(jié)點(diǎn)處垂向分量載荷值（kN）Tab. 2 The vertical component of load value at key points on the model’s bottom

綜合以上結(jié)果，基于剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式不會(huì)出現(xiàn)諸如選取少數(shù)節(jié)點(diǎn)加載剖面集中力而產(chǎn)生的明顯應(yīng)力集中現(xiàn)象，也消除了基于平均分配原則的加載方式帶來的剪切應(yīng)力分布與實(shí)際的差異，所得結(jié)果既滿足船體梁載荷的模擬要求，同時(shí)也符合船體結(jié)構(gòu)彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力分布規(guī)律，在船體結(jié)構(gòu)有限元分析中可獲得更加準(zhǔn)確的結(jié)果。

4 結(jié) 語

1）本文總結(jié)了船體結(jié)構(gòu)有限元分析中彎矩和剪力的加載方式，提出了按照剪流分布規(guī)律的節(jié)點(diǎn)力加載方式，并用算例對比分析了 3 種不同加載方式所產(chǎn)生的結(jié)果，得出基于剪流分布規(guī)律的加載方式在保證準(zhǔn)確模擬船體梁載荷的前提下更符合船體結(jié)構(gòu)彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力分布規(guī)律，對于正確地進(jìn)行船體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度有限元分析具有指導(dǎo)性作用。

2）本文給出的方法適用于計(jì)算機(jī)實(shí)施的規(guī)格化過程，根據(jù)本方法編制的程序在實(shí)際的船體結(jié)構(gòu)有限元模型上得到了驗(yàn)證。通過程序自動(dòng)加載過程省去了加載時(shí)間，提高了船體有限元分析的效率。

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The application of nodal force loading method based on shear flow distribution in hull structural fe analysis

XIE Xin1,2, WU Jia-meng1,2,3, WANG De-yu1,2
(1. State Key Laboratory of Ocean Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240, China; 3. Marine Design and Research Institute of China, Shanghai 200011, China)

The analysis of the hull structural strength is the most important step of the ship building and design. Based on the researches about the existing loading methods of hull structural finite element (FE) analysis, the paper proposes the nodal force loading method by following shear flow distribution at the considered cross section. For the section's concentrated force which is used in simulating the hull girder load or adjusting load for strength calculation, making them to form the discrete nodal force by this method, the results conform to shear stress distribution when hull girder endure bending, which is significant in correct analysis of the hull structural strength. Furthermore, a standard loading format suitable for computers are given in this paper, which implement automatic loading process for hull structural analysis.

hull structure；finite element (FE) analysis；shear flow distribution；loading methods

U663.2

A

1672–7619(2017)03–0012–06

10.3404/j.issn.1672–7619.2017.03.003

2016–06–21；

2016–07–29

謝心(1992–)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)榇w結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。