基于常微分方程的常數(shù)變易法的探討

唐天國(guó)

【摘要】常數(shù)變易法是從數(shù)學(xué)角度出發(fā)推導(dǎo)出特解的，實(shí)際上，它有明確的物理背景，簡(jiǎn)單地說(shuō)，它來(lái)自下面的動(dòng)量守恒定律：物體在某一時(shí)段內(nèi)的動(dòng)量的增量等于作用在該物體上所有外力在這一時(shí)段內(nèi)的沖量.在求一階非齊次線性方程的通解時(shí)，我們?cè)鴮?duì)其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解利用常數(shù)變易法求得非齊次線性方程的通解，本文將針對(duì)基于常微分方程的常數(shù)變易法進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】常數(shù)變易法；常微分方程；定律

線性齊次微分方程的解乘以任意常數(shù)仍為原齊次方程的解，如果求解線性非齊次微分方程時(shí)，將對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解中的常數(shù)設(shè)想為待定函數(shù)或者說(shuō)將待定函數(shù)乘以對(duì)應(yīng)齊次方程的解，以此形式作為非齊次線性微分方程的解，代入非齊次方程確定待定函數(shù).這就是在推求一階線性微分方程的求解公式時(shí)，用過(guò)的常數(shù)變易法[1].

一階線性微分方程可以寫成[2]

dydx+P（x）y=Q（x），（1）

簡(jiǎn)稱一階線性方程，其中P（x），Q（x）都是x的已知連續(xù)函數(shù).

當(dāng)Q（x）=0時(shí)，方程（1）變?yōu)閇3]

dydx+P（x）y=0，（2）

稱為方程（1）對(duì)應(yīng)的線性齊次方程，而當(dāng)Q（x）≠0時(shí)，方程（1）稱為一階線性非齊次方程[4].

線性齊次方程（2），實(shí)質(zhì)上是可分離變量方程，分離變量，得

dyy=-P（x）dx，

兩邊積分，得ln|y|=-∫P（x）dx+lnC，

得通解為y=Ce-∫P（x）dx，其中C為任意常數(shù).

不難看出，線性非齊次方程（1）與對(duì)應(yīng)的齊次方程（2）既有聯(lián)系又有區(qū)別.因此，猜想它們的解也應(yīng)該既有聯(lián)系又有區(qū)別，由此可以得到線性非齊次方程（1）的通解：

y=e-∫P（x）dx[∫Q（x）e∫P（x）dxdx+C].

這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱為常數(shù)變易法.

定理告訴我們，要解非齊次線性方程，只需知道它的一個(gè)解和對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的基本解組.我們進(jìn)一步指出，只要知道對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的基本解組，就可以利用常數(shù)變易法求得非齊次線性方程的解.

為求出非齊次線性微分方程的通解，只需求出其對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的通解，然后，用常數(shù)變易法求解即可，因而從理論上說(shuō)，線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)問(wèn)題已徹底解決，但怎樣求出變系數(shù)齊次線性微分方程的通解卻又是一個(gè)十分棘手而艱難的問(wèn)題.事實(shí)上，對(duì)一般的高階微分方程（即便是二階微分方程），并不存在求通解的一般方法.但當(dāng)線性微分方程中的系數(shù)都是常數(shù)時(shí)，稱該方程為常系數(shù)線性微分方程，所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解可以通過(guò)代數(shù)方法來(lái)求解.

降階法是對(duì)齊次線性方程L（y）=0已找到一個(gè)特解的情形，通過(guò)作未知函數(shù)變換，將求解n階齊次線性方程的問(wèn)題化為求解n-1階的齊次線性方程.常數(shù)變易法是在已知非齊次線性方程的對(duì)應(yīng)的齊次線性方程L（y）=0的通解的情形下，求出L（y）=q（x）的一個(gè)特解的方法.

