非對稱度量空間上的不動點定理

劉保慶，姚雪春

（南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

非對稱度量空間上的不動點定理

劉保慶，姚雪春

（南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

非對稱度量是一種不一定滿足對稱性的度量，目前非對稱度量空間的基本理論在多目標約束最優(yōu)化、人工智能、非線性控制等領(lǐng)域已得到廣泛應(yīng)用.文章結(jié)合非對稱偽度量區(qū)間的相關(guān)概念，研究非對稱偽度量空間中的共線性問題與始點問題，給出并證明非對稱度量空間上集值映射和有向壓縮映射的不動點定理與弱一致映射的公共不動點定理.

非對稱度量空間；左（右）完備性；不動點定理

0 引言

研究發(fā)現(xiàn)，用于衡量兩個事物之間相近程度的量并不一定滿足對稱性，例如市場信息就滿足不對稱性，在軍事領(lǐng)域，國與國之間對情報的收集也具有不對稱性特點.于是，從數(shù)學(xué)角度而言，人們開始考慮非對稱度量、非對稱度量空間的概念.

不動點定理自Brouwer提出以來，已引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注和興趣.它在度量空間、賦范空間、拓撲向量空間等空間框架下都有經(jīng)典的結(jié)果.不動點理論已成為非線性分析的重要組成部分，該問題的研究已經(jīng)在偏微分方程、控制論、經(jīng)濟均衡理論、對策理論等領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用.

本文主要在非對稱度量空間框架下，給出有向壓縮映射的不動點定理與弱一致映射的公共不動點定理.

1 預(yù)備知識

定義1 若集合X上的映射ρ:X×X→[0,∞)滿足：

（1）ρ(x,y)≥0,ρ(x,x)=0;

（2）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z),?x,y,z∈X;則稱 ρ是非對稱偽度量，(X,ρ)為非對稱偽度量空間.若 ρ還滿足，

（3）ρ(x,y)=ρ(y,x)=0?x=y,?x,y∈X;則稱ρ是非對稱度量，(X,ρ)為非對稱度量空間.

例1 在實數(shù)集R上定義函數(shù) ρ(x,y)=max{x-y,0}，則(R,ρ)是非對稱度量，容易知道 ρs(x,y)= |x-y|是實數(shù)集R上的歐氏距離.

定義2［1］若序列具有依拓撲收斂到點x的收斂性，則稱序列是 ρ收斂的，記當且僅當

定義3［2］設(shè)(X,ρ)是非對稱度量空間，對于序列{xn}?X，如果存在a∈X使得并且，若 b∈X，，則有 ρ(a,b)=0，稱序列是上收斂的，a是序列{xn} 的上極限，記作同理，如果存在a∈X使得，并且，若b∈X，，則有ρ(b,a)=0，稱序列是下收斂的，a是序列的下極限，記作

定義4［1］設(shè)(X,ρ)是非對稱度量空間，對任意的x∈X,r＞0，定義X上的開球和閉球如下：

Bρ(x,r)={y∈X:ρ(x,y)＜r} 開球，

Bρ[x ,r]={y∈X:ρ(x,y)≤r} 閉球.

注1 非對稱度量空間(X,ρ)的拓撲τρ是指由非對稱度量ρ誘導(dǎo)的拓撲，即對任意點x∈X的鄰域族vρ(x):V∈vρ(x) ?存在r＞0，使得Bρ(x,r)?V?存在r′＞0，使得Bρ[x,r′?V] .由于一個空間有兩個拓撲τρ和τ，所以非對稱度量空間可以被看作為一個雙拓撲空間［1］.

定理1［2］非對稱度量空間(X,ρ)具有如下的拓撲性質(zhì)：

（1）非對稱度量空間是T0空間，但不一定是T1空間.

（2）非對稱度量空間是A1（滿足第一可數(shù)性公理）空間.

（3）由于非對稱度量空間未必是T2（Hausdorff）空間，所以其極限一般不具有唯一性.

（4）因為非對稱度量空間是T0、A1空間，所以非對稱度量空間中，列緊、可數(shù)緊和序列緊之間是等價的.

定義5 若集合X上的二元關(guān)系≤滿足：

（1）（自反性） ?x∈X，有x≤x；

（2）（反對稱性）?x,y∈X，x≤y且y≤x，有x=y；

（3）（傳遞性） ?x,y,z∈X，x≤y且y≤z，有x≤z.

則稱≤是X上的偏序.

定義6 設(shè)(X,ρ)是非對稱度量空間，在其上定義序關(guān)系為x≤ρy?ρ(x,y)=0.

