能量法估計(jì)全息面信噪比研究

代 振，何其偉，萬(wàn)海波

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

能量法估計(jì)全息面信噪比研究

代 振，何其偉，萬(wàn)海波

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

在近場(chǎng)聲全息技術(shù)中，全息面信噪比是一個(gè)非常重要的參數(shù)，但無(wú)法直接測(cè)量得到。為了解決該問(wèn)題，給出了基于能量法的波數(shù)域內(nèi)信噪比估值公式，并根據(jù)該公式分析估值誤差的來(lái)源，指出全息面采樣間隔對(duì)估值具有重要影響。為了判別估值是否準(zhǔn)確，提出了選取全息面不同區(qū)域的數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)估計(jì)的判別方法。當(dāng)估值不準(zhǔn)確時(shí)，指出可以通過(guò)減小全息面采樣間隔來(lái)降低估值誤差。仿真給出滿足不同誤差條件的不同采樣間隔所對(duì)應(yīng)的最大信噪比估值，可作為實(shí)際應(yīng)用中的參考。

平面近場(chǎng)聲全息；信噪比；估值誤差

0 引 言

近年來(lái)，近場(chǎng)聲全息技術(shù)[1–2]（NAH）在噪聲識(shí)別與定位、振動(dòng)和聲輻射特性研究等領(lǐng)域發(fā)展迅速，尤其是 Williams等[3]在 20 世紀(jì) 80 年代初提出的基于 FFT的平面 NAH 技術(shù)，因其理論簡(jiǎn)單，測(cè)量方便，易于計(jì)算和分析，在工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛。

在應(yīng)用平面 NAH 技術(shù)進(jìn)行聲場(chǎng)重建時(shí)，由于背景噪聲分布在整個(gè)波數(shù)域范圍內(nèi)，逆向重構(gòu)時(shí)位于高波數(shù)區(qū)域內(nèi)的背景噪聲將會(huì)被急劇放大，導(dǎo)致全息重構(gòu)結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。因此，需要對(duì)全息面復(fù)聲壓數(shù)據(jù)進(jìn)行波數(shù)域?yàn)V波[4]。目前常用的濾波窗函數(shù)主要有維納（Wiener）濾波窗[5]以及帶約束條件的最小二乘濾波窗[6]。在上述 2 種窗函數(shù)中，信噪比都是重要參數(shù)，能夠直接決定濾波截止波數(shù)的選定，嚴(yán)重影響波數(shù)域?yàn)V波和聲場(chǎng)全息重構(gòu)效果。

但是，信噪比無(wú)法在測(cè)量過(guò)程中直接得到，需要根據(jù)全息面測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。辛雨等[7]提出以輻射圓外的波數(shù)域成分?jǐn)?shù)據(jù)的均方根值近似代替全息面的噪聲信號(hào)均方根值，采用能量法進(jìn)行信噪比估計(jì)，但其估值嚴(yán)重依賴(lài)全息面數(shù)據(jù)的選取，而且無(wú)法判定估值是否準(zhǔn)確。本文在其研究基礎(chǔ)上給出波數(shù)域內(nèi)的信噪比估值公式，提出一種判別估值是否精確的方法，并指出可以減小全息面采樣間隔來(lái)降低估值誤差。本文以 2 個(gè)點(diǎn)聲源為例進(jìn)行仿真，給出在不同采樣間隔下滿足不同誤差條件的最大信噪比估值，可作為實(shí)際應(yīng)用中的參考。

1 平面 NAH 基本原理[8]

設(shè)全息面測(cè)量得到的復(fù)聲壓數(shù)據(jù)為 pH(x,y,zH)，則有：

式中： Ps(x′,y′,Zs) 為聲源面聲壓； gD(x,y,z) 為 Dirichlet 邊界條件下的格林函數(shù)。

定義二維傅里葉變換為：

對(duì)式（1）兩邊取二維傅里葉變換，并由卷積定理可得：

式中 GD(kx,ky,z) 為 gD(x,y,z) 的二維傅里葉變換。其表達(dá)式為：

當(dāng)k2x+k2y≤k2時(shí)，

當(dāng)k2x+k2y＞k2時(shí)，

式中kx,ky分別對(duì)應(yīng) x、y 方向的空間波數(shù)。

將式（5）代入式（4），可得：

2 信噪比定義與噪聲能量計(jì)算

信噪比即 SNR（Signal to Noise Ratio）是指信號(hào)中有用信號(hào)和噪聲信號(hào)的比值，其大小通常用分貝數(shù)表示。信噪比可以使用信號(hào)或噪聲的有效功率或能量定義，也可以使用信號(hào)和噪聲聲壓的幅值定義。本文使用能量定義信噪比，公式為：

