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    一階時(shí)滯差分方程周期解的存在性

    2017-04-17 07:01:23廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院510000范瑤穎
    數(shù)理化解題研究 2017年6期
    關(guān)鍵詞:廣州大學(xué)奇函數(shù)臨界點(diǎn)

    廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510000) 范瑤穎 ●

    一階時(shí)滯差分方程周期解的存在性

    廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510000) 范瑤穎 ●

    本文運(yùn)用臨界點(diǎn)理論中的山路引理,主要研究一階非線性時(shí)滯差分方程的非平凡周期解的存在性及多重性.

    山路引理;時(shí)滯差分方程;周期解

    一、引言及主要結(jié)果

    考慮一階非線性時(shí)滯差分方程

    其中f∈C(R,R)是奇函數(shù),即對(duì)于任意的x∈R,f(-x)=-f(x),(-1)s=-1,且0<s<1,δ>0,T為給定的正整數(shù).

    自從2003年郭志明與庾建設(shè)首次應(yīng)用臨界點(diǎn)理論研究差分方程周期解以來,應(yīng)用臨界點(diǎn)理論研究差分方程周期解問題的相關(guān)文獻(xiàn)已有很多,如文獻(xiàn)[1]等.但是,應(yīng)用臨界點(diǎn)理論來研究時(shí)滯差分方程周期解存在性的文獻(xiàn)卻不太多.據(jù)我們所知,目前關(guān)于這方面的文獻(xiàn)只有[2],[3],[4].

    受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā),可將方程(1.1)改寫為Δx(n+T) =-f(x(n))-δxs(n).

    本文的基本假設(shè)是:

    (f1) 函數(shù)f∈C(R,R)是奇函數(shù),即對(duì)任意的x∈R,f(-x)=-f(x).

    (f2) 對(duì)于任意的x≠O,xf(x)>0.

    (f5) 對(duì)于任意給定的常數(shù)ρ>0,δ>0,有(-1)s=-1且0<s<1.

    思維品質(zhì)是指?jìng)€(gè)體在思維活動(dòng)中智力特征的表現(xiàn),也就是人與人之間的思維活動(dòng)上表現(xiàn)的差異。培養(yǎng)學(xué)生用英語思維是英語教學(xué)重要目標(biāo),在教學(xué)的同時(shí)優(yōu)化思維品質(zhì)也是教學(xué)任務(wù)之一,但思維品質(zhì)的培養(yǎng)不能一蹴而就的,需要教師創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)多樣化的教學(xué)活動(dòng)。開放性問題、智力游戲問題、探索性問題是別出心裁、創(chuàng)意新、情景實(shí)、思維價(jià)值高的一類新題型,它們具有開發(fā)智力、激活思維、增加創(chuàng)新能力的潛在功能。這類問題的出現(xiàn),為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)嶄新的英語情景。給學(xué)生以再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的思維空間。為此,課堂教學(xué)中,教師的提問,學(xué)生的練習(xí),都要設(shè)計(jì)編擬一些思維活、立意新、探索性強(qiáng)的問題,促使學(xué)生思維開放。

    我們的主要結(jié)論是:

    定理1.1 假設(shè)函數(shù)f滿足(f1)-(f5),如果存在l∈Z(0,T-1),使得μl+1<a∞<μl≤μ0<a0或μl+1<a0<μl≤μ0<a∞,則方程(1.1)至少存在一個(gè)非常數(shù)的4T+2周期解x,滿足x(n+2T+1)=-x(n).

    二、變分框架與引理

    記E是由序列x組成的向量空間,

    x(n+T)+x(n-T)-f(x(n))-δxs(n)=0 (2.1)的以4T+2為周期的周期解.反之,若是差分方程(2.1)的以4T+2為周期的周期解,則是 I的臨界點(diǎn).

    考慮到f是奇函數(shù),由類似文獻(xiàn)[3]的討論可知,I的任一臨界點(diǎn)x滿足方程(1.1),因此x是方程(1.1)的以4T+2為周期的周期解.反之,方程(1.1)的任意滿足x(n +2T+1)=-x(n)的周期解也是泛函I的臨界點(diǎn).

    文獻(xiàn)[5]給出了求算子A的特征值與特征向量的方法與結(jié)果.具體可參閱其文獻(xiàn).

    三、方程(1.1)周期解的存在性

    引理3.1 假設(shè)f∈C(R,R)滿足(f3),并且對(duì)于任意的k=0,1,…,T,λk≠a∞,則泛函I滿足(PS)條件.(此引理與文獻(xiàn)[3]中的引理3.1證明相類似,不再重復(fù)證明)

    定理1.1的證明 首先,由條件(f2)可知,a0≥0,a∞≥0.

    由0<s<1,以及Hlder不等式可知:

    顯然可以取x∈Y,使‖x‖充分大,從而有-I(x)<0,即山路引理?xiàng)l件(I2)被滿足.由山路引理可知,存在x∈X,使I'(x)=0,并且-I(x)=c≥a,這就意味著x是方程(1.1)的非常數(shù)4T+2周期解,定理1.1的證明完畢.

    [1]Guo Z M,Yu J S.Multiplicity results for periodic solutions to delay differential equations via critical point theory[J].J Differ Equ,2005,218:15-35

    [2]郭麗芬,郭志明.一階超線性時(shí)滯差分方程周期解的存在性[J].廣州大學(xué)學(xué)報(bào),2014(02):19-23

    [3]邢秋萍,王其如,郭志明.非線性時(shí)滯差分方程周期解的存在性[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2012,14(01):61-70

    [4]郭志明,郭麗芬.高維次線性時(shí)滯差分方程周期解的存在性[J].廣州大學(xué)學(xué)報(bào),2014(03):7-12

    [5]邢秋萍.非線性時(shí)滯差分方程周期解的臨界點(diǎn)方法[D].中山大學(xué)碩士學(xué)位論文,2008

    G642

    B

    1008-0333(2017)06-0005-02

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