容易證明，≤ρ確實是X上的偏序關(guān)系.因此，每一個非對稱度量都對應(yīng)一個偏序關(guān)系，反之也成立.

例2［4］設(shè)(X,≤)是一個偏序集，對于任意的x,y∈X，顯然，ρ是一個非對稱度量.由ρ誘導(dǎo)的拓撲τ(ρ)稱為Alexandroff拓撲.

例3［4］R+上的非對稱度量 ρ:R+×R+定義為：ρ誘導(dǎo)R上的T1拓撲τ(ρ)的基是由所有以x∈R為中心的開球Bρ(x,r)組成，其中0＜r＜1.拓撲空間(R,τ(ρ))稱為Sorgenfrey線.

定義7［2］設(shè)(X,ρ)是非對稱度量空間，是非對稱度量空間(X,ρ)中的序列.若對任意的ε＞0，存在nε∈N，使得對任意的n,m∈N，且nε≤n＜m，有ρ(xn,xm)＜ε，則稱{xn}是非對稱度量空間(X,ρ)中的上柯西序列（在文獻［1］中也稱為左柯西序列）.

若對任意的ε＞0，存在nε∈N，使得對任意的n,m∈N，且nε≤n＜m，有 ρ(xm,xn)＜ε，則稱{xn}是非對稱度量空間(X,ρ)中的下柯西序列（在文獻［1］中也稱為右柯西序列）.

注2 依ρ收斂的序列不需要是左柯西序列，非對稱度量空間比度量空間中的情形更為復(fù)雜.

定義8［2］設(shè)A是非對稱度量空間(X,ρ)的子集，如果A中任意上收斂序列的上極限屬于A，稱A是上閉集.

定義9［2］如果非對稱度量空間(X,ρ)中的每一個上（下）柯西序列都存在上（下）極限，則稱(X,ρ)是上（下）完備的.

定義10［1］如果非對稱度量空間(X,ρ)中的每一個左（右）柯西序列都是依ρ收斂的，則稱(X,ρ)是左（右）完備的.

2 非對稱度量空間中的不動點定理

定義 11［3］設(shè) (X,d)是非對稱偽度量空間，對 x,y∈X，定義包含 x,y的 X的子集稱x,yd是(X,d)的非對稱偽度量區(qū)間.

例4［3］考慮包含4個點的集合X={1,2,3,4}，非對稱度量q由如下矩陣定義:

即qi,j=q(i,j),i,j∈X，可以驗證q是X上的非對稱偽度量.

定義12［3］設(shè)(X,d)是非對稱偽度量空間.

（1）若集合 X中有限序列{x1,x2,…,xn}，對任意i＜j＜k≤n，都有 d(xi,xk)=d(xi,xj)+d(xj,xk)，則稱{x1,x2,…,xn}在(X,d)中是共線性的.

（2）若存在一個元素y∈X，使得d(y,x)＞0，且對于任意的z∈X，滿足(y,x,z)在(X,d)中共線性，都有x=z，稱元素x∈X是(X,d)的終點.

（3）若存在一個元素y∈X，使得d(x,y)＞0，且對于任意的z∈X，滿足(z,x,y)在(X,d)中共線性，都有x=z，稱元素x∈X是(X,d)的始點.

定義13［3］設(shè)(X,d)是非對稱偽度量空間，若(X,τ(ds))是序列緊致空間，則稱(X,d)是間接序列緊致空間.

引理1（Zorn′s引理） 設(shè)P是一個偏序集，若偏序集P中任意的鏈（即全序子集）在P中都有上界，則偏序集P至少有一個最大元.

設(shè) (X,ρ)是非對稱度量空間，對于 x,y∈X，定義連接 x和 y的 ρ度量片段為[x;y]ρ={z∈X:ρ(z,x)+ρ(z,y)=ρ(x,y)}.

定義14［1］若存在 α,0＜α＜1，使得對每一個 x∈X，f(x)≠x，存在 z∈[x;f(x)]ρ,z≠x，使得ρ(f(x),f(z))≤αρ(z,x)，則稱映射 f:X→X是一個有向壓縮映射.

定理2 設(shè)(X,ρ)是右完備的非對稱度量空間，f:X→X是一個映射使得

（ii）對于某一個α,0＜α＜1，f是一個α有向壓縮映射，且對任意的x,y∈X，ρ(f(x),y)≤αρ(x,f(y)).則 f有一個不動點.