式中：ES和 EN分別為全息面信號(hào)和噪聲的能量；E 為全息面總能量。

由式（10）可知，只要獲得全息面噪聲信號(hào)的能量，就可以估計(jì)出全息面信噪比。記全息面實(shí)際測(cè)量聲壓信號(hào)為 p( x,y,zH)， 噪聲信號(hào)為 pN(x,y,zH)，且噪聲信號(hào)為平穩(wěn)隨機(jī)分布，其均值為 0。M，N 分別為全息面上 x，y 方向的總測(cè)量點(diǎn)數(shù)，分別表示數(shù)學(xué)期望和方差，有

由式（11）可得：

式（12）本質(zhì)上是噪聲信號(hào)在空間域內(nèi)的能量計(jì)算公式，只要估算出噪聲信號(hào)在空間域內(nèi)的方差，就可以估計(jì)出全息面內(nèi)噪聲的能量。但是全息面記錄的聲壓信號(hào)是理論聲壓信號(hào)和噪聲信號(hào)的混合，無(wú)法將噪聲信號(hào)分離出來(lái)估計(jì)其方差。所以需要在波數(shù)域中進(jìn)行討論。根據(jù)采樣定理可知，波數(shù)，記 kr=將波數(shù)域劃分為 3 個(gè)區(qū)域，如圖 1 所示。

其中 ?1對(duì)應(yīng) kr＜k 的波數(shù)區(qū)域，即輻射圓以?xún)?nèi)的波數(shù)成分，記 GD為重建面到全息面的傳遞算子，則?1區(qū)域內(nèi) GD幅值恒為 1，對(duì)應(yīng)在傳播過(guò)程中幅值不隨距離衰減的“平面波”，該區(qū)域通常包含較大能量； ?2區(qū)域?qū)?yīng) kr＜k＜kmax的波數(shù)成分，此時(shí) GD為一負(fù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)應(yīng)在傳播過(guò)程中幅值隨距離衰減的“倏逝波”； ?3區(qū)域?qū)?yīng) kmax＜kr的波數(shù)成分，同樣為“倏逝波”，而且具有更高的波數(shù)成分，在傳播過(guò)程中衰減的更為迅速。一般而言， ?3區(qū)域內(nèi)的聲壓信號(hào)幾乎全被噪聲信號(hào)所淹沒(méi)，無(wú)法再應(yīng)用于重構(gòu)，因此可以利用 ?3區(qū)域內(nèi)的波數(shù)成分估計(jì)全息面噪聲信號(hào)的能量。

考慮到噪聲信號(hào)在空間域內(nèi)是平穩(wěn)隨機(jī)分布的，則其在波數(shù)域內(nèi)也必然是平穩(wěn)隨機(jī)分布的，因此全息面噪聲信號(hào)在整個(gè)波數(shù)域內(nèi)的方差可以用 ?3區(qū)域內(nèi)的方差近似估計(jì)。即式中： PN(kx,ky,zH) 為 pN(x,y,zH) 的二維傅里葉變換；PN(?3) 為全息面聲壓角譜中位于 ?3區(qū)域內(nèi)的波數(shù)成分。而由 Parseval（巴塞伐）定理知，噪聲信號(hào)在空間域中的總能量等于其波數(shù)域內(nèi)的總能量，即

式中 ‖?‖2為矩陣的 2–范數(shù)； b 為 ?3區(qū)域內(nèi)的總測(cè)量點(diǎn)數(shù)。由式（13）和式（14）可知，全息面中噪聲信號(hào)的總能量 E 可以估計(jì)為：

全息面測(cè)量聲壓總能量為：

將式（16）代入式（10）可得：

3 信噪比估值判別

由于噪聲信號(hào)平穩(wěn)隨機(jī)分布，當(dāng)全息面的位置和大小確定時(shí)，實(shí)際的全息面信噪比也隨之確定。為便于仿真分析，會(huì)向全息面聲壓數(shù)據(jù)中添加一定信噪比下的噪聲。以添加的信噪比值作為理論信噪比值，研究利用式（17）進(jìn)行信噪比估計(jì)的估值誤差。

