工科背景下的數(shù)學之美

彭振彪 張雅軒 李艷陽 李飛濤

【摘要】高等數(shù)學、復變函數(shù)與積分變換是電氣工程及其自動化專業(yè)基礎課電路、信號與系統(tǒng)、自動控制原理的數(shù)學基礎，聯(lián)系緊密.但在學生的實際學習中，這兩類課程往往不能很好地銜接，使專業(yè)基礎課的學習有一定困難.為此，本文就上述課程的知識模塊進行系統(tǒng)梳理，有針對性地找到兩類課程的內在聯(lián)系，尋求數(shù)學思想方法在專業(yè)知識中的背景，挖掘專業(yè)知識技術中蘊含的數(shù)學思想，以達到兩類課程融會貫通的效果.從而提高工科學生的數(shù)學素養(yǎng)，同時，使專業(yè)知識的掌握更容易、理解更深刻.

【關鍵詞】傅立葉變換；拉普拉斯變換；信號與系統(tǒng)；自動控制原理；數(shù)學思想

【基金項目】本文受中國民航大學校級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目（項目號：IECAUC2016014）的資助.

電路、信號與系統(tǒng)、自動控制原理是電氣工程及其自動化專業(yè)的專業(yè)基礎課，除包含一些專業(yè)領域的基本概念，其中涉及的專業(yè)知識與處理問題的方法大都以微分方程、傅立葉變換、拉普拉斯變換等數(shù)學知識為基礎.

在學習數(shù)學基礎課時，有學生感覺內容多、難度大、進度快，導致數(shù)學基礎不夠扎實，進而在后續(xù)學習專業(yè)基礎課時感到吃力.而從教學的角度，專業(yè)基礎課教師的教學重點是新的專業(yè)知識，不能花費過多時間復習數(shù)學基本概念與方法.這些銜接上的問題，使部分學生不易接受突然出現(xiàn)的數(shù)學知識的應用，對專業(yè)基礎課產(chǎn)生畏難情緒.對此，首先，本文對數(shù)學基礎課和專業(yè)基礎課的知識模塊進行系統(tǒng)的梳理總結，數(shù)學知識主要包括微分方程、傅立葉變換、拉普拉斯變換及其關系，并分析它們的應用背景，以豐富數(shù)學基礎課教學的應用性.然后，闡述專業(yè)基礎課的內在聯(lián)系，以幫助學生系統(tǒng)地把握專業(yè)基礎課的知識內容.最后，用更高的數(shù)學觀點（泛函分析）闡明專業(yè)知識中相關的數(shù)學方法，使學生對專業(yè)知識的數(shù)學原理有更深刻的認識.

一、微分方程求解在時域分析中的應用

專業(yè)基礎課電路、信號與系統(tǒng)、自動控制原理的主要內容是對各類系統(tǒng)的性態(tài)的分析研究，大多以數(shù)學模型及其分析方法為基礎，其中時域分析法的教學模型是高等數(shù)學中的微分方程：用微分方程描述系統(tǒng)，通過求出的解分析系統(tǒng).因此，要熟練掌握時域分析法，就必須掌握求解微分方程的方法.常用方程及解法見《高等數(shù)學》下冊第十二章[1].

時域分析法的優(yōu)點是能夠得到解的精確解析表達式，但缺點是求解過程比較煩瑣，而系統(tǒng)的數(shù)學建模過程、頻率特性、傳遞函數(shù)求取需要求解大量的微分方程，所以必須降低微分方程的求解難度，方法就是對微分方程作拉普拉斯變換.

二、拉普拉斯變換在系統(tǒng)分析中的應用

拉普拉斯變換的定義[2]是

F（s）=∫+∞0-f（t）e-stdt，是將自變量為時間的函數(shù)通過某種積分運算轉化為自變量為復頻率的函數(shù).從數(shù)學角度看，它使復雜的運算轉化為較簡單的運算.比如，將微分轉化為乘法，將積分轉化為除法.將其應用于系統(tǒng)分析，因為它將微分方程轉化為代數(shù)方程，從而達到了降低方程求解難度的目的[2].

（一）應用拉氏變換求解微分方程

具體解法如下：

第一步，求取微分方程中每一項的拉普拉斯變換，得到相應的代數(shù)方程；

第二步，求解代數(shù)方程；

第三步，對所求的解求取拉普拉斯反變換，得到原微分方程的解.

構成系統(tǒng)的元件的數(shù)學模型是時間域下的微分或積分表達式，通過拉普拉斯變換，可將其轉化為復頻域下的簡單的代數(shù)表達式.然后相應地做出復頻域中的等效電路圖，這極大地簡化了系統(tǒng)分析中的建模和求解.

下面列舉幾個典型元件的例子[3]：

下面以一個簡單電路的分析為例[4]，表明拉普拉斯變換對系統(tǒng)建模、求解的簡化.

例如圖所示，已知輸入為u1（t）=5cos2t，求輸出u2（t）.