上述在求解一階非齊次線性微分方程時(shí)，我們就已使用過(guò)常數(shù)變易法.其特點(diǎn)是，若y=Cy1（x）是齊次線性微分方程的通解，則可將其中的常數(shù)C變易為未知函數(shù)C（x），使y=C（x）·y1（x）成為非齊次線性微分方程的通解，將其代入到非齊次線性微分方程中從而求出C（x）（這也是這一方法名稱的由來(lái)）.這一方法也適用于求解高階線性微分方程，下面就二階線性微分方程的情形討論如下.

設(shè)齊次方程y″+p（x）y′+q（x）y=0的通解為y=C1y1+C2y2.非齊次方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的通解為

y=u1y1+u2y2，（3）

其中函數(shù)u1=u1（x）及u2=u2（x）待定.由式（3）求導(dǎo)，得

y′=u′1y1+u′2y2+u1y′1+u2y′2.

如果式（3）代入非齊次方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）中去，則可得到u1（x），u2（x）的一個(gè)關(guān)系式，但是這里有兩個(gè)未知函數(shù)，所以，還需要附加一個(gè)條件，為計(jì)算方便，特補(bǔ)充如下條件：

u′1y1+u′2y2=0.（4）

從而y′=u1y′1+u2y′2，

再求導(dǎo)得y″=u′1y′1+u′2y′2+y″1u1+y″2u2.

將y，y′，y″代入非齊次方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）中可得

y″=u′1y′1+u′2y′2+[y″1+p（x）y′1+q（x）y1]u1+[y″2+p（x）y′2+q（x）y2]u2=f（x）.

注意到y(tǒng)1，y2是齊次微分方程y″+p（x）y′+q（x）y=0的解，由上式得

u′1y′1+u′2y′2=f（x）.

聯(lián)立方程（3）和（4），當(dāng)系數(shù)行列式

w=y1y2y′1 y′2=y1y′2-y′1y2=0.

從而得出非齊次方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的通解為

y=C1y1+C2y2-y1∫y2f（x）wdx+y2∫y1f（x）wdx.

當(dāng)非齊次項(xiàng)不屬于上述幾類函數(shù)，或二階線性方程的系數(shù)不是常數(shù)時(shí)，有時(shí)可用常數(shù)變易法來(lái)求非齊次方程的特解.求線性非齊次微分方程的通解，只要先求出其對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解，然后，再求出非齊次方程的一個(gè)特解，兩者之和即為非齊次線性微分方程的通解.而定理指出，當(dāng)自由項(xiàng)復(fù)雜時(shí)，可以考慮把自由項(xiàng)分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的和.通常，以這些簡(jiǎn)單函數(shù)作自由項(xiàng)重新構(gòu)造的微分方程容易求特解，這些特解之和即為原微分方程的特解，從而使得求解的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大.

總之，常數(shù)變易法是求線性非齊次微分方程、線性非齊次微分方程組的通解的主要方法.其理論基礎(chǔ)是線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理，其方法是先求出對(duì)應(yīng)齊次方程或齊次方程組的通解，將其中的任意常數(shù)Ci視為自變量的函數(shù)Ci（x），代入原方程，求出Ci（x），將Ci（x）代回齊次方程或齊次方程組的通解中，即得原方程的通解.因而，通過(guò)探討基于常微分方程的常數(shù)變易法，能夠更好地對(duì)常微分方程的通解有一個(gè)深刻的了解.

【參考文獻(xiàn)】

[1]湯維曦.一階線性非齊次微分方程的解法探析[J].福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（01）：122-124.

[2]張衡.關(guān)于n階線性常微分方程常數(shù)變易法的評(píng)注[J].福建師大福清分校學(xué)報(bào)，2013（02）：111-112.

[3]徐新榮.關(guān)于常微分方程的常數(shù)變易法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013（03）：227-229.

[4]Ma Ruyun，Wang Haiyan.On the existence of positive solutions fourth-order ordinary differential equations[J].Appl.Anales，2010（20）：876-877.