假設(shè)某一全息面下理論信噪比值為 SNR，信噪比估值為 SNR’，記估值誤差為 ε，其表達(dá)式如下

由式可知， ε 出現(xiàn)的根本原因是將 ?3區(qū)域內(nèi)的波數(shù)成分全部視為噪聲信號(hào)的波數(shù)成分，而事實(shí)上該區(qū)域內(nèi)的波數(shù)成分依然是聲壓信號(hào)和噪聲信號(hào)波數(shù)的混合。因此， ε 的 大小與 ?3區(qū)域內(nèi)的聲壓信號(hào)衰減程度密切相關(guān)。從圖 1 可以看出，kmax越大， ?3區(qū)域內(nèi)的有用聲壓信號(hào)衰減程度就越高，ε 值就越小，估值也就越準(zhǔn)確。由采樣定理，波數(shù)域內(nèi)不發(fā)生混迭的最高波數(shù)成分 kmax=π/Δ ， Δ 越小，估值越準(zhǔn)確。如果使采樣間隔 Δ 不變，只在一定范圍內(nèi)改變?nèi)⒚娴拇笮?，則信噪比估值應(yīng)該近似。但是在實(shí)際測(cè)量中，為節(jié)約成本，一般只測(cè)量 1 次，所以，可以選取該全息面內(nèi)不同區(qū)域的數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)估計(jì)。

下面以 2 個(gè)點(diǎn)聲源為例進(jìn)行仿真：2 點(diǎn)源中心坐標(biāo)分別?。?, 0.25, 0）和（0, –0.25, 0），點(diǎn)源強(qiáng)度為0.001 m3/s；分析頻率 f = 1 000 Hz，聲速取 340 m/s，分析波長(zhǎng) λ =0.34m ；取 Δ =0.0625m ， L=2m，全息面 ZH= 0.07 m，以全息面坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，從全息面中選取 9 個(gè)正方形區(qū)域 Li×Li(i=1,2···9)，其中 Li由下式確定：

由式（9）可得 L9=1m，并得到 9 個(gè)信噪比估值SNR′i(i=1,2···9)， 分別找到其最大估值 SN Rmax和最小估值 SN Rmin，仿真結(jié)果如圖 2 所示。

由圖 2 可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)理論信噪比小于 25 dB 時(shí)，理論值和估值極為接近，而且此時(shí) SN Rmax和 SN Rmin也非常相近；當(dāng)理論信噪比大于 25 dB 時(shí)，理論值與估值的差值越來(lái)越大，估值誤差迅速增加。同時(shí)，SNRmax和 SN Rmin的距離也逐漸增大。在理論信噪比為 25 dB 時(shí)， SNRmax為 24.62 dB， SNRmin為 24.07 dB，估值誤差 ε 僅為 1.52%。假定對(duì)估值誤差的要求為εr， 令 εr=3%，則可認(rèn)為，在 25 dB 以下的理論信噪比，其估值都精確。也就是說(shuō)，在 εr=3% 的條件下，采樣間隔 Δ =0.0625m 所對(duì)應(yīng)的最大信噪比估值是 25 dB。

事實(shí)上，理論信噪比未知，只能得到估計(jì)值SNRmax和 SN Rmin，因此需要對(duì)估值誤差 ε 進(jìn)行修正。記修正后的估值誤差為 ε′，其表達(dá)式為：

如果 ε′＜εr，就認(rèn)為估值精確。理論信噪比為 25 dB時(shí)，有 ε′=2.35%＜3%，滿足精度要求。

在同樣仿真條件下，修正前后的誤差對(duì)比如圖 3所示。

由圖 3 可看出，修正后的估值誤差 ε′不會(huì)隨著信噪比的增加而一直增大，而是分為 3 個(gè)階段，第 1 階段信噪比區(qū)間為 10～25 dB， ε′在 3% 左右波動(dòng)；第 2階段信噪比區(qū)間為 25～35 dB， ε′逐漸增大到 10% 左右；第 3 階段信噪比區(qū)間為 30～50 dB， ε′基本穩(wěn)定在10%。

在對(duì)信噪比估值進(jìn)行判別時(shí)，如果取 εr=15%，可以發(fā)現(xiàn)在理論信噪比為 50 dB 時(shí)，信噪比估值只有32 dB，真實(shí)的估值誤差 ε 高達(dá) 36%，但修正后的估值誤差 ε′只有 10%，這顯然不合理。所以，在進(jìn)行估值判別時(shí)要合理選擇 εr。考慮到信噪比越高，噪聲干擾越小，對(duì)全息重構(gòu)的影響也就越小， εr可以隨著信噪比的增加而適當(dāng)增加。通常情況下，信噪比小于 25 dB時(shí)，一般要求 εr在 3% 左右，最高不超過(guò) 10%。