證明 定義函數(shù)g:X→R如下：

設(shè) {xn}?X是由不同的點組成的序列，且則由（i）知，因此，對任意n∈N，有

對上述不等式兩邊同時取下極限得，

即函數(shù)g在點x處是接近下半連續(xù)的.

對某一個0＜ε＜1-α1，存在z0∈X，使得對任意x∈X{z0}，

下面證明z0是 f的不動點.

若 f(z0)≠z0，則由（ii）知，存在z1∈[z0;f(z0)]ρ,z1≠z0，使得

又

令式（1）中的x=z1，得

所以 ρ(z0,f(z0))=0.又由 f(z0)≠z0，知存在0＜α2＜1，z2∈[f(z0);z0]ρ,z2≠z0，使得

因此，

所以，

于是，

又(X,ρ)是非對稱度量空間，知 f(z0)=z0，即z0是 f的不動點.

注4 定理2在文獻［1］的基礎(chǔ)上通過增加說明ρ(f(z0),z0)=0，將文獻［1］中的結(jié)論由T1非對稱度量空間推廣到一般的非對稱度量空間上.

定義15［5］設(shè) f和g是非空集合X上的自映射.如果存在點x∈X，使得w=fx=gx，則稱點x是 f和g的一致點，w是 f和g一致點.

定義16［5］設(shè) f和g是非空集合X上的自映射，如果 f和g在它們的一致點是可替換的，則稱它們是弱一致映射.

引理2［5］設(shè) f和g是非空集合X上的弱一致自映射，如果 f和g有唯一的一致點w=fx=gx，則w是 f和g的唯一的公共不動點.

定義17［6］設(shè)Γ0是所有連續(xù)函數(shù)F(t1,t2,…,t6):R6+→R的全體，且函數(shù)F滿足下列條件：

（A1） F關(guān)于變量t5是非單調(diào)增的，

（A2）存在某一個函數(shù)h1使得對所有的u,v≥0，F(xiàn)(u,v,v,u,u+v,0)≤0，有u≤h1(v)，

（A3）存在某一個函數(shù)h2使得對所有的t,s＞0，F(xiàn)(t,t,0,0,t,s)≤0，有t≤h2(s).

用Ψ表示函數(shù)ψ:[0,∞)→[0,∞)的全體，且函數(shù)ψ滿足下列條件：

（ψ1）：ψ是非單調(diào)增的，

（ψ2）：對每一個其中ψn是ψ的n次迭代.

注5 容易看出，如果ψ∈Ψ，則ψ(t)＜t對任意的t＞0都成立.

定義18 設(shè)Γ是所有連續(xù)函數(shù)F(t1,t2,…,t6):R6+→R的全體，且函數(shù)F滿足下列條件：

（F0） F(t1,t2,…,t6)=0當且僅當t1=t2=…=t6=0，

（F1） F關(guān)于變量t5是非單調(diào)增的，

（F2）存在某一個函數(shù)h1∈Ψ使得對所有的u,v≥0，F(xiàn)(u,v,v,u,u+v,0)≤0，有u≤h1(v)，

（F3）存在某一個函數(shù)h2∈Ψ使得對所有的t,s＞0，F(xiàn)(t,t,0,0,t,s)≤0，有t≤h2(s).這里h1和h2的假設(shè)與定義17中不同，下面關(guān)于上述定義給出兩個具體例子［8］.

例5 F(t1,t2,…,t6)=t1-at2-bt3-ct4-dt5-et6，其中a+b+c+2d+e＜1,a,b,c,d,e≥0.

（F1）顯然成立.

設(shè) u,v≥0，F(xiàn)(u,v,v,u,u+v,0)=u-av-bv-cu-d(u+v)≤0，則即 存 在 函 數(shù)使得u≤h1(v)，（F2）成立.

設(shè)t,s＞0，F(xiàn)(t,t,0,0,t,s)=t-at-dt-es≤0，則有，即存在函數(shù)使得t≤h2(s)，（F3）成立.

例6 F(t1,t2,…,t6)=t1-kmax{t2,t3,…,t6}，其中

（F1）顯然成立.

設(shè)u,v≥0，F(xiàn)(u,v,v,u,u+v,0)=u-kmax{u,v,u+v}≤0，則有即存在函數(shù)使得u≤h1(v)，（F2）成立.

設(shè)t,s＞0，F(xiàn)(t,t,0,0,t,s)=t-kmax{t,s}≤0.如果t＞s，則t(1-k)≤0，矛盾.因此t≤s，于是t≤ks，即存在函數(shù)h2(s)=ks使得t≤h2(s)，（F3）成立.