解第一步，根據(jù)上表，作復頻域等效電路圖：

第二步，根據(jù)等效電路圖列出復頻域下電路的代數(shù)方程：

U2（s）=U1（s）1s1+1s=1s+1×5ss2+4=-1s+1+s+4s2+4.

第三步，對U2（s）取拉普拉斯反變換得到時域下的響應表達式：

u2（t）=-e-t+cos2t+2sin2t，t≥0.

由此可見，拉普拉斯變換可以將時域下一些微分方程模型轉化為復頻域下簡單的代數(shù)方程模型，使建模與求解得以簡化.

（二）拉普拉斯變換在系統(tǒng)分析中的應用

對于常系數(shù)線性微分方程模型，方程的特征根就是解的表達式中各項的系數(shù)，它決定了系統(tǒng)的響應性能.好的響應性能需要合適的特征根，改變特征根可以通過改變特征方程的系數(shù)實現(xiàn)，而特征方程的系數(shù)就是系統(tǒng)中的參數(shù).于是，可以通過改變系統(tǒng)參數(shù)，方程的階不變，獲取較好的系統(tǒng)性能.

在復頻域中常用的分析方法是根軌跡法，即找到系統(tǒng)參數(shù)與特征根的關系，讓隨著參數(shù)變化的特征根軌跡在根平面上繪制出來，從中選擇有好的響應性能的特征根，同時，確定對應的參數(shù).

由于微分方程的特征方程恰是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式對應的方程，特征根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，而閉環(huán)傳遞函數(shù)定義就是系統(tǒng)輸出拉普拉斯變換與輸入拉普拉斯變換的比值.由此可見，拉普拉斯變換在系統(tǒng)分析中有著非常重要的作用.

三、傅立葉變換在系統(tǒng)頻域中的應用

時域分析比較直觀，但是分析高階系統(tǒng)比較煩瑣.用拉普拉斯變換分析系統(tǒng)，簡化了時域下的求解過程，但是物理意義不十分明顯.由于信號的輸入與系統(tǒng)頻率關系密切，所以頻域分析是工程上進行系統(tǒng)分析和系統(tǒng)綜合廣泛采用的方法.頻域分析法的優(yōu)點是處理起來比較簡潔，計算工作量較小，重要的是能夠顯示信號和系統(tǒng)的組成特性.但是，由于實際測得的是信號的時間歷程，所以要采用頻域分析法在頻域下進行處理和分析，就必須先進行時域到頻域的轉換，而這種轉換的數(shù)學方法就是傅立葉變換，所以需要應用復變函數(shù)與積分變換課程中的傅立葉變換知識，并建立其物理意義.

（一）傅立葉級數(shù)

一般地，如果周期信號fT（t）滿足狄利克雷條件，則可利用傅立葉級數(shù)將周期信號展開成無窮多個（至多可數(shù)個）不同頻率的諧波信號的線性疊加.即

fT（t）=∑∞n=0cnejnω0t，

其中cn=1T∫T0fT（t）e-jnω0tdt，ω0=2πT，稱為基波角頻率.

（二）傅立葉變換

對于非周期信號，在頻域內對應的數(shù)學模型是連續(xù)的，此時若要將其分解成諧波信號的線性疊加，諧波信號有不可數(shù)個.數(shù)學上傅立葉級數(shù)需轉化為傅立葉變換.

一般非周期信號f（t）的傅立葉變換為

F（jω）=∫+∞-∞f（t）e-jωtdt.

由此可見，時域下周期函數(shù)變換頻域后的表達式是離散的傅立葉級數(shù)，而時域下非周期函數(shù)變換到頻域后的表達式是連續(xù)的傅立葉變換，由此可得到工程上的一個重要結論：時域的周期性決定了頻域的離散性.

應特別指出，單位階躍信號的頻譜，由于單位階躍信號是時域下的典型信號，而且一般情況下可以將其他信號分解為不同加權的階躍信號，根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的齊次性和疊加原理，可以分別求出各個階躍信號的響應，最后，將求出的響應進行疊加，因此，掌握階躍信號的頻譜顯得尤為重要.

四、傅立葉變換與拉普拉斯變換的關系

拉普拉斯變換的積分核e-st中，s=σ+jω，當σ=0時，變換就退化為傅立葉變換.傅立葉變換要求函數(shù)滿足狄利克雷條件，并且要絕對可積，但絕對可積條件較強，很多工程上常用的函數(shù)都不能滿足這個條件，比如，單位沖激函數(shù).為克服傅立葉變換的這個缺點，使頻域分析適用于更多信號，在數(shù)學上，在積分核中加了一個衰減因子e-σt，得到另一種積分變換，即拉普拉斯變換.它們的關系示意圖如下：