綜合以上分析，信噪比估值的判別方法如下：

1）保持采樣間隔 Δ 不變，以全息面坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，選擇合適的 n 值（可以令 Ln=L/2），從全息面中選擇 n 個(gè)正方形區(qū)域 Li×Li(i=1,2···n)；

2）對(duì)所取區(qū)域的聲壓數(shù)據(jù)分別進(jìn)行信噪比估計(jì)，得到一系列估值 SN R′i，找到其最大估值 SN Rmax和最小估值 SN Rmin，并計(jì)算 ε′；

3）根據(jù)實(shí)際測(cè)量情況，選擇合適的 εr，如果ε′＜εr， 認(rèn)為估值精確，并將 SN Rmax作為理論信噪比值。

4 減小信噪比估值誤差的方法

如果判別后發(fā)現(xiàn)信噪比估值不準(zhǔn)確，可以通過(guò)減少全息面采樣間隔 Δ 來(lái)提高估值的準(zhǔn)確性以降低估值誤差。但減小全息面采樣間隔進(jìn)行第 2 次測(cè)試時(shí)，全息面大小能夠保持不變，但是其位置可能會(huì)發(fā)生細(xì)微變化。因此選擇 2 個(gè)不同位置的全息面，在不同采樣間隔下進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖 4 所示。

從圖 4 可看出，采樣間隔一定時(shí)， ε 值隨著信噪比的增加急劇增加；而信噪比一定時(shí)，尤其是在高信噪比區(qū)域， ε 值隨著采樣間隔的減小迅速降低。而且，在 Δ ≤0.0625m 時(shí)，只要 Δ 不變，即使全息面的位置發(fā)生變化， ε 值也幾乎不變，這為測(cè)試工作提供了方便。

實(shí)際測(cè)試中，如果全息面大小不變，減小采樣間隔就意味著測(cè)量點(diǎn)數(shù)會(huì)增加，相應(yīng)的工作量以及測(cè)量

成本也會(huì)隨之增加。為方便測(cè)量工作，表 1 給出了 εr不同時(shí)，不同采樣間隔所對(duì)應(yīng)的最大信噪比估值。實(shí)際測(cè)量中，可以根據(jù)測(cè)試環(huán)境、聲源可能的分布狀況等綜合考慮，參照表 1，選擇合適的全息面采樣間隔，在使信噪比估值誤差滿足要求時(shí)盡可能減少測(cè)量點(diǎn)數(shù)。

表 1 不同采樣間隔下的最大信噪比估值Tab. 1 The maximum SNR estimation value in different sampling interval

5 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)分析波數(shù)域內(nèi)噪聲信號(hào)的分布情況，提出波數(shù)域內(nèi)的全息面信噪比估計(jì)公式，并根據(jù)該估值公式分析了信噪比估值誤差的來(lái)源，指出全息面采樣間隔對(duì)估值誤差具有重要影響。提出了一種選擇不同區(qū)域的全息數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)估計(jì)的方法對(duì)信噪比估值進(jìn)行判斷，并指出可以通過(guò)減小采樣間隔來(lái)減降低信噪比估值誤差。以?xún)牲c(diǎn)源為例進(jìn)行仿真，給出了在不同采樣間隔下滿足不同精度條件的最大信噪比估值，為實(shí)際應(yīng)用提供參考。

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Estimation of the signal to noise ration in the planar acoustical holography based on energy method

DAI Zhen, HE Qi-wei, WAN Hai-bo
(Naval Engineering University, Wuhan 430033, China)

The signal to noise ratio (SNR) is a very important parameter in theplanar acoustical holography. However, it can’t be determined directly. To solve the problem, a formula in ‘-space’ is given based on theenergy method. According to the formula, the sampling interval has a great influence on the SNR estimation value. To determine the accuracy of the estimation value, the measurement data on the different areas of the holography surface is chosen to estimate. When the result is not accurate, the estimation value can be improved by decreasing the sampling interval. The maximum estimation value is given in different estimation precision and different sampling interval to provide a reference for practical applications.

planar near-field acoustic holography；signal to noise ratio；reconstruction error

O322

A

1672–7619(2017)03–0150–05

10.3404/j.issn.1672–7619.2017.03.031

2016–05–27；

2016–06–17

代振(1991–)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)榻鼒?chǎng)聲全息。