欣賞綻放的函數(shù)之花，體驗(yàn)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)之美

董正武

【摘要】在“冪函數(shù)”的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生自主探究完y=x-1，y=x0，y=x，y=x2等冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，有一個(gè)明顯的感受是：冪函數(shù)的圖像與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像相比情形較為復(fù)雜.本文借助幾何畫(huà)板，動(dòng)態(tài)地探究?jī)绾瘮?shù)（其中α≠0，1）在第一象限的圖像與性質(zhì)，以饗讀者.

【關(guān)鍵詞】?jī)绾瘮?shù)；幾何畫(huà)板；動(dòng)態(tài)；圖像與性質(zhì)

一、利用幾何畫(huà)板畫(huà)冪函數(shù)的圖像

（1）在x軸的負(fù)半軸構(gòu)造一點(diǎn)A，過(guò)A作x軸的垂線(xiàn)j.

（2）在j上構(gòu)造一點(diǎn)B，選中點(diǎn)A，B，構(gòu)造線(xiàn)段AB，隱藏垂線(xiàn)j.

（3）度量點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，將標(biāo)簽設(shè)置為α.

（4）單擊【繪圖】中的【繪制新函數(shù)】，鍵入y=xα.

二、冪函數(shù)之花即將綻放

（5）上下拖動(dòng)點(diǎn)B，改變?chǔ)恋闹?，觀(guān)察y=xα的圖像變化情況如下.

α<0

0<α<1

α>1

（6）接畫(huà)法步驟的第（5）步，選中點(diǎn)B，單擊【編輯】中的【操作類(lèi)按鈕】，選擇動(dòng)畫(huà).

（7）選中點(diǎn)B及圖像，單擊【構(gòu)造】中的【軌跡】，觀(guān)察冪函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)變化.

α<0

0<α<1

α>1

三、冪函數(shù)的性質(zhì)

（一）相同點(diǎn)：過(guò)定點(diǎn)（1，1）.

（二）不同點(diǎn)：

（1）單調(diào)性：當(dāng)α<0時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)α>0時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）函數(shù)值變化：當(dāng)α<0時(shí)，若x∈（0，1），則y∈（1，+∞）；若x∈（1，+∞），則y∈（0，1）.當(dāng)α>0時(shí)，若x∈（0，1），則y∈（0，1）；若x∈（1，+∞），則y∈（1，+∞）.

（3）圖像形態(tài)特征：當(dāng)0<α<1時(shí)，若x∈（0，1），則圖像在y=x上方（稱(chēng)為上凸）；若x∈（1，+∞），則圖像在y=x下方.圖像先陡峭、后平緩，增長(zhǎng)速率是先快后慢.當(dāng)α>1時(shí)，若x∈（0，1），則圖像在y=x下方（稱(chēng)為下凸）；若x∈（1，+∞），則圖像在y=x上方.圖像先平緩、后陡峭，增長(zhǎng)速率是先慢后快.

（三）圖像隨α變化情況：當(dāng)α<0時(shí)，隨著α逐漸增大，在（0，1）上的圖像越來(lái)越靠近y軸，在（1，+∞）上的圖像越來(lái)越遠(yuǎn)離x軸；如果α→0，那么圖像趨近于y=1.

當(dāng)0<α<1時(shí)，隨著α逐漸增大，在（0，1）上的圖像突出y=x的部分越來(lái)越少；如果α→1，那么圖像趨近于y=x.

當(dāng)α>1時(shí)，隨著α逐漸增大，在（0，1）上的圖像突出y=x的部分越來(lái)越多.

四、授課感受

波利亞說(shuō)道：“觀(guān)察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，觀(guān)察將揭示某種規(guī)則模式和定律.”當(dāng)我們觀(guān)察冪函數(shù)圖像的變化時(shí)，我們就會(huì)體驗(yàn)到無(wú)窮的動(dòng)態(tài)之美，體會(huì)“數(shù)與形”的高度統(tǒng)一，讓我們用“運(yùn)動(dòng)”的觀(guān)點(diǎn)研究數(shù)學(xué)吧！

【參考文獻(xiàn)】

[1]陶維林.幾何畫(huà)板課件制作教程[M].北京：人民教育出版社，2005.