定理3 設(shè)(X,ρ)是非對稱度量空間，函數(shù) f,g:(X,ρ)→(X,ρ)使得

其中F∈Γ.（fx表示 f(x)，gx表示g(x)，其他的以此類推）.如果 f(X)?g(X),g(X)是(X,ρ)的完備的非對稱度量子空間且F(t1,t2,…,t6)關(guān)于第一個變量非遞減，那么函數(shù) f和g存在唯一的一致點.特別地，如果函數(shù) f和g還是弱一致映射，那么 f和g存在唯一的公共不動點.

證明 設(shè)x0是集合X中的任意一個點，由 f(X)?g(X)，可以選出點x1∈X使得 fx0=gx1.類似地，可以選出x2,x3,…,xn,…，使得 fxn=gxn+1.由（2）式，有

于是，

由定義18中的性質(zhì)（F1）和非對稱度量的三角不等式知，

由定義18中的性質(zhì)（F2）可以得到

如上述重復(fù)進行下去，可以得到

因此，對于任意的m＞n，由非對稱度量的三角不等式，可以得到

當n,m→∞時，有ρ(gxn,gxm)→0，即{gxn}是左柯西序列.類似地，由（2）式，有

于是，

由定義18中的性質(zhì)（F1）和非對稱度量的三角不等式知，

由定義18中的性質(zhì)（F2）有

如上重復(fù)下去有

因此，對于任意的n＞m與非對稱度量的三角不等式有

當n,m→∞時，ρ(gxn,gxm)→0，即{gxn}是右柯西序列.因此，{gxn}是柯西序列.由于g(X)是(X,ρ)完備的非對稱度量子空間，所以存在點q∈g(X)使得gxn→q=gp,n→∞.

下面證明 fp=gp.

由（2）式，令x=xn-1,y=p，有

即

當n→∞時，有

由定義18中的性質(zhì)（F2）知，ρ(gp,fp)=0.

同理，由（2）式，令x=p,y=xn-1，有

即

當n→∞時，有

由ρ(gp,fp)=0和（3）式知

由F(t1,t2,…,t6)關(guān)于第一個變量非遞減和（4）式可得

因此，F(xiàn)(ρ(fp,gp),0,0,0,0,0)=0.由定義17中性質(zhì)（F0）知，ρ(fp,gp)=0.故ρ(gp,fp)=ρ(fp,gp)=0，由非對稱度量空間的定義知,fp=gp.因此w=fp=gp是函數(shù) f和g唯一的一致點.此外，如果函數(shù) f和g還是弱一致映射，由引理2可知，w是 f和g的唯一的公共不動點.

注6 定理3是在本文定義的非對稱度量空間下（不同于文獻［7］中的非對稱度量空間）研究映射的公共不動點問題，它是文獻［7］中定理2的推廣.

推論1 設(shè)(X,ρ)是非對稱度量空間，函數(shù) f,g:(X,ρ)→(X,ρ)使得對任意的x,y∈X，

證明 取F是例6中的F，即F(t1,t2,…,t6)=t1-kmax{t2,t3,…,t6}，其中顯然，F(xiàn)(t1,t2,…,t6)關(guān)于第一個變量是非遞減的，由定理3知結(jié)論成立.

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The Fixed Point Theorem on Asymmetric Metric Space

LIU Baoqing，YAO Xuechun
（School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，210023，Nanjing，Jiangsu，China）

A quasi-metric is a distance function which is not necessarily satisfying symmetry.The fundamental theory of quasi-metric spaces is widely used in the field of multi-objective constrained optimization，artificial intelligence，nonlinear control，theoretical computer，etc.In this paper，we introduce relative notions of pseudo-quasi-metric interval in pseudo-quasi-metric spaces.Based on that，collinear problems and start point problems are also considered on the pseudo-quasi-metric spaces.Moreover，a fixed point theorem of the set-valued situation，a fixed point theorem for directional contractions and a common fixed point theorem have been proved.

quasi-metric space；left（right）completeness；fixed point theory

O 177.91

A

2095-0691（2017）01-0017-07

2016-07-06

國家自然科學(xué)基金青年基金項目（11401296）；江蘇省普通高校自然科學(xué)基金面上項目（14KJB110007）；江蘇省自然科學(xué)基金青年基金項目（BK20141008）

劉保慶（1984- ），男，山東聊城人，博士，副教授，研究方向：不動點理論、偏微分方程數(shù)值解法.