五、電路、信號與系統(tǒng)、自動控制原理三門課程的內在聯(lián)系

電路除講述一些電路上的基本概念外，主要介紹了對具體的電路模型，給一個電壓或電流輸入信號，根據(jù)電路相關知識求解該電路的響應的方法.信號與系統(tǒng)是對上述模型和方法的一般化，將電路模型抽象為一個系統(tǒng)，將電壓或電流輸入信號抽象為任意信號，分別在時域、頻域和復頻域下求解系統(tǒng)的響應和系統(tǒng)函數(shù).在上述兩門課程中學習系統(tǒng)響應的求解方法后，在自動控制原理[5]課程中根據(jù)求出的系統(tǒng)響應和系統(tǒng)函數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能，并在時域、頻域和復頻域中分別尋求系統(tǒng)的最佳性能和進行系統(tǒng)校正.可以概括為“三域三分析”，“三域”分別是指時域、頻域和復頻域，“三分析”分別是指系統(tǒng)穩(wěn)定性分析、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析、系統(tǒng)動態(tài)性能分析.可以說電路和信號與系統(tǒng)是通過分析系統(tǒng)來認識系統(tǒng)，而自動控制原理是在學習改造系統(tǒng)，是符合我們認識事物過程的自然規(guī)律的.

六、泛函分析視角下理解工程問題解決方法

泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學分析學分支的基石，下面從泛函分析的角度，更深入地理解專業(yè)知識和其中的數(shù)學方法，我們需要下面的概念[6].

設H是內積空間，E={en}是H中的規(guī)范正交基，x∈H.

（1）稱每個（x，en）為x關于E的Fourier系數(shù)；

（2）稱（形式）級數(shù)∑∞n=1（x，en）en為x關于E的Fourier級數(shù)；

（3）若x=∑∞n=1（x，en）en按H的范數(shù)收斂，稱此級數(shù)為x關于E的Fourier展開式.

以傅立葉級數(shù)為例.設en=e-jnω0t，則{en}+∞n=-∞是Hilbert空間L2[0，2T]的一個規(guī)范正交基，則f∈L2[0，2T]，都有

f=∑+∞n=-∞（f，en）en.（*）

而空間L2[0，2π]上的內積定義是

（f，g）=1T∫T0f（t）g（t）dt，f，g∈L2[0，T]，

所以，

（f，en）=1T∫T0f（t）e-jnω0tdt=1T∫t 0+Tt0f（t）e-jnω0tdt=cn.

則由（*）得

f（t）=∑+∞n=-∞cnejnω0t，

這恰恰是傅立葉級數(shù).

因此，從泛函分析的角度看，一個周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開，就是將這個函數(shù)看成某個函數(shù)空間中的一個元素，并將其在該空間的一組規(guī)范正交基下進行展開，而傅立葉級數(shù)與傅立葉變換的區(qū)別只不過是離散和連續(xù)兩種情況下的展開方式不同而已.同理，拉普拉斯變換和時域下的卷積也可以理解為函數(shù)分別在復頻域和時域的情形中進行展開.那么這種數(shù)學思想在信號與系統(tǒng)分析中的實際意義在哪里呢？

我們以線性時不變系統(tǒng)為例來說明，在時域中，任意輸入信號f（t）激勵下線性時不變系統(tǒng)的響應為f（t）與系統(tǒng)沖激響應h（t）的卷積，它表明如果信號f（t）可以表示為沖激信號的積分，則該信號通過系統(tǒng)后產(chǎn)生的零狀態(tài)響應yzs（t）就可以表示為這些沖激信號元產(chǎn)生的沖激響應的疊加.采用這種解決問題的思想是由于單位沖激響應的求解比較容易，所以如果將時域中的任意一個信號看成是出現(xiàn)在不同時刻、強度不同的微量沖激元函數(shù)的連續(xù)和，那么該函數(shù)作用下系統(tǒng)的響應就可以用展開后的沖激元信號分別作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的沖激響應的累加得到，即做卷積.在頻域中，由于正弦信號下系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應求解起來比較容易，所以將信號展開成無窮多個正弦信號的累加，那么系統(tǒng)在該信號下的響應就可以看成是展開后的正弦信號分別作用于該系統(tǒng)得到的正弦穩(wěn)態(tài)響應的累加.

由以上分析我們可以看出，工程中的實際問題之所以可以采用這種方法解決，是由數(shù)學中經(jīng)過嚴格推導或者證明的定理或者概念作為支撐的，所以數(shù)學思想是解決工程實際問題的核心；同樣，掌握了數(shù)學中的一些重要思想，也使得工科專業(yè)課中解決實際問題的一些方法更容易被理解和接受，而在應用數(shù)學知識的過程中，也使得數(shù)學知識更好地被理解和掌握，這就是建立兩類學科聯(lián)系的意義所在.

【參考文獻】

[1]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學·上、下冊[M].第5版.北京：高等教育出版社，2002.

[2]張元林，編.工程數(shù)學·積分變換[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]邱關源，羅先覺，主編.電路[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]楊曉非，何豐，主編.信號與系統(tǒng)[M].北京：北京出版社，2014.

[5]任彥碩，主編.自動控制原理[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007.

[6]劉培德，編著.泛函分析基礎[M].北京：科學出版社，2005.